2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十立体几何大题练

课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练）
A 卷——大题保分练
1.(2018·洛阳模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，E ，F 分别是
PC ，PD 的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝PD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD .
(1)求证：平面AEF ⊥平面PCD ；
(2)求平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：由题意知，PA ＝PD ＝AD ，F 为PD 的中点，可得AF ⊥PD ，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .
又AF ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AF ，又CD ∩PD ＝D ，
∴AF ⊥平面PCD ，又AF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PCD .
(2)取AD 的中点O ，BC 的中点G ，连接OP ，OG ，
∵PA ＝PD ＝AD ，∴OP ⊥AD .
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，∴OP ⊥平面ABCD .分别以OA ，OG ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (1,0,0)，C (－1,2,0)，E ，F ，＝，(－12，1，32)(－12，0，32)AF
―→ (－3
2，0，32)
＝(0,1,0)．
FE
―→
设平面AEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则
即Error!
可取m ＝(1,0，)，为平面AEF 的一个法向量．3同理，可得平面ACE 的一个法向量为n ＝(，，1)．33cos〈m，n〉＝＝＝.
m·n
| m |·|n|1×3＋3×12×7217∴平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值为.
21
72.(2018·山西八校联考)如图，三棱柱ABC ­A
1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，
CC 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，G 是棱BB 1上的动点．
(1)当为何值时，平面CDG ⊥平面A 1DE?
BG
BB 1(2)求平面A 1BF 与平面A 1DE 所成的锐二面角的余弦值．
解：(1)当＝，即G 为BB 1的中点时，平面CDG ⊥平面A 1DE .
BG BB 11
2证明如下：因为点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC 且DE ＝AC ，1
2又AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1，所以DE ∥A 1C 1，DE ＝A 1C 1，1
2故D ，E ，C 1，A 1四点共面．
如图，连接C
1E 交GC 于H .在正方形CBB 1C 1中，tan∠C 1EC ＝2，tan∠BCG ＝，
1
2故∠CHE ＝90°，即CG ⊥C 1E .因为A 1C 1⊥平面CBB 1C 1，CG ⊂平面
CBB 1C 1，所以DE ⊥CG ，
又C 1E ∩DE ＝E ，所以CG ⊥平面A 1DE ，故平面CDG ⊥平面A 1DE .
(2)由(1)知，当G 为BB 1的中点时，平面A 1DE 的一个法向量为
.三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CC 1⊥底面ABC ，所以以
CG
―→ C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系，如图所示．
因为AC ＝BC ＝CC 1＝2，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，
所以C (0,0,0)，A 1(2,0,2)，D (1,1,0)，E (0,1,0)，B (0,2,0)，F (0,1,2)，G (0,2,1)，＝(－2,2，－2)，＝(－2,1,0)，＝(0,2,1)．由CD 知为平面A 1DE 的一A 1B ―→ A 1F ―→ CG ―→ CG
―→ 个法向量．
设平面A 1BF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
即Error!
令x ＝1得n ＝(1,2,1)，为平面A 1BF 的一个法向量．设平面A 1BF 与平面A 1DE 所成的锐二面角为θ，
则cos θ＝
＝＝，
5
3030
6所以平面A 1BF 与平面A 1DE 所成的锐二面角的余弦值为.
30
6
3．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图②所示的四棱锥D 1­ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .
(1)设F 为CD 1的中点，试在AB 上找一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ；(2)求直线BD 1与平面CD 1E 所成的角的正弦值．解：(1)如图，取D 1E 的中点，记为L ，连接AL ，FL ，则
FL ∥EC ，又EC ∥AB ，
∴FL ∥AB ，且FL ＝AB ，
1
4∴M ，F ，L ，A 四点共面，且平面D 1AE ∩平面AMFL ＝AL ，若MF ∥平面D 1AE ，则MF ∥AL ，
∴四边形AMFL 为平行四边形，∴AM ＝FL ＝AB .
1
4(2)取AE 的中点O ，过点O 作OG ⊥AB 于G ，OH ⊥BC 于H ，连接
OD 1.
∵AD 1＝D 1E ，∴D 1O ⊥AE ，∴D 1O ⊥平面
ABCE ，D 1O ⊥OG ，D 1O ⊥OH ，又易得OG ⊥OH ，故OG ，OH ，OD 1两两垂
直，以O 为坐标原点，OG ，OH ，OD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则B (1,3,0)，C (－1,3,0)，E (－1,1,0)，D 1(0,0，)．
2故＝(－1，－3，)，＝(1，－3，)，＝(0，－2,0)．BD 1―→ 2CD 1―→ 2CE
―→ 设平面CD 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则
即Error!
