江苏省宿迁市高一数学下学期期末考试试题(1)

宿迁市2016～2017学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
（考试时间120分钟，试卷满分160分）
注意事项:
1．答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方． 2．答题时,请使用0。

5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡
面清洁，不折叠,不破损．考试结束后，请将答题卡交回． 参考公式：V 柱=Sh ，S 为底面积，h 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置．．．．．．
上．
． 1
．直线10l y -+=的倾斜角为 ▲ ．
2．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，
．已知60a b A ===，则B 的度数为
▲ ．
3．在等比数列{}n a 中，公比为q ,n S 为其前n 项和．已知4380q S ==，，则1a 的值为 ▲ ． 4．已知正实数x y ，满足21x y +=，则xy 的最大值为 ▲ ．
5．已知点(,)P x y 在不等式组001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩
≥，≥，≤所表示的平面区域内运动，则4z x y =-的取值范围为
▲ ．
6．已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为
▲ ．
7．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠,且1410a a a ，，成等比数列，则
1
a d
的值为 ▲ ． 8．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面,则下列四个命题中，所有正
确命题的序号为 ▲ ．
① 若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥； ② 若α
β，n α⊂,则n
β；
A
B
M
D
P
（第16
③ 若m α⊥,m β,则αβ⊥; ④ 若,m α,n α⊂，则m n ．
9．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知357a b c ===，，,则ABC △的面积为
▲ ．
10．若直线1:10l x ay ++=与2:(1)220l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 ▲ ． 11．已知π(0)2α∈，,π1sin()63
α-=-，则cos α的值为 ▲ ．
12．已知数列{}n a 满足13
4
a =，121n n a a n +-=+,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S = ▲ ．
13．关于x 的不等式(1)(+21)0ax x a -->的解集中恰含有3个整数，则实数a 的取值集合是
▲ ．
14．在ABC △中，若
1211
3sin sin tan tan A B A B
+=+()，则cos C 的最小值为 ▲ ． 二、解答题： 本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．
,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b
c ，，．已知2π
3
C =，5=c ，sin a A =． （1)求b 的值；
（2）求)4
π
(tan +B 的值．
16．(本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为AD 的中点． (1）若AD BC ,2AD BC =，求证:BM 平面PCD ；
(2)若PA PD =,平面PAD ⊥平面PBM ，求证：AD PB ⊥．
17．（本小题满分14分）
某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需
设计一个透明的支撑物将其托起,该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示,设OAB α∠=．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．) （1）用α表示圆柱的高;
（2）实践表明,当球心O 和圆柱底面圆周上的点D 的距离达到最大时，景观的观赏效 果最佳,求此时α的值．
18．（本小题满分16分)
在ABC △中，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=,60x y -+=,已知(1,6)M 是BC
边上一点．
（1）若AM 为BC 边上的高，求直线BC 的方程； （2）若AM 为BC 边的中线，求ABC △的面积．
19．（本小题满分16分）
(第17题)
已知函数2()12()f x ax x a a =--+∈R ． （1)当12
a =时，解不等式()0f x ≥； （2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．
20．（本小题满分16分)
已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2344026a a S ⋅==，。

