山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册 4.5 相似三角形教案 北师大版

4.5相似三角形教案
教学目标：
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．）
3.通过相似三角形概念的引入过程，培养学生联系实际的意识，增进数学应用的眼光．
教学重点与难点：
重点：相似三角形的概念及初步应用.
难点：找出相似三角形的对应边和对应角度.
教法与学法指导：
教法：初中学生的心理特征及本节的内容特点，教学中使用小组合作交流及启发、诱导等教学方法.从建构理论出发，注重概念的形成，教师应设法创设问题情境将学生带到活动中去，让他们经历“活动→问题→讨论与交流→总结”的知识发生和发展过程.同时教师进行必要的启发诱导，使学生的思维集中于问题的最近发展区，从而加快其形成完整的认知结构，提高他们应用知识的能力.
学法：八年级学生要注重培养识图能力、运算能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和逻辑推理能力.通过前面对点、线、面、角、三角形、四边形等相关知识的学习，他们的认知水平、抽象思维能力有了一定基础，在相似图形这一单元仍需要进一步丰富对空间图形的认识和感受，注重所学内容与现实生活的联系，使学生经历观察→操作→推理→想象等探索过程，体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心.
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情景，自然引入
师：上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下.
生：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
师：很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢？
生：只要边数相同，满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括.比如相似三角形，相似五边形等.
师：由此看来，相似三角形是相似多边形的一种.今天，我们就来研究相似三角形.
设计意图：通过回顾前面学过的题目，体会新方程和分式的联系，进而引入新课.
二、交流讨论，探索新知
师：因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出，大家可以吗？
生：可以.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF
其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应.AB∶DE等于相似比.
师：知道了相似三角形的定义，下面我们根据定义来做一些判断.
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
生：由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
AB AC AC BC
===
DE DF DF EF
设计意图：让学生独立思考，知道如何确定相似三角形的对应角、对应边，发现相似三角形的定义所揭示的本质属性.本题需要注意提醒学生的是，已知条件中的“△ABC∽△DEF”意味着AB与DE是对应边，∠A与∠D是对应角.
师：你能区分相似与全等这两个概念吗？
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C =∠F =90°，则∠A =∠B =∠D =∠E =45°，所以有∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F .
再设△ABC 中AC =b ，△DEF 中DF =a ，则
AC =BC =b ，AB =2b
DF =EF =a ，DE =2a
∴DE
AB EF BC DF AC == 所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什
么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似.
由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
两个等边三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
设计意图：相似三角形概念的直接应用，通过启发学生发现各种类型三角形的特点,让学生小组交流得出结论,可以加深对相似三角形概念的理解和认识.
1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m ，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm ，其他两边的长都是3.5 cm ，求该草坪其他两边的实际长度.
师：相似比为对应边的比,即2000：5=400：1
生：若设其他两边的实际长度都是xcm,可以写出什么比例式?为什么?
师：根据相似三角形的性质:对应边成比例,可有x ：3.5=400：1,从而求出x=1400cm) (教师板书:规X 书写格式)
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1 如果设其他两边的实际长度都是x cm ，则1
4005.3 x x ×400=1400（cm ）=14（m ） 所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
,已知△ABC ∽△ADE ,AE =50 cm,EC =30 cm,BC =70 cm,∠BAC =45°,∠ACB =40°，求（1）∠AED 和∠ADE 的度数；
（2）DE 的长.
(应用相似三角形的定义所揭示的本质属性进行计算,同时,初步认识平行与相似的内在联系.让学生讨论归纳出解题思路,然后教师在黑板上板书，由相似三角形写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，学生经常会将它们的位置写错.因此，在教学过程中，教师要注意加以强调.)
解：（1）因为△ABC ∽△ADE .
所以由相似三角形对应角相等，得
∠AED =∠ACB =40°
在△ADE 中，∠AED +∠ADE +∠A =180°
即40°+∠ADE +45°=180°,
所以∠ADE =180°－40°－45°=95°.
（2）因为△ABC ∽△ADE ，所以由相似三角形对应边成比例，得BC
DE AC AE = 即
70
305050DE =+ 所以DE =30507050+⨯=43.75（cm ）. (指导学生完成例题,板书解题过程后拓展)
∶在例2的条件下，图中有哪些线段成比例？ 成比例线段有
AB
DB AC EC DB AD EC AE BC DE AB AD AC AE ====,, 图中有互相平行的线段，即DE ∥B △ABC ∽△ADE ，所以∠ADE =∠B .由平行线的判定方法知DE ∥B C.
