湖北省十堰市丹江口第一中学2020年高三数学理月考试卷含解析

湖北省十堰市丹江口第一中学2020年高三数学理月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知l为实数集，，则=
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
2. 已知是虚数单位，则的值是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
3. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角
（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cosθ与θ的值．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]
由?（+）=3可得?+=3，
代入数据可得2×1×cosθ+22=3，
解得cosθ=﹣，
∴θ=．
故选：C．
4. 已知a，b为正实数，且+=2，若a+b≥c对满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围是（）
A．（﹣∞， +] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．（﹣∞，3+2]
参考答案：
A
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质可得a+b的最小值，即可得出．
【解答】解：∵a，b为正实数，且+=2，
∴a+b=（a+b）=≥=，当且仅当
b=a=时取等号．
∵a+b≥c对满足条件的a，b恒成立，
则c≤+．
故选：A．
5. 设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于
A.1
B. 2
C.
3 D. 4
参考答案：
C
因为成等比数列，所以，即，即
，所以，选C.
6. 命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|+x2＜0 B．?x∈R，|x|+x2≤0
C．?x0∈R，|x0|+x02＜0 D．?x0∈R，|x0|+x02≥0
参考答案：
C
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定?x0∈R，|x0|+x02＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
7. 已知x∈，且函数的最小值为b，若函数g(x)＝
，则不等式g(x)≤1的解集
为 ( )
参考答案：
D
8. 已知函数f(x)＝|lg x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围
是()
A．(1，＋∞) B．1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．2，＋∞)
参考答案：
C
9. 已知函数，各项均不相等的数列满足．令
．给出下列三个命题：
(1)存在不少于3项的数列，使得；
(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；
(3)若数列是等差数列，则对恒成立．
其中真命题的序号是（）
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)
参考答案：
D
10. i是虚数单位，复数=（）
A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．
【解答】解： ===1+i
故选C．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知不等式组表示的平面区域为D，若存在x∈D，使得y=x+，则实数m的取值范围是．
参考答案：
[﹣2，2）
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，分类化简y=x+，然后分x＞0和x＜0两类求出m的取值范围，取并集得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
当x＞0时，y=x+=x+m；
当x＜0时，y=x+=x﹣m．
作出直线y=x，由图可知，当x＞0时，平移y=x至A，此时y=x+m的截距m最小为﹣2，向上平移y=x，可得y=x+m的截距m＜2；
当x＜0时，直线y=x+m的纵截距m∈（﹣1，2）．
∴若存在x∈D，使得y=x+，则实数m的取值范围是[﹣2，2）．
故答案为：[﹣2，2）．
12. 一个布袋中共有10个除了颜色之外完全相同的球，其中4个白球，6个黑球，则一次任意摸出两球中至少一个白球的概率是_______________。

参考答案：
略
13. 如图,A是上的点，PC与相交于B、C两点，点D在上，CD// AP，AD与BC 交于E，F为CE上的点,若,则PB=________.
参考答案：
10
14. 设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若
对一切成立,则的取值范围为________.
参考答案：
略
15. 在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足
，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 .
参考答案：
1:3
16. 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令
，则= 。

参考答案：
略
17. 如果
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数，.
（1）解不等式；
（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.
参考答案：
,且无限趋近于4，
综上，的取值范围是
19. 如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O 所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.
(1)证明:AP⊥平面PBC
(2)若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.
参考答案：
略
20. 某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成频率副本直方图，如图所示：（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）
（1）求这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小
数）；
（2）用频率估计概率，在全市进入决赛的学生中选取三人，其中成绩在[130，150]的学生数为X，试写出X的分布列，并求出X的数学期望及方差．
参考答案：
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由题意和频率分布直方图列出方程，求出a，由此能求出这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分．
（2）成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，X～B
（3，），由此能求出X的分布列、数学期望及方差．
【解答】解：（1）由题意和频率分布直方图，得：
4+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，
解得a=0.0020，
∴这500名学生中进入决赛的人数为：（0.0040+0.0020）×500×20=60，
进入决赛学生的平均分为：
40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+1 40×0.0020×20=80.48≈80.5，
∴这500名学生中有60人进入决赛，进入决赛学生的平均分为80.5分．
（2）∵进入决赛的60名学生中，成绩在130分以上的学生有20人，
用频率估计概率，则学生成绩在[110，130）之间的概率为，
在[130，150]之间的概率为，
成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=，
P（X=1）=，
P（X=2）==，
P（X=3）=，
∴X的分布列为：
∵X～B（3，），
∴E（X）=3×=1，
D（X）=3×=．
21. （12分）（2016?兴安盟一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AD⊥A1B，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面A1BC；
（Ⅱ）若，AB=BC=1，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出A1A⊥BC，AD⊥BC．AD⊥A1B，由此能证明AD⊥平面A1BC．
（Ⅱ）以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出平面PA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴A1A⊥BC，…（2分）
AB∩AA1=A，又AB⊥BC∴BC⊥面ABA1，…（4分）
又AD?面ABA1又AD⊥BC．AD⊥A1B，A1B∩BC=B，
∴AD⊥平面A1BC．…（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如图，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
正向与向量同向建立空间直角坐标系B﹣xyz…（6分）
，则，…（7分），
设平面PA1B的一个法向量
则即，可得…（8分）
∵…（9分）
在Rt△ABD中，，则…（10分）
可得，，…（11分）
所以
∴平面PA1B与平面A1BC的夹角的余弦值是．…（12分）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22. （本小题满分12分）已知二次函数.若的解集是
（1）求实数,的值；（2）求函数在上的值域.
参考答案：
解：（1）不等式的解集是，
故方程的两根是 (2)
所以 (4)
所以 (6)
（2）由（1）知， (8)
，在上为减函数，在上为增函数
当时，取得最小值为
当时，取得最大值为
函数在上的值域为 (12)
略。