（1)求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11=b ，132(1)n
n b b a +=+.
①求证：数列{}n b 是等比数列； ②求满足n n T S >的所有正整数n 的值．
宿迁市2016～2017学年度第二学期高一年级期末调研测试
数 学(参考答案及评分标准）
一、填空题：
A B
C M
D
P
（第16题）
1．π
3; 2．45; 3．2； 4．18； 5．[
1,4]-； 6．92
； 7．3; 8
．②③; 9
； 10 11． 12．421n n +; 13
．1,12⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
； 14
二、解答题：
15．（1)法一：因为sin
a A =，
B
b
A a sin sin =
，
所以sin sin A B A =，
所以sin B =
……………………………………………3分
又因为sin sin b
c
B C
=
，
所以5sin sin c B b C
=
==． …………………………7分 法二：在ABC △中，
sin sin a c A C ==
， (3)
分 又sin a A =
，即sin a
A
，
所以
b =．
………………………………………7分 （2）由（1
）得sin B =
3
0π
<<B ，
所以cos B =
， …………………………………9分
所以sin 1
tan cos 2
B B B =
==， ……………………………………………11分 所以1
tan tan 142tan()31
41tan tan 142B B B πππ+++===--． ……………………………………14分 AD 中点，
16．证明：(1）因为AD BC ，2AD BC =，M 为 所以BC MD ，且BC MD =，
所以四边形BCDM 为平行四边形, ……2分
故
CD
BM ， ……………………4分
又BM ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ，
所以BM 平面PCD ． …………………7分 （2）因为PA PD =，M 为AD 中点，
所以PM AD ⊥， …………………9分
又平面PAD ⊥平面PBM ,平面PAD ⋂平面PBM PM =，AD ⊂平面PAD ， 所以AD ⊥平面PBM ， ……………………12分
又PB ⊂平面PBM ，
所以AD PB ⊥．
14分
17．(1）作OM AB ⊥于点M ，则在直角三角形OAM 中， 因为OAB α∠=，
所以cos 5cos AM OA αα==, ………………3分 因为四边形ABCD 是等边圆柱的轴截面， 所以四边形ABCD 为正方形,
所以210cos AD AB AM α===． ………………6分 （2)由余弦定理得：
222π
5(10cos )25(10cos )cos()2
OD ααα=+-⨯⨯+，……8分
225100cos 50sin 22550(1cos 2)50sin 250(sin 2cos 2)75π
)75.
4
αα
αα
ααα=++=+++=++=++ …………………………………10分
因为π(0,)2α∈，所以ππ5π
2(,
)444
α+∈， 所以当ππ24
2
α+=，即π8
α=时，2OD 取得最大值7521)=,…12分 所以当π8α=时,OD 的最大值为1)．
答：当π8
α=时，观赏效果最佳． ……………………………………14分
(第17题)
18．（1）由27060x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩解得1
5x y =-⎧⎨=⎩
，即(1,5)A -， ………………………………2分
又(1,6)M ，所以651
1(1)2
AM k -=
=--，
因为AM 为BC 边上的高，所以2BC k =-， ………………………………4分 (1,6)M 为BC 边上一点，所以:BC l 62(1)y x -=--，
所以直线BC 的方程为280x y +-=． ……………………………6分 （2)法一：设点B 的坐标为(,)a b ，由(1,6)M 为BC 的中点，得点C 的坐标为(2,12)a b --，
又点B 与点C 分别在直线AB 和AC 上, 所以270(2)(12)60a b a b -+=⎧⎨
---+=⎩,解得3
1a b =-⎧⎨=⎩
,
所以点B 的坐标为(3,1)-, …………………………8分 由（1)得(1,5)A -，又(1,6)M ，
所以直线AM 的方程为2110x y -+=， …………………………10分
所以点B 到直线AM 的距离d =
=
， ………………12分
又AM =…………………………14分
所以1132
2BAM S d AM ===△， 又M 为BC 的中点
所以2236ABC BAM S S ==⨯=△△。

