上海市浦东新区实验学校2017届高三上学期第二次月考数学试卷 含解析

2016-2017学年上海市浦东新区实验学校高三(上）第二次月考数
学试卷
一、填空题（共14小题,每小题5分，满分70分）1．已知全集U=｛2，4，a2﹣a+1｝，A={a+1，2},∁U A={7}，则a= ．
2．若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）（x﹣)＞0的解集为．
3．已知幂函数f(x）过点，则f(x）的反函数为f ﹣1(x)= ．
4．设α:1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R,若α是β的充分条件，则m的取值范围是．
5．在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则
a2+a8= ．
6．已知f（x）=，则= ．7．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为,则的值为．
8．对于集合M,定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B=｛x|f A（x）•f B（x）=﹣1｝．已知A=｛2，4，6，8，10}，B={1，2,4，8，12｝，则用列举法写出集合A△B的结果为．
9．函数y=sinx+cosx的图象可以看作是由函数y=sinx ﹣cosx的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为．
10．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A,B，C 的对边，a=2且（2+b)（sinA﹣sinB)=(c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．
11．设a为实常数，y=f（x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7,若f（x)≥a+1对一切x ≥0成立，求a的取值范围．
12．求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数,则函数f（x)在R上单调递减,且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=(2x+3）3+2x+3的解集为．
13．已知函数f（x）=｜x﹣a｜﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为．
14．已知函数f（x）=cos(asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则a2+b2的取值范围为．
二、选择题(本大题满分20分）本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编
号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分，否则一律得零分．
15．若集合S=｛a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是( ）
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
16．下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f(x+y）=f（x)f（y）”的是（）A．幂函数B．对数函数 C．指数函数 D．余弦函数17．已知函数f（x)=｜arctanx|，若存在x1、x2∈［a，b］，使≤0成立，则以下对实数a、b的描述正确的是（)
A．a＜0 B．a≤0 C．b≤0 D．b≥0
18．给出下列六个命题：
（1）若f(x﹣1）=f（1﹣x），则函数f(x）的图象关于直线x=1对称．
（2）y=f(x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称．
（3）y=f（x+3）的反函数与y=f﹣1（x+3）是相同的函数．
（4）x+2015无最大值也无最小值．（5）y=的周期为π．
(6）y=sinx(0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个．则正确命题的个数是( )
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题(本大题满分60分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．等差数列{a n｝中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求｛a n}的通项公式；
(Ⅱ）设b n=［a n]，求数列｛b n}的前10项和，其中［x]表示不超过x的最大整数，如［0。

9]=0，［2。

6］=2．20．设全集U=R，关于x的不等式|x+2｜+a﹣2＞0（a ∈R)的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若（∁U A）∩B中有且只有三个元素,求实数a的取值范围．21．已知函数f（x)=10sin cos+10cos2．
(Ⅰ）求函数f(x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度,再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g(x）的图象，且函数g（x）的最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g （x0）＞0．
22．设函数,函数，其中a为常数且a＞0,令函数f（x）=g（x)•h(x）．
(1）求函数f(x）的表达式，并求其定义域；
(2)当时，求函数f（x）的值域;
(3)是否存在自然数a,使得函数f（x）的值域恰为
？若存在,试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合;若不存在，试说明理由．
23．已知函数f（x）,如果存在给定的实数对（a，b)，使得f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立,则称f(x）为“Γ﹣函数”．