取x ＝，得m ＝(，0，－1)．22设直线BD 1与平面CD 1E 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，〉|＝
＝＝.
BD 1
―→ |－22|3×
1223即直线BD 1与平面CD 1E 所成的角的正弦值为.
2
3
4.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，H 是CF 的中点．
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；
(2)求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；(3)求二面角H ­BD ­C 的大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .
又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，
平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDEF .
(2)设AC ∩BD ＝O ，取EF 的中点N ，连接ON ，
∵四边形BDEF 是矩形，O ，N 分别为BD ，EF 的中点，∴ON ∥ED .∵ED ⊥平面ABCD ，∴ON ⊥平面ABCD .由AC ⊥BD ，得OB ，OC ，ON 两两垂直．
∴以O 为原点，OB ，OC ，ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，BF ＝3，∴A (0，－，0)，B (1,0,0)，D (－1，0,0)，E (－1,0,3)，3F (1,0,3)，C (0，，0)，H .
3(1
2，32，
32)
∵AC ⊥平面BDEF ，
∴平面BDEF 的法向量＝(0,2，0)．AC
―→ 3设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，∵＝，
DH
―→ (32，32，32)
∴sin α＝|cos〈，〉|＝
＝，
DH ―→ AC
―→ 77∴直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值为.7
7(3)由(2)，得＝，＝(2,0,0)．BH ―→ (－12，32，32)
DB
―→ 设平面BDH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!
令z ＝1，得n ＝(0，－，1)．
3由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为＝(0,0，－3)，则cos〈n，〉＝
ED ―→ ED
―→
＝－，
12由图可知二面角H ­BD ­C 为锐角，∴二面角H ­BD ­C 的大小为60°.
B 卷——深化提能练
1.(2019届高三·辽宁五校联考)如图，在四棱锥E ­ABCD 中，底面
ABCD 为直角梯形，其中CD ∥AB ，BC ⊥AB ，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且AB ＝AE ＝BE ＝2BC ＝2CD ＝2，动点F 在棱AE ，且EF ＝λFA .
(1)试探究λ的值，使CE ∥平面BDF ，并给予证明；(2)当λ＝1时，求直线CE 与平面BDF 所成角的正弦值．解：(1)当λ＝时，CE ∥平面BDF .证明如下：1
2连接AC 交BD 于点G ，连接GF (图略)，
∵CD ∥AB ，AB ＝2CD ，∴＝＝，
CG GA CD AB 1
2∵EF ＝FA ，∴＝＝，∴GF ∥CE ，12EF FA CG GA 1
2又CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ，∴CE ∥平面BDF .
(2)如图，取AB 的中点O ，连接EO ，则EO ⊥AB ，
∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EO ⊥平面ABCD ，
连接DO ，∵BO ∥CD ，且BO ＝CD ＝1，∴四边形BODC 为平行四边形，∴BC ∥DO ，又BC ⊥AB ，∴AB ⊥OD ，
则OD ，OA ，OE 两两垂直，以OD ，OA ，OE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O ­xyz ，
则O (0,0,0)，A (0,1,0)，B (0，－1,0)，D (1,0,0)，C (1，－1，0)，E (0,0，)．3当λ＝1时，有＝，∴F
，EF ―→ FA
―→ (0，12，32)
∴＝(1,1,0)，＝(－1,1，)，＝.BD ―→ CE ―→ 3BF
―→ (0，32，3
2)
设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有即Error!令z ＝，得y ＝－1，x ＝1，则n ＝(1，－1，)为平面BDF 的一个
33法向量，
设直线CE 与平面BDF 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，CE
―→
15故直线CE 与平面BDF 所成角的正弦值为.
1
5
2.(2018·山东潍坊模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面四边形
ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .
(1)求证：BE ∥平面PAD ；
(2)若二面角P ­CD ­A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵∠DAC ＝∠AOB ，∴AD ∥OB .∵E 为PC 的中点，O 为圆心，连接
OE ，∴OE ∥PA ，又OB ∩OE ＝O ，PA ∩AD ＝A ，∴平面PAD ∥平面EOB ，∵BE ⊂平面EOB ，∴BE ∥平面PAD .
(2)∵四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，∴AD ⊥CD ，又PA ⊥平面
ABCD ，∴PA ⊥CD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，∴∠PDA 是二面角P ­CD ­A
的平面角，
∵tan∠PDA ＝2，PA ＝2，∴AD ＝1，如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，
DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz .PA ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点
F ，∵BO ∥AD ，∴BF ⊥CD ，∴BF ＝BO ＋OF ，∴BF ＝1＋＝，又
123
2CD ＝，∴DF ＝，∴P (1,0,2)，B ，C (0，，0)，＝(1，－，2)，33
2(32，32，0)
3CP
―→ 3＝(0，，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
DC
―→ 3∵
即Error!
