一元二次方程的定义及相关概念的四种应用
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8．已知m，n是方程 x2－2x－1＝0的两个根，是否存在 实数a 使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8? 若 存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
感悟新知
解： 由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0， ∴m2－2m＝1，n2－2n＝1. ∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋ a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)， 由－4(a＋7)＝8得a＝－9， 故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
湘教版 九年级上
第2章
一元二次方程
2.2. 2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
认知基础练
(2)请写出此题正确的解答过程． 解:移项，得 x2－2x＝1. 配方，得 x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2. 两边开平方，得 x－1＝± 2， 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 易错警示：用配方法解一元二次方程时，要先把 常数项移到方程的右边，移项时切记要变号．
第1章 一元二次方程
1.1
一元二次方程
第2课时 一元二次方程的定义及 相关概念的四种常见应用
名师点金
巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在： 利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念
求字母或代数式的值等．
感悟新知
类型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1. 已知(m－3)x2＋ m 2 x＝1是关于x的一元二
(第一步)
配方，得x2－2x＋1＝－1＋1， (第二步)
整理，得(x－1)2＝0.
(第三步)
所以x1＝x2＝1.
(第四步)
(1)小明的解答过程是从第___一_____步开始出错的，其错
误原因是_____移__项__时__没__有__变__号___________________；
认知基础练
4 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同 时加上4的是( A ) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
方法技巧练
9 已知实数 x 满足 x2＋x12＋2x＋1x＝0，求 x＋1x的值．
【点拨】本题在解答过程中应用了换元法和整体思 想，即用 y 来代替 x＋1x，将已知等式转化成一元二 次方程求解．
认知基础练
7 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程 如下：
移项，得x2－2x＝－1，
感悟新知
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16 ＝0的一个根为0，求k的值．
解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0， 得k2－16＝0， 解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4， ∴k＝4.
感悟新知
7．已知实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一 个根，求代数式a2－2 017a－ a2＋1 的值． 2018
解：∵实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根，
∴a2－2 018a＋1＝0.
∴a2＋1＝2 018a，a2－2 018a＝－1.
a 2＋1
∴a2－2 017a－ 2018 ＝a2－2 017a－ 2018a
2018
＝a2－2 017a－a＝a2－2 018a＝－1.
感悟新知
类型 4 利用一元二次方程根的定义解决探究性问题
认知基础练
1 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是 ( C) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
认知基础练
5 【2020·泰安】将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋ a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( A )
A ． － 4 ， 21
B ． － 4 ， 11
次方程，则m的取值范围是( D )
A．m≠3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
点拨：由题意，得
m－3 m＋2
0， 0，
解得m≥－2且m
≠
3.
感悟新知
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0. (1) m取何值时，它是一元二次方程 ? 并写出这 个方程； (2) m取何值时，它是一元一次方程 ?
解：由题意，得 m2 1 0， 解得m＝－1. m 1 0.
感悟新知
类型 3 利用一元二次方程的根的定义求代数式的值
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a (a≠0)，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2
点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)， ∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
感悟新知
类型 2 利用一元二次方程的项的定义求字母的取值
3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋ a－8＝0没有常数项，则a的值为____8____．
点拨：由题意得 a－8＝0， 解得a＝8. 2a－4 0.
感悟新知
4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2 －1＝0的常数项为0，求m的值．
解：(1) 当 m2＋3 0，时，它是一元二次方程，解得m＝1. m＋2 0，
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
感悟新知
解：(2) 当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且 m2＋1＝1时，它是一元一次方程． 解得m＝－1或m＝0. 故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
C ． 4 ， 21
D．－8，69
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1C 2D 3B 4A
5A 6A 7 8
答案呈现
9
方法技巧练
先阅读下面的内容，再解决问题．
8 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0. ∴m＝－3，n＝3. 问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的 最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
Байду номын сангаас法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
感悟新知
解： 由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0， ∴m2－2m＝1，n2－2n＝1. ∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋ a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)， 由－4(a＋7)＝8得a＝－9， 故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
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第2章
一元二次方程
2.2. 2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
认知基础练
(2)请写出此题正确的解答过程． 解:移项，得 x2－2x＝1. 配方，得 x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2. 两边开平方，得 x－1＝± 2， 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 易错警示：用配方法解一元二次方程时，要先把 常数项移到方程的右边，移项时切记要变号．
第1章 一元二次方程
1.1
一元二次方程
第2课时 一元二次方程的定义及 相关概念的四种常见应用
名师点金
巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在： 利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念
求字母或代数式的值等．
感悟新知
类型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1. 已知(m－3)x2＋ m 2 x＝1是关于x的一元二
(第一步)
配方，得x2－2x＋1＝－1＋1， (第二步)
整理，得(x－1)2＝0.
(第三步)
所以x1＝x2＝1.
(第四步)
(1)小明的解答过程是从第___一_____步开始出错的，其错
误原因是_____移__项__时__没__有__变__号___________________；
认知基础练
4 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同 时加上4的是( A ) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
方法技巧练
9 已知实数 x 满足 x2＋x12＋2x＋1x＝0，求 x＋1x的值．
【点拨】本题在解答过程中应用了换元法和整体思 想，即用 y 来代替 x＋1x，将已知等式转化成一元二 次方程求解．
认知基础练
7 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程 如下：
移项，得x2－2x＝－1，
感悟新知
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16 ＝0的一个根为0，求k的值．
解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0， 得k2－16＝0， 解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4， ∴k＝4.
感悟新知
7．已知实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一 个根，求代数式a2－2 017a－ a2＋1 的值． 2018
解：∵实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根，
∴a2－2 018a＋1＝0.
∴a2＋1＝2 018a，a2－2 018a＝－1.
a 2＋1
∴a2－2 017a－ 2018 ＝a2－2 017a－ 2018a
2018
＝a2－2 017a－a＝a2－2 018a＝－1.
感悟新知
类型 4 利用一元二次方程根的定义解决探究性问题
认知基础练
1 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是 ( C) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
认知基础练
5 【2020·泰安】将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋ a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( A )
A ． － 4 ， 21
B ． － 4 ， 11
次方程，则m的取值范围是( D )
A．m≠3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
点拨：由题意，得
m－3 m＋2
0， 0，
解得m≥－2且m
≠
3.
感悟新知
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0. (1) m取何值时，它是一元二次方程 ? 并写出这 个方程； (2) m取何值时，它是一元一次方程 ?
解：由题意，得 m2 1 0， 解得m＝－1. m 1 0.
感悟新知
类型 3 利用一元二次方程的根的定义求代数式的值
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a (a≠0)，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2
点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)， ∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
感悟新知
类型 2 利用一元二次方程的项的定义求字母的取值
3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋ a－8＝0没有常数项，则a的值为____8____．
点拨：由题意得 a－8＝0， 解得a＝8. 2a－4 0.
感悟新知
4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2 －1＝0的常数项为0，求m的值．
解：(1) 当 m2＋3 0，时，它是一元二次方程，解得m＝1. m＋2 0，
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
感悟新知
解：(2) 当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且 m2＋1＝1时，它是一元一次方程． 解得m＝－1或m＝0. 故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
C ． 4 ， 21
D．－8，69
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先阅读下面的内容，再解决问题．
8 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0. ∴m＝－3，n＝3. 问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的 最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
Байду номын сангаас法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.