设计意图：目的是渗透相似与平行的内在联系.对于EC ：AE=DB ：AD ，学生可能会有困难，这里需要应用比例的合比性质，教学时应留给学生充分的时间进行思考、讨论交流.
三、学以致用，知识反馈
1.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x ，y ，m ，n 的值.
(一组较为简单的巩固练习,要求学生快速准确地完成且书写格式规X.目的是及时反馈信息,了解学生对“相似三角形性质”掌握的准确程度.)
解：在（1）中因为
33223020==48
x 所以x =32
在（n =55，m =80 y a a 1023=，得y =3
20 ABC 与等腰直角三角形A ′B ′C ′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB =5 cm ，求△A ′B ′C ′斜边A ′B ′上的高.
(用相似比的概念求三角形的边,可让学生在练习本上独立完成，然后同桌互相交换检查,教师对有困难的学生进行个别辅导,通过模仿例题的解题思想方法从而加深对本节课的内容的理解和掌握.)
解：如图所示：CD 、C ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′斜边AB 与A ′B ′边上的高.
因为在Rt △ABC 中，∠A =45°,CD ⊥AB . 所以CD =AD =
21AB =2
5（cm ） 同理可知：C ′D ′=A ′D ′=21A ′B ′. 又因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶1.
所以B A AB ''=13.即B A '
'=513，得A ′B ′=35 所以C ′D ′=21A ′B ′=65（cm ）
设计意图：通过练习巩固本节知识，养成规X 书写习惯.
四、课堂小结，反思提高
以“这节课你学到了哪些知识”为问题提出，先让学生各自独立地简单回顾，并向同桌说出相似三角形、相似比的概念及注意的问题，最后教师作出补充和强调.
设计意图：让学生通过总结反思，使知识系统化并了解自己本节课知识掌握的程度，进一步升华对本节重点知识的理解.
五、达标检测，反馈矫正
1．如图,已知△ABC∽△DEF，AB=3cm，BC=4cm，CA=2cm，EF=6cm.求线段DE，DF的长.
个三角形相似,其中一个三角形的两个内角分别为500和600,求另一个三角形的最大内角和最小内角.
选做题：(结合学生实际情况,以下两题让学有余力的学生完成,贯彻面向全体学生,因材施教原则.)
△ABC∽△DEF，若△ABC的三边长分别为5cm，6cm，7cm，而△DEF中一边长为4cm，你能求出△DEF另外两边的长度吗?
2.已知△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，CA=24cm，另一个和它相似的三角形最长边为36cm,求这个三角形的周长.
设计意图：通过检测纠错，有针对性的对所学知识进行巩固、落实，对学生存在的问题及时有效的进行反馈，让老师及时、准确的掌握学生的课堂学习效果，为下一节课的学习做好准备.
六、布置作业，课后促学
必做题：课本第130页习题4.6 第1、2题.
选做题：课本第130页习题4.6 第3、4题.
设计意图：旨在通过作业，检验学生对本节内容的理解和运用程度,发现学习中存在的问题，以便及时弥补，促使学生进一步巩固和掌握所学的内容，并为学习后继知识奠定坚实的基础.
板书设计：
教学反思：
本节课是关于相似三角形概念的教学，课本内容较少，如何使知识容量、思维容量尽可能饱和，有效培养学生的创新能力，是设计本节课的指导思想.
1．首先设置问题情景,从学生熟悉的两幅中国地图入手,让学生在回顾旧知识的同时，思考新的问题,激发了学生学习知识的积极性和好奇心.
2．整堂课设置问题，层层深入,给学生充分的思考时间，使学生感受到了自己是课堂的主人,让学生在亲身实践中去体验、去感悟，一切的新知识都是由学生只是引导和帮助学生去探索，而没有把现有的知识灌输给学生.
3．根据《数学课程标准》所提出的先进教学理念,要用教材教，而不能教教材,让课堂由学生主导，充分发挥学生的主体作用，结合初中生的认知特点，本节课力求形成“创设问题情景→构建模型→合作探究→实践应用”的模式，在重视双基的同时，更关注知识的形成过程.。