（1）判断函数f1(x）=x，是否是“Γ﹣函数"; (2）若f3（x)=tanx是一个“Γ﹣函数"，求出所有满足条件的有序实数对（a,b）；
（3)若定义域为R的函数f（x）是“Γ﹣函数"，且存在满足条件的有序实数对(0,1）和（1,4），当x∈[0，1］
时，f(x）的值域为［1,2］，求当x∈[﹣2016,2016］时函数f(x）的值域．
2016—2017学年上海市浦东新区实验学校高三（上）
第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分,满分70分) 1．已知全集U={2,4，a2﹣a+1｝，A=｛a+1，2｝，∁U A={7｝,则a= 3 ．
【考点】补集及其运算．
【分析】由全集U及A的补集，确定出4为集合A中的元素，7不是集合A的元素，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵全集U=｛2,4,a2﹣a+1}，C U A={7｝，∴a+1=4，a2﹣a+1=7，
分别求解得:a=3;a=3或a=﹣2,
则a=3．
故答案为:3
2．若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）(x﹣）＞0的解集为{x|a} ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】通过a的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可．
【解答】解：∵0＜a＜1，∴，
则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集就是（x﹣a)（x ﹣）＜0的解集,
即：｛x｜a｝．
故答案为：｛x｜a｝．
3．已知幂函数f(x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1(x)= x2（x≥0）．
【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】设幂函数f（x)=xα，（α为常数)．由于幂函数f（x)过点,代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2,把x与y互换即可得出反函数．
【解答】解:设幂函数f（x）=xα,（α为常数）．
∵幂函数f（x）过点，
∴，解得．
∴f（x）=,
由y=解得x=y2，
把x与y互换可得y=x2．
∴f（x）的反函数为f﹣1(x）=x2(x≥0）．
故答案为：x2(x≥0）．
4．设α:1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是﹣≤m≤0 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义可得即
，
【解答】解:∵α：1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R，若α是β的充分条件，
令α：{x|1≤x≤3}，β：{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}∴集合α⊆β,
得即，
∴故答案为：，
5．在等差数列｛a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 10 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．
【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，
得到a5=5，
则a2+a8=2a5=10．
故答案为：10．
6．已知f（x）=,则= 0 ．【考点】反三角函数的运用．
【分析】欲求则=，只需
,arcsin(2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．
【解答】解:令=﹣,
∴arcsin（2x+1）=,
∴2x+1=1，
∴x=0,
故答案为：0．
7．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α,它的终边与单位圆相交于点A,且点A的横坐标为,则的值为﹣．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα，再利用二倍角的正切公式、诱导公式求得tan 的值，可得的值．
【解答】解：由题意可得点A的横坐标为，它的纵坐标为，故tanα==，
再利用二倍角公式可得=，求得tan=,或
tan=﹣（舍去），
故=﹣tan=﹣，
故答案为：﹣．
8．对于集合M，定义函数对于两个集合
A，B,定义集合A△B=｛x｜f A（x)•f B(x)=﹣1}．已知A=｛2，4,6，8，10｝，B={1，2，4，8,12｝，则用列举法写出集合A△B的结果为{1,6，10，12｝．【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】在理解题意的基础上，得到满足f A(x）•f B（x)=﹣1的x∈｛x|x∈A且x∉B｝∪{x｜x∈B且x∉A｝，分别求出两个集合后取并集．
【解答】解：要使f A（x）•f B（x）=﹣1，
必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪｛x|x∈B且x∉A}
=｛6，10}∪{1,12｝=｛1,6，10,12,｝，
所以A△B=｛1，6，10，12}．
故答案为｛1，6,10，12｝．
9．函数y=sinx+cosx的图象可以看作是由函数y=sinx ﹣cosx的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．
【分析】利用辅助角公式化简得sinx+cosx=sinx
（x+）．设f（x）=sinx﹣cosx，其图象向左平移φ个单位得f（x+φ）=sinx（x+）=sinx(x+φ﹣)，结合正弦函数的图象与性质列式，即可解出φ的最小正值为，从而得到本题答案．
【解答】解:y=sinx+cosx=(sinxcos+cosxsin）
=sinx（x+)
同理可得y=sinx﹣cosx=sinx(x﹣）
令f（x）=sinx﹣cosx=sinx（x﹣），
设y=f（x）图象向左平移φ（φ＞0)个单位，得到
y=sinx+cosx的图象
则f（x+φ）=sinx（x+φ﹣）=sinx（x+）
∴φ﹣=+2kπ（k∈Z）,取k=0，得φ的最小正值为
