高中数学 1.3.2 知能优化训练(1) 苏教版必修4

（新课程）2013高中数学 1.3.2 知能优化训练（1）
1．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝32
的交点个数为________． 解析：在同一坐标系中作出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝32
的图象，由图可得有两个交点．
答案：2
2．使cos x ＝1＋m 1－m
有意义的实数m 的取值范围是________． 解析：由题设|1＋m 1－m
|≤1⇒|1＋m |≤|1－m |且m ≠1，得m ≤0. 答案：m ≤0
3．函数y ＝3＋3cos(2x ＋π3
)的值域是________． 解析：－1≤cos(2x ＋π3
)≤1，∴0≤y ≤6. 答案：[0,6]
4．函数y ＝－2sin x 在[0,2π]上的图象的最高点坐标是________．
解析：函数y ＝－2sin x 的图象与函数y ＝2sin x 的图象关于x 轴对称．
答案：(3π2
，2)
一、填空题
1．函数f (x )＝sin2x sin x
－1是________函数．(填“奇”或“偶”) 解析：定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称，且f (－x )＝sin －2x sin －x －1＝sin2x sin x
－1＝f (x )．
答案：偶
2．函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ＝__________.
解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2
)＝cos x 为偶函数． 答案：π2
3．已知函数f (x )＝sin(x －π2
)(x ∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号) ①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间[0，π2
]上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．
解析：∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在[0，π2
]上是增函数，则y ＝－cos x 在[0，π2
]上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．
答案：④
4．下列关系式中正确的是________．
①sin11°＜cos10°＜sin168°；②sin168°＜sin11°＜cos10°；③sin11°＜sin168°＜cos10°；④sin168°＜cos10°＜sin11°.
解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，又∵y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.
答案：③ 5．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点对称的条件是________．
解析：由3x ＋φ＝k π＋π2，得x ＝k 3π＋π6－φ3
为对称中心的横坐标．∵关于原点对称，∴
x ＝0，即k 3π＋π6－φ3＝0，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z)． 答案：φ＝k π＋π2(k ∈Z) 6．设α，β都是锐角，且sin α＜cos β，则α＋β的取值范围是________．
解析：将sin α，cos β化同名，得sin α＜sin(π2
－β)，再利用函数单调性求得． 答案：(0，π2
) 7．若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3
]上的最大值为2，则ω＝________. 解析：由0＜ω＜1知，函数f (x )在[0，π3]上单调递增，所以f (π3
)＝2，则可求出ω. 答案：34
8．若函数y ＝f (x )同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)在x ＝π3
时取得最大值1；(3)在区间[－π6，π3
]上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是________． ①y ＝sin(x 2＋π6)； ②y ＝cos(2x ＋π3
)； ③y ＝sin(2x －π6)； ④y ＝cos(2x －π6
)． 解析：由(1)排除①.由(2)可知函数在x ＝π3
时取得最大值1，代入可知③满足，而且在区间[－π6，π3
]上，③是增函数． 答案：③
二、解答题
9．作出下列函数在一个周期上的图象：
(1)y ＝2sin x ；(2)y ＝cos(x ＋π3)；(3)y ＝2sin 12
x . 解： (1)y ＝2sin x 的周期T ＝2π，可先确定关键的五个点：(0,0)，
(π2，2)，(π，0)，(3π2
，－2)，(2π，0)．在坐标系中将这五个点描出，并且光滑曲线连结这些点，得到图象如图所示．
(2)y ＝cos(x ＋π3)的周期T ＝2π，确定关键的五个点：(－π3
，1)，(π6，0)，(2π3，－1)，(7π6，0)，(5π3
，1)．在坐标系中将这五个点描出，然后用光滑曲线将它们连结起来，得到该
函数的图象如图所示．
(3)y ＝2sin 12x 的周期T ＝2π1
2
＝4π，故可确定关键的五个点：(0,0)，(π，2，)(2π，0)，(3π，－2)，(4π，0)．在坐标系中描出这五点，
然后用光滑曲线将它们连结起来，得到函数的图象如图所示．
10．比较下列各组数的大小：
(1)cos(－235π)与cos(－174
π)；(2)sin194°与cos160°. 解：(1)cos(－235π)＝cos(－6π＋75π)＝cos 75
π， cos(－174π)＝cos(－6π＋74π)＝cos 74
π， ∵π＜75π＜74
π＜2π， ∴cos 75π＜cos 74
π， 即cos(－235π)＜cos(－174
π)． (2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.
从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.
11．已知函数f (x )＝2a sin(x －π4
)＋a ＋b . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；
(2)当a ＜0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin(x －π4
)＋1＋b . ∵y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z)，∴当2k π＋π2≤x －π4
≤2k π＋3π2，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4
(k ∈Z)时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间是[2k π＋3π4，2k π＋7π4
](k ∈Z)． (2)f (x )＝2a sin(x －π4
)＋a ＋b ， ∵x ∈[0，π]，∴－π4≤x －π4≤3π4
， ∴－
22≤sin(x －π4
)≤1.又∵a ＜0， ∴2a ≤2a sin(x －π4)≤－a . ∴2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b ，
∵f (x )的值域是[2,3]，
∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3，
解得a ＝1－2，b ＝3.。