泸县第四中学高二数学上学期开学考试试题文

四川省泸县第四中学2020—2021学年高二数学上学期开学考试试题 文
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式01x
x <-的解集是（
）
A ．(),0-∞
B ．()0,1
C ．()(),01,-∞⋃+∞
D ．()1,+∞
2．直线3320--=x y 的斜率为(
)
A ．1
B ．
2
C ．3
D ．2
3．下列说法正确的是（ )
A ．有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C ．棱锥的所有侧面都是三角形
D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4．在中，
，，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知等比数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且5
5
S =，
10
30
S =，则15
S =（ )。

A ．90
B ．125
C ．155
D ．180
6．已知直线l 过点()2,3P ，且与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点.若AOB 的面积为
12(O 为坐标原点)，则直线l 的方程为
（ )
A ．32120x y +-=
B ．32240x y +-=
C ．23130
x y +-=
D ．23120x y +-=
7．已知向量1
e ，2
e 不共线，a =1
e +2
e λ，b =21
e -（λ—1）2
e ,若a ∥b ，则（ ） A ．1λ=-
B ．12
λ=
C ．1
3
λ= D ．1
3
λ=-
8．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集,则a 的取值范围是（ ) A ．［－4，4］ B ．（－4,4）
C ．（－∞，－4]∪［4,＋∞）
D ．(－∞，－4）∪（4，＋∞） 9．已知直线1
:210l x ay +-=，与()2
:2110
l
a x ay ---=平行，则a 的值是（ ）
A ．0或1
B ．1
或1
4
C ．0
或14 D ．14
10．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）
A ．2
3
B ．46+
C ．43+
D ．23+
11．若将函数2cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移14个最小周期后,所得图象对应的函数为（ ） A ．
2cos 24y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭ B ．2cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．2cos 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ D ．
2cos 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
12．如图,三棱柱11
1
ABC A B C -中，侧棱1
AA ⊥底面11
1
A B C ，底面三角形11
1
A B C
是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
A ．1
CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11
ABB A
C ．AE ，1
1
B C 为异面直线，且11AE B C ⊥ D ．11//A C 平面1
AB E
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

13．若向量1a =，2b =，2a b -=，则a b +=______________.
14．设数列{}n
a 满足1
2
a
=，2
6a
=，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______.
15．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132
AD AB AC =+,则DB DC ⋅=__________．
16．在
ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，
ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则9a c +的最小值为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

17．（10分）在
ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ,且2a =，
cos 4
5B =。

（1）若3b =，求sin A 的值； （2）若
ABC 的面积3ABC S =△，求b ，c 的值.
18．（12分）在ABC ∆中，3
B π
=
，点D 在边AB 上,1BD =，且DA DC =.
（1）若BCD ∆3CD ；
（2)设DCAθ
∠=，若3
AC=,求θ。

19．（12分）如图,在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F．
()1求证：//
AB EF；
()2若PA AD
=，且平面PAD⊥平面ABCD,
求证：AF⊥平面PCD．
20．(12分）已知向量(2,2)
OB=,点P在x轴上.
OA=-，(4,1)
(1）使AP BP⋅最小，求P点坐标
（2）若∠APB为钝角，求P横坐标的取值范围
21．（12分）在等比数列{}n a中,n S为{}n a的前n项和，且37
S=，6S=632，
2
（1）求n
a ．
（2）求数列{}n
na 的前n 项和n
T ．
22．（12分）已知函数()
2
()log log 2(0,1)a
a f x x x a a =-->≠.
（1)当2a =时,求(2)f ;
(2）求解关于x 的不等式()0f x >；
（3)若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围。

2020年秋四川省泸县第四中学高二开学考试
文科数学参考答案
1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．C 10．B 11．B 12．C 13．
14．()()*
1n n n N +∈ 15．12- 16．32
17．（1）∵
4cos 05
B =
>，且0B π<<，∴3sin 5B ==.
由正弦定理得sin sin a b A B =，∴sin 22
sin 3535
a B A
b ==⨯=。

（2）∵
11sin 3225
3
2△ABC S ac B c ==⨯⨯=，所以5c =
由余弦定理得
222222cos 24
5225135
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯= ∴
b =。

