第3讲 胡不归+阿氏圆+费马点

第3讲：胡不归+阿氏圆+费马点
模块一：胡不归
【举例说明】已知D 为射线AB 上一动点，︒=∠30BAC ，AC =32，当AD =__________时，
CD AD +2
1
取最小值；AD +2CD 的最小值是__________
课堂讲练
【例1】（2019桂林）如图，在△ABC 中，∠A ＝15°，AB ＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则2
2
AP
+PB 的最小值是（ ）
“
AP +k
•PB ”型
作法
作图
原理
点A 、点B 为定点，点P 为BM 上一点，求“PA +k ·PB ”的最小值．
作∠MBN ，使得sin ∠MBN = k ，
过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ ，求“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。

点到直线，垂线段最短
“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。

A ．2
B ．3
C ．
62
D ．2
【例2】（2020•安溪县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连结PD ，则2PD +PC 的最小值是（ ）
A ．4
B ．2+22
C ．22
D ．32+2
32
【例3】（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．
（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =1
2S △ACE 时，求m 的值；
（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +1
2，当2AM +2DM 的最小值为272
4
时，
求b 的值．
【例4】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED
（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若AB =6cm ，BC =5cm
①求EAD sin 的值
②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间
【例5】如图，在△ACE 中，CA =CE ，︒=∠30CAE ，B e O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上
（1）试说明CE 是B
e O 的切线（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示B
e O 的直径AB
（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当OD CD 2
1
的最小值为6时，求B
e O 的直径AB 的长
变式练习：
1．（2018春•鼓楼区期中）已知：A （﹣1，0），C （0，3）在y 轴上选一点P ，使AP +1
2PC 最短，则P 点坐标为（ ）A ．（0，32
）
B ．（0，34
）
C ．（0，35
）
D ．（0，33
）
2．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则1
2AE +CE 的最小值为 ．
3．（2020•金台区校级模拟）如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +1
2BM 的最小值为 ．
4．（2020秋•锦江区校级期中）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2
E'B的最小值．
3
5．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
CF的最小值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+2
2
6．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为
，如图所示．抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=4
3
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
PC+PB的最小值．
②连结PB，求3
5
7．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
OQ的最小值．
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+1
4
模块二：阿氏圆
前面我们说过胡不归的模型，事实上阿氏圆的模型与其是非常相似的，我们知道“PC kPD +”型中当P 点运动轨迹是直线的时候，他就是胡不归模型。

当P 点运动轨迹是圆的时候，它就是阿氏圆模型.所谓阿氏圆，是指希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
课堂讲练
一、向内构造
【例1】（2017秋•滨湖区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，7CB =，9AC =，
以C 为圆心、3为半径作C e ，P 为C e 上一动点，连接AP 、BP ，则13
AP BP +的最小值为( )
A ．7
B ．
C ．4+
D ．【例2】如图，在 R △ABC 中，∠C =90°，CA =3，CB =4.⊙C 的半径为2，点P 是⊙C 上一动点，则PB AP 2
1+的最小值为__________
【例3】如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B =60°，⊙B 的半径为 2，P 为⊙B 上一动点则PC PD 2
1+的最小值为__________
【例4】在中，，，，以点为圆心，4为半径的圆上有
ABC ∆90ACB ∠=︒8BC =6AC =C
一动点，连接，，，则的最小值是__________ 变式训练
1
．（
2020•福田区校级模拟）如图，已知6AC =，8BC =，10AB =，以点C 为圆心，4为半径作圆．点D 是C e 上的一个动点，连接AD 、BD ，则12
AD BD +的最小值为__________2．（2018•常熟市二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2，点P 是B e 上的一个动点，则12
PD PC -的最大值为__________D AD BD CD 12
BD AD +
3．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，1AC =，2BD =，P 为¶AB 上
PD +的最小值为__________
4．如图，在 R △ABC 中，∠A =30°，AC =8，以 C 为圆心，4 为半径作⊙C 。

（1）试判断⊙C 与 AB 的位置关系，并说明理由；
（2）点 F 是⊙C 上一动点，点 D 在 AC 上且 CD =2，试说明△FCD ~△ACF （3）点 E 是 AB 边上任意一点，在（2）的情况下，试求出FA EF 2
1+的最小值
5．如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（3，0），以点 M 为圆心，5 为 半径的圆与坐标轴分别交于点 A 、B 、C 、D 。

