难点详解青岛版八年级数学下册第6章平行四边形达标测试练习题(精选含解析)

青岛版八年级数学下册第6章平行四边形达标测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
2、如图，△ABC 的周长为a ，以它的各边的中点为顶点作△A 1B 1C 1，再以△AB 1C 1各边的中点为顶点作△A 2B 2C 2，再以△AB 2C 2各边的中点为顶点作△A 3B 3C 3，…如此下去，则△AnBnCn 的周长为（ ）
A ．12n a
B ．13n a
C ．112n -a
D ．1
13n - a 3、在ABCD 中，若40A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）
A ．20︒
B ．40︒
C ．80︒
D ．140︒
4、如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、下列关于ABCD 的叙述，正确的是（ ）
A ．若AC BD =，则ABCD 是矩形
B ．若AB AD =，则ABCD 是正方形
C ．若AB BC ⊥，则ABC
D 是菱形 D ．若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形
6、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AC =10，点F 是DE 上一点．DF ＝1．连接AF ，CF ．若∠AFC ＝90°，则BC 的长是（ ）
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
7、如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，连接AC ，BD ，若8BD =，则AC 的长为（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．16
8、如图，在给定的正方形ABCD 中，点E 从点B 出发，沿边BC 方向向终点C 运动， DF AE ⊥交AB 于点F ，以FD ，FE 为邻边构造平行四边形DFEP ，连接CP ，则DFE EPC ∠+∠的度数的变化情况是（ ）
A ．一直减小
B ．一直减小后增大
C ．一直不变
D ．先增大后减小
9、如图，在ABCD 中，19DAM ∠=︒，DE BC ⊥于E ，DE 交AC 于点F ，M 为AF 的中点，连接DM ，若2AF CD =，则CDM ∠的大小为（ ）．
A ．112°
B ．108°
C ．104°
D ．98°
10、如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，D 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE =AC ，∠BAE =15°，则∠CDE 的大小为（ ）
A ．70°
B ．75°
C ．80°
D ．85°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，那么∠ECD＝___．
2、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是_______．
3、如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2．
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．
5、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是________．
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
矩形的性质定理2：矩形的对角线________．
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接
∠=∠．
BE，连接EF交BD于点M，已知AEB OME
(1)如图1，求证：EB EF
=；
=，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF=．(2)如图2，点N在线段EF上，AN EN
2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t ＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
3、如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点的线段EF，分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)如果∠EBD ＝∠CBD ，请判断并证明四边形BEDF 的形状．
4、如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°，
(1)请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接BF ，求∠DBF 的度数．
5、如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，M ，N 分别是AF ，CE 的中点．
(1)求证：AF CE =；
(2)当矩形ABCD 满足什么条件时，四边形EMFN 为正方形？请说明理由．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
解：四边形ADCB 为菱形，
OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，
FOC AOE ∠=∠，
()CFO AEO ASA ≅,
∴CFO AOE S S =,
∴CFO BOF BOC S S S +=, ∴1111··6864242
BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC ∆的面积为解题关键．
2、A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质可知111A B C △的周长12ABC =△的周长，222A B C △的周长11112
A B C =的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．
【详解】
解：∵以△ABC 的各边的中点为顶点作111A B C △，
∴111A B C △的周长12ABC =△的周长12
a =⨯． ∵以111A B C △各边的中点为顶点作222A B C △，
∴222A B C △的周长11112A B C =的周长1122
a =⨯⨯， …， ∴n n n A B C 的周长1(12)2
n n a a ⨯== 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．
【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，
A C ∴∠=∠，
40A ∠=︒，
40C ∴∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．
4、B
【解析】
【分析】
根据平行四边形及平行线的性质可得DAE BEA ∠=∠，再由角平分线及等量代换得出BAE BEA ∠=∠，利用等角对等边可得3BE AB ==，结合图形即可得出线段长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD BC ∥，
∴DAE BEA ∠=∠，
∵AE 平分BAD ∠，
∴BAE DAE ∠=∠，
∴BAE BEA ∠=∠，
∴3BE AB ==，
∵5BC AD ==，
∴532EC BC BE =-=-=，
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．
5、A