即平移的最小长度为
故答案为：
10．已知a,b，c分别为△ABC的三个内角A，B,C的对边，a=2且（2+b）(sinA﹣sinB）=（c﹣b)sinC，则△ABC面积的最大值为．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解:因为:（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）=(c﹣b）c
⇒2a﹣b2=c2﹣bc，
又因为：a=2，
所以：，△ABC面积，
而b2+c2﹣a2=bc
⇒b2+c2﹣bc=a2
⇒b2+c2﹣bc=4
⇒bc≤4
所以:，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．
11．设a为实常数,y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x）=9x++7，若f（x）≥a+1对一切x ≥0成立,求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据函数的奇偶性，求出函数的解析式，根据不等式恒成立即可得到结论．
【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f （x)≥a+1对一切x≥0成立，
∴f（0）=0≥a+1，即a≤﹣1，
当x＞0，则﹣x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=9x++7，
∴当﹣x＜0时，f（﹣x)=﹣9x﹣+7=﹣f（x）,
则f（x）=9x+﹣7，
∵f（x）=9x+﹣7≥，
∴由6｜a|﹣7≥a+1,即6|a|﹣a≥8
当a≥0，则不等式等价为5a≥8，即a≥，成立．当a＜0，则不等式等价为﹣7a≥8，即a≤﹣，
综上：a≥或a≤﹣．
∵a≤﹣1，
∴a≤﹣．
12．求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数，则函数f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（2x+3)3+2x+3的解集为｛﹣1,3} ．
【考点】类比推理．
【分析】类比求“方程=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f(x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=2x+3，解之即得方程
x6+x2=(2x+3）3+2x+3的解集．
【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x)在R上单调递增，
由x6+x2=（2x+3）3+2x+3即（x2）3+x2=（2x+3）3+2x+3,∴x2=2x+3，
解之得，x=﹣1或x=3．
所以方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为｛﹣1，3｝．故答案为:｛﹣1，3}．
13．已知函数f(x)=|x﹣a｜﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列,则实数a的取值集合为
｛，﹣｝．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】令g(x）=0，化简函数g（x）=，
从而不妨设f(x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时,求得两根，x≤a时，再分①a≤﹣1,②﹣1＜a≤3，③a＞3,运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．
【解答】解：函数f（x）=|x﹣a｜﹣+a﹣2有且仅有三个零点,设f(x)=0，可得|x﹣a｜﹣+a=2，
设g（x)=｜x﹣a|﹣+a,h(x)=2，则函数g（x）
=．
不妨设f（x）=0的3个根为x1,x2,x3，且x1＜x2＜x3，当x＞a时,由f（x）=0，解得x=﹣1，或x=3;
若①a≤﹣1，此时x2=﹣1，x3=3，由等差数列的性质可得x1=﹣5，
由f（﹣5)=2a+5+﹣2=0，解得a=﹣，满足f（x）=0在（﹣∞，a］上有一解．
若②﹣1＜a≤3，则f（x）=0在（﹣∞，a］上有两个不同的解,不妨设x1，x2，其中x3=3，
所以有x1,x2是2a﹣x﹣=2的两个解，即x1,x2是x2﹣（2a﹣2）x+3=0的两个解．
得到x1+x2=2a﹣2，x1x2=3，
又由设f(x）=0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3,得到2x2=x1+3，
解得：a=或(舍去）．
③a＞3,f（x）=0最多只有两个解，不满足题意;
综上所述，a=或﹣，
故答案为：{,﹣｝．
14．已知函数f(x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则a2+b2的取值范围为[0，）．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】把函数的零点问题转化为cos(asinx）=sin （bcosx）都无解，即可得出sin(x+α)=+2kπ（k ∈z）,再利用函数的有界性求解得出不等式即可．【解答】解：根据题意函数f(x）=cos(asinx）﹣sin(bcosx)无零点，
得出cos（asinx）=sin(bcosx）无解，
若方程有解,则asinx+bcosx=+2kπ（k∈z)
所以sin(x+α）=+2kπ（k∈z)，
∴｜｜≤1，即≤1，即a2+b2≥，
因此要使函数f（x)=cos（asinx）﹣sin(bcosx）无零点，则0≤a2+b2
故答案为:[0，）
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．若集合S=｛a，b，c}(a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（)
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【考点】集合的确定性、互异性、无序性；三角形的形状判断．
【分析】由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a,b及c构成三角形的三边长,得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．