…………………………16分 法二：(上同法一）
点B 的坐标为(3,1)-， …………………………8分 又(1,6)M 为BC 上一点，
所以直线BC 的方程为54190x y -+=． …………………………10分 由（1）知(1,5)A -，所以点A 到直线BC 的距离
d==，…………………………12分
又C的坐标为(5,11),
所以BC=…………………………14分
所以116
22
ABC
S d BC
==
△
．…………………………16分法三:若直线BC的斜率不存在,即BC的方程为10
x-=，
由270
10
x y
x
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
解得1
9
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
即B的坐标为(1,9),同理可得C的坐标为(1,7)，
而796
2
+
≠，M不是BC的中点,所以直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为6(1)
y k x
-=-
由270
6(1)
x y
y k x
-+=
⎧
⎨
-=-
⎩
解得
1
2
912
2
k
x
k
k
y
k
+
⎧
=
⎪⎪-
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
，即B的坐标为1912
(,)
22
k k
k k
+-
--
同理可得C的坐标为76
(,)
11
k k
k k
-
--
,(1,6)
M为BC的中点
所以
1
21
21
91276
26
21
k k
k k
k k
k k
+
⎧
+=⨯
⎪⎪--
⎨
--
⎪+=⨯
⎪--
⎩
解得5
4
k=，
所以直线BC的方程为5
6(1)
4
y x
-=-，即为54190
x y
-+=．
(下同法二）
法四：求BAC
∠正弦值即AB，AC长用面积公式（略）．
19．（1）当1
2
a=时，得2
1
110
2
x x
--+≥,
①当1
x≥时，得2
1
110
2
x x
-++≥，即2240
x x
-+≥,
因为=120
∆-<,所以x∈R，
所以1
x≥；……………………………………………2分
②当1
x<时，得2
1
110
2
x x
+-+≥，即220
x x
+≥，
所以02
x x-
≥或≤，
所以012
x x
<-
≤或≤．………………………………4分
综上：{}02x x x -≥或≤． ………………………………………6分 (2）法一：若()0f x ≥恒成立，则2120ax x a --+≥恒成立，
所以2
|1|
2
x a x -+≥
恒成立， ………………………8分 令1x t -=,则1x t =+(t ∈R ），
所以2||
(1)2
t a t ++≥恒成立，
①当0t =时，0a ≥； …………………………………………10分
②当0t >时，2(1)2t
a t ++≥
132t t
=++恒成立，
因为3t t +=≥
（当且仅当t =,
所以
132t
++， 所以a ； ……………………………………………12分
③当0t <时,2(1)2t
a t -++≥132
t t
=
-+--恒成立，
因为3t
t -+≥-当且仅当
t = 所以
132t
-+- 所以
a ， ……………………………………………14分
综上：a ． ……………………………………………16分
法二:因为()0f x ≥恒成立,所以(0)0f ≥，所以1
2
a ≥, ………………8分
①当1x ≥时,2(1)20ax x a --+≥恒成立, 对称轴1
12x a
=
≤，所以()f x 在[1,)+∞上单调增， 所以只要(1)0f ≥，得0a ≥， ………………………10分 所以12
a ≥； ………………………12分 ②当1x <时,2(1)20ax x a +-+≥恒成立， 对称轴1
1,0)2x a =-
∈-[, 所以2(1)20ax x a +-+=的判别式14(21)0a a ∆=--≤，
解得a
或a ， ………………………14分 又12
a ≥
，所以a ． 综合①②得
:a ． ………………………16分 20．（1)法一：因为数列{}n a 是正项等差数列，设首项为1a ，公差为(0)d d >,
所以111()(2)40,4(41)426,20.
a d a d d
a d ++=⎧⎪-⎪+
=⎨⎪
>⎪⎩ …………………………………………2分 解得12
3a d =⎧⎨
=⎩
，所以31n a n =-． …………………………………………4分 法二:因为数列{}n a 是公差为正数的等差数列，设公差为)0(>d d ，
又因为23440
26a a S ⋅=⎧⎨=⎩, 所以231423404()
2()262
a a a a a a ⋅=⎧⎪⎨+=+=⎪
⎩ ， ……………2分 所以23234013
a a a a =⎧⎨
+=⎩，解得2358a a =⎧⎨=⎩或238
5a a =⎧⎨=⎩，
又因为0>d ，所以⎩⎨⎧==85
3
2a a ， 所以323=-=a a d ，所以13-=n a n 。

…………………………………4分 （2）①证明:由(1)知31n a n =-，因为1322n
n b b a +=+,
所以132(31)26n n n b b b +=-+=，即12n n b b +=， …………………………6分 因为110b =≠，所以0n b ≠，所以
1
2n n
b b +=， 所以数列{}n b 是等比数列. …………………………………………8分
②由(1）知13-=n a n ,所以2
32)13(2
n
n n n S n +=+=， 由（2）中①知1
2
-=n n b ，所以122
121-=--=
n n
n T ， …………………………10分 要使n n T S >,即12232->+n
n n ，即12231
2>+++n n n ， 设21
32
2n n n n c +++=,求满足n n S T >的所有正整数n ，即求1n c >的所有正整数n ,
令2221
221
3(1)(1)23762132624
2n n n n n n c n n n n c n n +++++++++==≥++++,即23520n n --≤， 解得，123
n -≤≤,因为*n ∈N ，所以1n =或2n =,
即321413c c c =>=>,当3n ≥时，数列{}n c 是单调递减数列，………………14分
又因为56821161,164128c c =>=<, 所以当n 取1,2,3,4,5时，1n c >,当6n ≥时，1n c <，
所以满足n n S T >的n 所有取值为1,2,3,4,5。

…………………………………16分
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

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unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。