【解析】
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A 、B 、D 错误，C 正确；即可得出结论．
【详解】
解：ABCD 中，AC BD =，
∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；
ABCD中，AB AD
=，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
ABCD中，AB BC
⊥，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；
ABCD中，AC BD
⊥，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=1
2AC=1
2
×10=5，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴BC=2DE=12，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO，OD=1
2BD=4，∠DAO=1
2
∠DAB=30°，
求得AD=2OD=8，根据勾股定理即可得到结论．【详解】
解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，OD=1
2BD=4，∠DAO=1
2
∠DAB=30°，
∴AD=2OD=8，
∴AO=
∴AC=2AO=
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直且平分是解题的关键，
8、A
【解析】
【分析】
根据题意DFE EPC DPC ∠+∠=∠，作PH BC ⊥交BC 的延长线于H ，证明CP 是DCH ∠的角平分线即可解决问题．
【详解】
解：作PH BC ⊥交BC 的延长线于H ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD AB BC ==，
90DAF ABE DCB DCH ∠=∠=∠=∠=︒，
∵DF AE ⊥，
∴90BAE DAE ∠+∠=︒，90ADF DAE ∠+∠=︒，
∴BAE ADF ∠=∠，
∴()ADF BAE ASA ∆≅∆，
∴DF AE =，
∵四边形DFEP 是平行四边形，
∴DF PE =，DFE DPE ∠=∠，
∵90BAE AEB ∠+∠=︒，90AEB PEH ∠+∠=︒ ，
∴BAE PEH ∠=∠，
∵90ABE H ∠=∠=︒，AE EP =．
∴()ABE EHP AAS ∆≅∆，
∴PH BE =，AB EH BC ==，
∴BE CH PH ==，
∴45PCH ∠=︒，
∵90DCH ∠=︒，
∴DCP PCH ∠=∠，
∴CP 是DCH ∠的角平分线，
∴点P 的运动轨迹是DCH ∠的角平分线，
∵DFE EPC DPE EPC DPC ∠+∠=∠+∠=∠，
由图可知，点P 从点D 开始运动，所以DPC ∠一直减小，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9、C
【解析】
【分析】
根据平行四边形及垂直的性质可得ADF 为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AM MF DM ==，由等边对等角及三角形外角的性质得出38DMC DCM ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理即可得出．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD BC ∥，
∵DE BC ⊥，
∴DE AD ⊥，
∴ADF 为直角三角形，
∵M 为AF 的中点，
∴AM MF DM ==，
∴2AF DM =，19MDA MAD ∠=∠=︒，
∵2AF CD =，
∴DM CD =，
∴38DMC DCM MDA MAD ∠=∠=∠+∠=︒，
∴1801803838104CDM DCM DMC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10、B
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE =∠AEC =45°，求得∠CAB =60°，得到∠B =30°，根据直角三角
形的性质得到CD =BD =AD =12
AB ，得到△ADC 是等边三角形，∠DCB =∠B =30°，于是得到结论． 【详解】
解：∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD=1
2 AB，
∴△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，∴AC=DC=CE，
∴∠CDE=∠CED=1
2
×（180°-30°）=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
1、18°##18度
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE AE
=，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得CED
∠，进而根据直角三角形的两锐角互余即可求得ECD
∠．
【详解】
解：直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线
∴CE AE =
EAC ECA ∴∠=∠
∵∠A ＝36°，
∴72CED A ECA ∠=∠+∠=︒
CD 是斜边AB 上的高
90CDE
9018ECD CED ∴∠=︒-∠=︒
故答案为：18°
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的两锐角互余，三角形的高，等边对等角，三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2、【解析】
【分析】
要求PE +PC 的最小值，PE ，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE ，PC 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：如图，连接AE ，PA ，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=2，
∴AE=√AA2+AA2=√42+22=2√5，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
3、48
【解析】
【分析】
利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：种植鲜花的面积为2
⨯-⨯⨯=．
61222648m
故答案为：48
【点睛】
本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4、130
【解析】
由直角三角形斜边中线的性质可得AD CD BD ==，即可得ACD A ∠=∠，由同角的余角相等可得25A ACD CBE ∠=∠=∠=︒，再根据三角形的内角和定理可求解．
【详解】
解：90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，
90ACD BCD ∴∠+∠=︒，AD CD BD ==，
ACD A ∴∠=∠，
BE CD ⊥，
90BEC ∴∠=︒，
90BCD CBE ∴∠+∠=︒，
25A ACD CBE ∴∠=∠=∠=︒，
180A ACD CDA ∠+∠+∠=︒，
1802525130CDA ∴∠=︒-︒-︒=︒，
故答案为：130．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，解题的关键是求解
25A ACD CBE ∠=∠=∠=︒．
5、 直角 相等
【解析】
略
三、解答题
1、 (1)见解析；