【解答】解：根据集合元素的互异性可知：
a，b及c三个元素互不相等，
若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．
故选D．
16．下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f(y）”的是( ）A．幂函数B．对数函数 C．指数函数 D．余弦函数【考点】有理数指数幂的运算性质．
【分析】根据题意,要求找到符合“对任意的x＞0，y ＞0,函数f(x）满足f（x+y）=f(x）f(y）"的函数；分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，要求找到符合“对任意的x ＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；
分析选项可得，A、B、D不符合f（x+y）=f（x）f（y)，只有C中，对于指数函数有:a x+y=a x•a y，成立；
故选C．
17．已知函数f(x）=|arctanx｜，若存在x1、x2∈［a，b]，使≤0成立，则以下对实数a、b的描述正确的是（）
A．a＜0 B．a≤0 C．b≤0 D．b≥0
【考点】函数单调性的性质．
【分析】先根据f（x)=｜arctanx｜的图象性质，推得函数f(x）=｜arctanx｜的单调区间，再依据条件分析求解．
【解答】解:∵f（x）=|arctanx｜的图象是把f(x）=arctanx 的图象中x轴下方的部分对称到x轴上方,
∴函数在（﹣∞，0）上递减；在(0，+∞）上递增．∵存在x1、x2∈[a，b]，使≤0成立,可得函数f(x）=｜arctanx｜在区间［a，b］上是减函数,
∴b≤0，
故选:C．
18．给出下列六个命题：
（1）若f（x﹣1)=f（1﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
(2)y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称．
（3）y=f(x+3）的反函数与y=f﹣1（x+3）是相同的函数．
(4)x+2015无最大值也无最小值．
（5）y=的周期为π．
（6）y=sinx(0≤x≤2π）有对称轴两条,对称中心三个．则正确命题的个数是（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）(2）（3）考查抽象函数的对称性，可以采用特殊函数进行验证,
（4）x=0时,y有最大值;(5）化为y=tan2x，周期可求；
(6)注意定义域，可结合图象进行判断．
【解答】解：（1)f（x﹣1）=f（1﹣x）⇔f（x﹣1）=f （﹣（x﹣1)），则函数f(x）的图象关于直线x=0对称，命题错误
（2）取f（x)=x﹣1，则f（x﹣1）=x﹣2，f（1﹣x）=﹣x，图象不关于直线x=0对称,命题错误
(3）取f(x）=x﹣1，y=f(x+3）=x+2，y=f﹣1(x）=x+1，y=f﹣1(x+3)=x+4，命题错误．
(4））x+2015，x=0时,y有最大值,所以命题错误．
（5）原函数可化为y=tan2x,周期为，命题错误．（6）受0≤x≤2π的影响，y=sinx，没有对称轴，只有一个对称中心，所以命题错误．
故选：A
三、解答题（本大题满分60分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．等差数列{a n｝中，a3+a4=4，a5+a7=6．
(Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=[a n］，求数列｛b n｝的前10项和，其中［x］表示不超过x的最大整数，如［0。

9]=0，［2.6]=2．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组,解得答案；
（Ⅱ）根据b n=［a n］,列出数列｛b n}的前10项，相加可得答案．
【解答】解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,
∵a3+a4=4,a5+a7=6．
∴，
解得：，
∴a n=；
(Ⅱ）∵b n=［a n］，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{b n｝的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×
4=24．
20．设全集U=R，关于x的不等式｜x+2|+a﹣2＞0（a ∈R）的解集为A．
（1）求集合A;
（2）设集合，若（∁U A）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算．
【分析】(1）不等式即|x+2｜＞2﹣a，分类讨论求得x 的范围．
(2）当a＞2时，∁U A=∅，不合题意；当a≤2时，∁U A=｛x｜a﹣4≤x≤﹣a｝．求得B=Z，当（∁U A)∩B 有3个元素时，a就满足，由此可以得到a
的范围．
【解答】解：（1）由|x+2|+a﹣2＞0可以得到：|x+2|＞2﹣a．
当a＞2时,解集是R;当a≤2时，解集是{x|x＜a﹣4或x＞﹣a}．
（2）（i）当a＞2时，∁U A=∅，不合题意;
（ii）当a≤2时,∁U A={x|a﹣4≤x≤﹣a}．
因=sinπxcos﹣
cosπxsin+cosπxcos+sinπxsin=2sinπx,
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z）,即x=k，k∈Z,所以B=Z．当（∁U A）∩B有3个元素时，a就满足,可以得到0＜a≤1．
21．已知函数f（x）=10sin cos+10cos2．
（Ⅰ)求函数f(x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g （x0）＞0．
【考点】三角函数的最值;函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式,进而求出最小正周期；
(Ⅱ）(i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式;
(ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=