（1）△AOD 与△COB 相似吗？为什么？
（2）如图 2，弦 DE 交 x 轴于点 P ，且 BP : DP = 3 : 2 ，求 tan ∠ EDA
（3）如图 3，过点 D 作⊙M 的切线，交 x 轴于点 Q ，点 G 是⊙M 上的动点，问比值GQ
GO 是否变化？若不变，请求出比值；若变化说明理由
6．（2019秋•东台市期末）（1）初步思考：
如图1，在PCB ∆中，已知2PB =，4BC =，N 为BC 上一点且1BN =，试证明：12
PN PC =（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12
PD PC -的最大值．
二、向外构造
【例1】（2020•郫都区模拟）如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，2BA BC ==，以B 为圆
心作圆B 与AC 相切，点P 是圆B 上任一动点，连接PA 、PC PC +的最小值为__________
【例2】如图，在扇形CAB 中，4CA =，120CAB ∠=︒，D 为CA 的中点，P 为¶BC
上一动点（不与C ，B 重合），则2PD PB +的最小值为__________
【例3】如图，点 A 、B 在⊙Ο 上，OA ⊥ OB ，OA =OB =12，点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，OD =10，点 P 是⊙Ο 上一动点，则PD PC 2
1+的最小值为__________
变式训练
1、如图 O 的半径为 2，AB 为直径．过 AO 的中点 C 作 CD ⊥AB 交
O 于点 D ，DE 为 O 的直径，点 P 为 O 上动点，则 2PC +PE 的最
小值是__________
2、如图，在平面直角坐标系中，以点 C (1，1)为圆心，OC 为半径的圆与 x 轴、y 轴分别与 x 轴，y 轴交于点 A 和点 B ，点 D 为弧 AB 上的动点，则AD BD 2
10+
的最小值为__________
3．（2019秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，6为半径画圆弧，与两坐标轴分别交于点A 、B ，已知点(5,0)C 、(0,3)D ，P 为AB 上一点，则2PD CP +的最小值为__________
4．（2020•浦口区模拟）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12BC =，9AC =，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则23AD BD +的最小值是__________
5．如图，在平面直角坐标系中，A （-2，0），B （0，1），C （0，3），以O 为圆心，OC
为半径画圆，P 为⊙Ο 上一动点，则PB PA 2
3的最小值为__________
6．如图，等边△ABC 的边长为 6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则 2PB +PC 的最小值为__________
模块三：费马点
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。

看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．正因为这个问题，是他解决的，故而叫费马点．
【举例】
例题精讲
【例1】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 为ABC ∆内一点，连接PA 、PB 、PC ，当3AC =，6AB =时，则PA PB PC ++的最小值是___________
【例2】（2019秋•开福区校级月考）法国数学家费马提出：在ABC ∆内存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA PB PC ++的值为费马距离．经研究发现：在锐角ABC ∆中，费马点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，如图，点P 为锐角ABC ∆的费马点，且3PA =，4PC =，60ABC ∠=︒，则费马距离为___________
【例3】（2020•崇州市模拟）如果点P 是ABC ∆内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC ∆的费马点．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC ∆中，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，P 就是ABC ∆的费马点．若点P
的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++=___________
变式训练：
1、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为___________
2、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 为ABC ∆内一点，连接PA 、PB 、PC ，当3AC =，6AB =时，则PA PB PC ++的最小值是
___________
A
B C
D
M E
3、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP＋BP＋PD 的最小值为 ___________
4．（2016秋•昌平区期末）如图1，在ABC
∠=︒，点P为ABC
∆内一点．
ACB
∆中，90
∆，点B，C，P的对应点（1）连接PB，PC，将BCP
∆沿射线CA方向平移，得到DAE
分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP CE
AB=，求CE的长．
⊥，3
BP=，6
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA PB PC
++的最小值．
∆顺时针旋转60︒得到AMN
小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP
∆，那么就将++的值转化为CP PM MN
++的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可PA PB PC
解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA PB PC CP PM MN
++=++．
并直接写出当4
++的最小值．
==时，PA PB PC
AC BC
5．（2020•崇川区校级模拟）（1）【操作发现】
如图1，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转50︒，得到ADE ∆，连接BD ，则ABD ∠= 度．
（2）【解决问题】
①如图2，在边长为的等边三角形ABC 内有一点P ，90APC ∠=︒，120BPC ∠=︒，求APC ∆的面积．
②如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，若1PB =，3PA =，135BPC ∠=︒，则PC =___________
（3）【拓展应用】
如图4是A ，B ，C 三个村子位置的平面图，经测量4AB =，BC =，75ABC ∠=︒，P 为ABC ∆内的一个动点，连接PA ，PB ，PC ．求PA PB PC ++的最小值．
6、如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是___________
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为3
2时，菱形ABCD的边长为2．。