(2)见解析
【分析】
（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1=∠2=45°，进而得到∠5=∠FBE，即可得到EF=EB；
（2）连接DE，DF，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH=BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到
DE=BE=AH=EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论．
(1)
证明：（1）如图所示：
四边形ABCD是正方形，
AC BD
∴⊥，1245
∠=∠=°，
∴在Rt△OME和Rt△OEB中，
3490
∠+∠=∠+∠=︒，
OME OEB
∠=∠，
OME OEB
∴∠=∠，
34
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，
51324FBE
∴=；
EF EB
(2)
连接DE，DF
AN EN =，
35∴∠=∠，
34∠∠=，
45∴∠=∠，
四边形ABCD 是正方形，
OA OB ∴=，AC BD ⊥，
7890∴∠=∠=︒，
在AOH ∆和BOE ∆中，
5478OA OB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ΔΔAOH BOE ASA ∴≅，
AH BE =，
四边形ABCD 是正方形，
DC BC ∴=，1245∠=∠=°，
在DCE ∆和BCE ∆中，
12DC BC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ΔΔDCE BCE SAS ∴≅，
DE BE AH EF ∴===，
AC BD ，
6AEB ∴∠=∠，
34∠∠=，490AEB ∠+∠=︒，
3690∴∠+∠=︒，即90DEF ∠=︒，
ΔDEF ∴是等腰直角三角形，
∴DF ==．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是对全等三角形的判断．
2、 (1)AE ＝t ，AD ＝12﹣2t ，DF ＝t
(2)见解析
(3)3，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
(1)
解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，
则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
CD＝t；
∴DF＝1
2
(2)
解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，
∴AB DF
∥，
∵AE＝t，DF＝t，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(3)
解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，
理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
AC＝6cm，
∴AB＝1
2
∵BE DF
∥，
∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，解得，t＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．
【点睛】
此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．
3、 (1)见解析
(2)四边形BEDF 是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用ASA 证明△AOE ≌△COF ；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
(1)
证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
EAO FCO OA OC
AOE COF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
＝＝ ∴△AOE ≌△COF （ASA ）；
(2)
解：四边形BEDF 是菱形，
证明：∵△AOE ≌△COF ，
∴OE ＝OF ，
∵OB ＝OD ，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形判定与性质、菱形判定等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形等基本图形的性质与判定方法是解答此类问题的关键．
4、 (1)见解析
(2)∠DBF＝45°
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的作法进行即可；
（2）由菱形的性质及等腰三角形的性质可求得∠ABD、∠A的度数，由线段垂直平分线的性质可求得∠FBA的度数，从而可求得结果．
(1)
如图所示，直线EF即为所求；
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝75°，AB=AD．
∴∠ADB=∠ABD=75゜
∴180********
∠=︒-∠-∠=︒-⨯︒=︒，
A ABD ADB
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质及等腰三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
5、 (1)见解析
(2)当矩形ABCD满足2
AD AB时，四边形EMFN为正方形，理由见解析
=
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCF，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）先证明四边形ABFE 为正方形，再证明EFCD 是正方形，从而得出AEF 和EFC △为等腰直角三角形，得出EM MF FN EN ===，90EMF ∠=︒，则可证出结论．
(1)
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB CD =，AD BC =，90B D ∠=∠=︒
∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴12ED AD =，12
BF BC = ∴BF DE =，且∠ABC =∠CDE =90°，AB =CD ，
∴ABF CDE △△≌
∴AF CE =
(2)
当矩形ABCD 满足2=AD AB 时，四边形EMFN 为正方形
连接EF
∵四边形ABCD 是矩形
∴AD BC ∥
∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴12
AE ED AD ==，12BF CF BC ==
∵AD BC =
∴AE BF =
∵AD BC ∥，
∴四边形ABFE 是平行四边形
∵90B ∠=︒
∴平行四边形ABFE 是矩形
∵2=AD AB ，2AD AE =
∴AB AE =
∴矩形ABFE 是正方形
同理可证，四边形EFCD 是正方形
∴AE EF =，90AEF ∠=︒，EF FC =，90EFC ∠=︒
∴AEF 和EFC △为等腰直角三角形
∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点 ∴12EM AF MF ==，12
FN CE EN ==，EM AF ⊥ ∴EM MF FN EN ===
∴四边形EMFN 是菱形
∵EM AF ⊥
∴90EMF ∠=︒
∴菱形EMFN 是正方形
【点睛】
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。