18．解法一:（1)因为
BCD
S ∆=即1
sin 2
BC BD B ⋅⋅=
又因为3B π
=
，
1BD =，所以4BC =。

在BDC ∆中，由余弦定理得，2
222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅
即
21
161241132
CD =+-⨯⨯⨯
=，解得CD =
（2）在ACD ∆中，DA DC =，因为A DCA θ∠=∠=,则2ADC πθ∠=-， 又
AC =,有
sin 2sin AC CD
θθ
=
，
所以2cos CD θ
=. 在
BDC
∆中,
2BDC θ
∠=，223
BCD π
θ∠=
-，
由正弦定理得，sin sin CD BD
B BCD =∠，即
3
12cos 2sin sin 233θππθ=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
， 化简得2cos sin 23πθθ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
因为02π
θ<<
，所以2sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫
-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
02
2
π
π
θ<
-<
，2223
33
π
ππ
θ-
<
-<, 所以
2223
θθππ-=-或222
3
π
π
θθπ-+
-=, 解得6
π
θ=
或18
π
θ=
.
解法二：（1）同解法一.
（2)证明：因为DA DC =，所以A DCA ∠=∠。

取AC 中点E ，连结DE ， 所以DE AC ⊥。

设DCA A θ∠=∠=，因为3AC =3EA EC =. 在Rt CDE ∆中，3
cos CE CD DCA =
∠
以下同解法一.
19．(1)证明：底面ABCD是正方形,
∴AB∥CD ,
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PCD ,
又A，B，E,F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF,
∴AB∥EF；
（2）证明:在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊄平面PAD
∴CD⊥平面PAD，
又AF⊂平面PAD ,
∴CD⊥AF ,
由（1)可知，AB∥EF，
又AB∥CD，C，D,E，F在同一平面内，
∴CD∥EF，
点E是棱PC中点,
∴
点F 是棱PD 中点 ，
在△PAD 中，PA =AD ，
∴
AF ⊥PD ,
又PD ∩CD =D ，PD 、CD ⊂平面PCD ,
∴
AF ⊥平面PCD ．
20．解：（1）设点P 的坐标为(,0)x ,可得(2,2)AP x =-，(4,1)BP x =--． 因此2
2(4)(2)266(3)3
AP BP x x x x x =---=-+=--．
二次函数2
(3)
3
y x =--,当3x =时取得最小值为3-．
∴
当3x =时,AP BP 取得最小值3-，此时(3,0)P ；
（2)若APB ∠为钝角，即有0PA PB <，且有PA ,PB 不共线． 设(,0)P m ，即有(2,2)PA m =--，(4,1)PB m =-， 则
(2)(4)20m m ---<，解得33m <<
由PA ，PB 共线，可得
22(4)
m m -=--，解得10
3
m =
则有
P
的横坐标的范围是
1010
(3)(,33)3
3
+．
21．（1）设等比数列的公比为q ，当q =1时，不合题意，舍去； 当1q ≠时，由题意()313
17
12a q S
q -=
=-，()66116312
S a q q -=-=，
解得
2
q ，11
2
a =
，
所以12
12n n n
a
a q --==;
(2）由题意2
2n n na n -=⋅,
所以1012
1222322n n
T
n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅①，
0121
21222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②，
由①-②得()
01211
112
12221222
22n
n n n n T n n ---⨯--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=- ()12112
n n -=--
⋅-，所以1
1(1)22n n T n -=-⋅+. 22．（1）当2a =时，()()2
22log log 2f x x x =-- ()21122f ∴=--=-
(2）由
()0f x >得:()()()2
log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>
log 1a x ∴<-或log 2a x >
当
1
a >时，解不等式可得：1
0x a
<<
或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1
x a
>
或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()2
10,,a a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
；当01a <<时，()0
f x >的解集为()
2
10,,a a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
(3)由()4f x ≥得：()
()()2
log log 6log 3log 20a
a a a x x x x --=-+≥
log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥
①当1a >时，()
max
log log 4a
a x =，()min log log 2a a x =
2
log 42log a a a -∴≤-=或
3
log 23log a a a ≥=,解得：1a <≤
②当01a <<时，()
max
log log 2a
a x =,()min log log 4a a x =
2
log 22log a a a -∴≤-=或
3
log 43log a a a ≥=,解得：
12
a ≤<
综上所述：
a
的取值范围为(3
1,
2⎫
⎤⎪⎦⎪⎣⎭。