令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.∴n＝(－2,0,1)是平面PCD 的一个法向量，又＝，PB
―→ (12，32，－2)
∴|cos〈，n〉|＝
＝＝，
PB
―→
|
－1＋0－2
5×
5|
35∴直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.
3
53.(2018·合肥一模)如图，已知平行四边形ABCD 与△EMN 所在的平
面都与矩形BDEF 所在的平面垂直，且∠BAD ＝60°，AB ＝MN ＝2AD ＝2，EM ＝EN ，F 为MN 的中点．
(1)求证：MN ∥AD ；
(2)若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求二面角M ­AB ­C 的余弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1，由余弦定理可得
BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以
BD ＝，AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD .又平面ABCD ⊥平面BDEF ，平面ABCD ∩平面3BDEF ＝BD ，所以AD ⊥平面BDEF .在△EMN 中，EM ＝EN ，F 为MN 的中点，所以MN ⊥EF ，又平
面EMN ⊥平面BDEF ，平面EMN ∩平面BDEF ＝EF ，所以MN ⊥平面BDEF .所以MN ∥AD .
(2)在矩形BDEF 中，ED ⊥BD ，
又平面ABCD ⊥平面BDEF ，平面ABCD ∩平面BDEF ＝BD ，所以ED ⊥平面ABCD .所以∠EAD 为直线AE 与平面ABCD 所成的角，故∠EAD ＝60°.
在Rt△EAD 中，ED ＝AD tan∠EAD ＝1×tan 60°＝.
3
如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DB ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，，0)，E (0,0，)，F (0，，)，M (1，，33333)，＝(0，－，－)，＝(－1，，0)．3MA ―→ 33AB ―→ 3因为DE ⊥平面ABCD ，
所以＝(0,0，)为平面ABCD 的一个法向量．DE
―→ 3设平面MAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以
即
整理得Error!
令y ＝1，则x ＝，z ＝－1，
3所以n ＝(，1，－1)是平面MAB 的一个法向量．3所以cos〈 ，n〉＝
＝－＝－.
DE
―→ 3×1
3×
3 2＋12＋ －1 25
5设二面角M ­AB ­C 的大小为θ，由图可知θ为钝角，
所以cos θ＝cos〈，n〉＝－.
DE
―→
554．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2，AD ＝，AB ＝1，如图①所示，2将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置得三棱锥P ­BCD ，如图②所示．
(1)求证：BD ⊥PC ；
(2)当平面PBD ⊥平面PBC 时，求二面角P ­DC ­B 的大小．
解：(1)证明：在图①中，连接AC ，交BD 于点G ，因为∠CDA ＝∠DAB ＝90°，
所以tan∠CAD ＝＝，tan∠DBA ＝＝，
CD AD 2AD
AB 2所以∠CAD ＝∠DBA ，因为∠CAD ＋∠BAG ＝90°，
所以∠DBA ＋∠BAG ＝90°，所以BD ⊥AC .
所以将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置后，仍有BD ⊥PG ，BD ⊥CG ，如图②所示，又PG ∩CG ＝G ，所以BD ⊥平面PCG ，又PC ⊂平面PCG ，所以BD ⊥PC .
(2)因为平面PBD ⊥平面PBC ，PB ⊥PD ，平面PBD ∩平面PBC ＝PB ，PD ⊂平面PBD ，所以
PD ⊥平面PBC ，
因为PC ⊂平面PBC ，所以PD ⊥PC ，
又BD ⊥PC ，BD ∩PD ＝D ，所以PC ⊥平面PBD ，所以BP ⊥CP .以P 为坐标原点，PC ，PB ，PD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，
z 轴建立空间直角坐标系如图③所示，则P (0,0,0)，B (0,1,0)，C (
，0,0)，D (0,0，)，＝(0，－1，)，
22BD ―→
2＝(，－1,0)，
BC
―→
2易知平面PCD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，
设n ＝(x ，y ，z )为平面BCD 的法向量，则
即Error!
令x ＝1，则y ＝，z ＝1，得n ＝(1，，1)是平面BCD 的一个法向量．22则cos〈m，n〉＝＝，m·n
| m |·|n|22易知二面角P ­DC ­B 为锐角，所以二面角P ­DC ­B 的大小为45°.。