由正弦函数的性质当x∈(2kπ+α0，2kπ+π﹣α0)（k∈Z）时，均有sinx，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）
=10sin cos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin(x+) +5，
∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；
(Ⅱ）（i)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，
再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g（x）
=10sinx+5﹣a的图象，
∵函数g（x）的最大值为2,∴10+5﹣a=2，解得a=13，∴函数g（x）=10sinx﹣8．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g （x0）＞0，
就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0,即sinx0,
由＜知,存在0＜α0＜，使得sinα0=，
由正弦函数的性质可知，当x∈（α0,π﹣α0）时，均有sinx，
因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），
(k∈Z）时，均有sinx．
因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinx k，
即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0）＞0．
22．设函数，函数，其中a 为常数且a＞0，令函数f（x)=g（x）•h（x）．
(1)求函数f(x）的表达式,并求其定义域；
(2）当时,求函数f（x）的值域；
（3)是否存在自然数a,使得函数f（x)的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合;若不存在，试说明理由．
【考点】函数的定义域及其求法;函数的值域．
【分析】(1)求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．
（2）当时，函数f(x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；
（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．
【解答】解：（1），其定义域为［0,a］；（2)令,则且x=（t﹣1)2
∴
∴
∵在[1,2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴在上递增，即此时f（x）的值域为
（3）令，则且x=(t﹣1）2∴
∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增,
∴y=在[1,2］上递增,上递减，
t=2时的最大值为，
∴a≥1，又1＜t≤2时
∴由f（x）的值域恰为，由,解得:t=1或t=4
即f（x)的值域恰为时，
所求a的集合为｛1，2,3，4,5,6，7，8,9}．
23．已知函数f（x），如果存在给定的实数对(a,b)，使得f（a+x)•f（a﹣x）=b恒成立,则称f（x）为“Γ﹣函数”．
（1）判断函数f1（x）=x,是否是“Γ﹣函数”；（2)若f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对(a,b）;
（3)若定义域为R的函数f(x）是“Γ﹣函数"，且存在满足条件的有序实数对(0，1）和（1，4），当x∈［0，1］时,f(x）的值域为[1，2]，求当x∈［﹣2016，2016］时函数f（x）的值域．
【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．
【分析】(1）假设f1（x)，f2（x）为Γ﹣函数,根据新定义得出恒等式，判断恒等式是否成立即可得出结论；（2）假设f3（x)为Γ﹣函数，列出恒等式,根据和角的正切公式计算，得出关于x的恒等式解出a,b；（3）根据定义列出恒等式，根据所给条件归纳得出当x∈［2k，2k+2]时，f（x）∈［22k，22k+2］，从而求的f （x）的值域．
【解答】解：（1）若f1（x）=x是“Γ﹣函数”,则存在实数对（a，b)，使得（a+x）(a﹣x)=b．
即x2=a2﹣b对x∈R恒成立，而关于x的方程x2=a2﹣b 最多有两个解，不符合题意．
因此f1（x）=x不是“Γ﹣函数"．
若是“Γ﹣函数”，则存在实数对（a,b），使得3a+x•3a﹣x=32a=b，
即存在常数对(a，32a)满足条件,
因此是“Γ﹣函数”．
（2）∵f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”，∴存在序实数对(a,b)满足tan（a+x）•tan（a﹣x)=b恒成立,
当时,tan（a+x）•tan（a﹣x）=﹣cot2x，不是常数．
∴．
当时，有
恒成立，
即（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立．
则，
当，时，tan（a+x）•tan（a﹣x）=cot2a=1成立．
因此满足f3(x)=tanx是一个“Γ﹣函数”时,实数对
．
（3）函数f（x)是“Γ﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0,1)和（1,4)，
∴f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x)=4，
∵f（1+x)•f（1﹣x)=4⇔f(x）•f（2﹣x）=4，x∈［1，2]时,2﹣x∈[0，1］，f(2﹣x）∈［1,2］，，∴x∈[0，2］时，f（x）∈[1，4］,
,
∴x∈［2，4］时，f(x）∈[4，16]，x∈［4，6］时，f （x）∈[16,64］,…
以此类推可知：x∈[2k，2k+2]时，f（x)∈［22k，22k+2]，∴当x∈[2014,2016］时,f（x）∈[22014，22016]，
因此x∈［0,2016]时，f（x）∈[1,22016］，x∈［﹣2016，0]
时,
,综上可知当x∈[﹣2016,2016］时函数f（x）对的值域为[2﹣2016，22016］．
2017年1月11日。