导数中蕴含的数学思想

导数中蕴含的数学思想
一 数形结合思想
山东 王彦青
数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题
和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半
功倍的效果．数形结合思想贯穿于中学数学的始终，在许多知识板块中都有它的身影．数形
结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱．本文举例说明数形结合的思想在求
解导数问题中的灵活运用．
例 已知函数321()232
a f x x x bx c =
+++，当(01)x ∈，时取得极大值，当(12)x ∈，时取得极小值，求点()a b ，对应的区域的面积以及21b a --的取值范围． 分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次
方程的根的关系得到关于a b ，的线性不等关系，点()a b ，所对应的区域．第（2）问利用斜率求出21
b a --的取值范围． 解：函数()f x 的导数为2()2f x x ax b '=++，当(01)x ∈，时取得极大值，当(1)
x ∈2，时取得极小值，则方程2
20x ax b ++=有两个根，一个根在区间(01)，内，另一个根在区间
（1，2）内．
由二次函数2()2f x x ax b '=++的图象与方程220x ax b ++=的根的分布之间的关系可以得到(0)00(1)0210(2)020.f b f a b f a b '>>⎧⎧⎪⎪'<⇒++<⎨⎨⎪⎪'>++>⎩⎩
，，，，，
aOb 平面内满足约束条件的点()a b ，所对应的区域为ABD △（不包括边界，其中点
(31)A -，，(10)B -，，(20)D -，如右图所示）
． ABD △的面积为1122
ABD S BD h =⨯⨯=△（h 为点A 到Oa 轴的距离） 点(12)C ，与点()a b ，连线的斜率为21b a --，显然2()1
CA CB b k k a -∈-，，即21114b a -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，． 二 整体代换思想
山东 张多法
我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上
又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思
想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．这种思想若运用巧妙，
不仅可以简化运算，而且能够激发学生思维的灵活性．本文仅举一例来说明整体代换思想在
求解导数问题时的应用．
例 已知32
()f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A B C
，，三点．若点B 的坐标为(20)，，且()f x 在[10]-，和[45]，上有相同的单调性，在[02]，和[45]
，上有相反的单调性．
（1）求c 的值；
（2）在函数()f x 的图象上是否存在一点00()M x y ，，使得()f x 在点M 的切线斜率
为3b ？
（3）求AC 的取值范围．
解：（1）∵ ()f x 在[10]-，和[02]，上有相反的单调性，
∴0x =是()f x 的一个极值点．
故()0f x '=，即2320ax bx c ++=有一个解为0x =，
∴0c =．
（2）因为()f x 交x 轴于点(20)B ，，所以840a b d ++=，即4(2)d b a =-+．
令()0f x '=，得2320ax bx +=， ∴10x =，223b x a
=-． 因为()f x 在[02]，和[45]，上有相反的单调性，
所以22323b a b a
⎧-⎪⎪⎨⎪-4⎪⎩，，≥≤
得63b a
--≤≤． 假设存在点00()M x y ，，使得()f x 在点M 的切线斜率为3b ．
则0()3f x b '=，
即2003230ax bx b +-=． ∵22(2)43(3)43649b b a b b ab ab a ⎛⎫∆=-⨯⨯-=+=+ ⎪⎝⎭
．
而63b a
--≤≤，∆<0∴． 故不存在点00()M x y ，，使得()f x 在点M 的切线斜率为3b ．
（3）由题意，设32
()f x ax bx cx d =+++的函数图象交x 轴于点A 的坐标为(0)α，、点C 的坐标为(0)β，．
则32
()()(2)()[(2)(22)2]f x a x x x a x x x αβαβαβαβαβ=---=-+++++-， 比较系数得(2)2.b a d a αβαβ=-++⎧⎨=-⎩，．得2.2b a d a αβαβ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，．
所以AC αβ=-=
==
= ∵63b a --≤≤，∴当6b a =-时
，max AC =；当3b a
=-时，min 3AC =．
故3AC ≤≤
解后反思：本题的第（2）、（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求a b ，的值，大大
简化了运算．运用整体思想解题是不是很巧妙？这种整体思想在其它知识板块中都有广泛的
应用，在以后的学习中可要留心哟．
三 分类讨论思想
安徽 章礼抗
分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的
观点，注意在分类时要不重不漏．下面我们通过对近年高考中导数类题的解析，揭示如何进
行分类讨论．
例1 已知a ∈R ，求2()ax
f x x e =的单调区间．
解：函数()f x 的导数2()(2)ax f x x ax e '=+
（1）当0a =时，若0x <，则()0f x '<；若0x >，则()0f x '>． 则()f x 在(0)-∞，
内为减函数，在(0)+∞，内为增函数．
（2）当0a >时，由2220x ax x a
+>⇒<-或0x >， 则()f x 在2a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭，或(0)+∞，内为增函数，在20a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，内为减函数． （3）当0a <时，由22200x ax x a
+>⇒<<-， 则()f x 在20a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数，在(0)-∞，和2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，内为减函数． 评注：从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理解给定区间上()f x '0≥函数为增函数， ()0f x '≤函数为减函数．但要确定()f x '的符号，须对参数进行分类讨论．
例2 已知()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =．
（1）求函数()f x 的最大值．
（2）设0a b <<，证明：0()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫<+-<-
⎪⎝⎭． 解：（1）()f x 的定义域是(1)-+∞，，则1()1001f x x x
'=
-=⇒=+ 当10x -<<时，()0f x '>；
当0x >时，()0f x '<． 又(0)0f =，则当且仅当0x =时，()f x 取最大值0．
（2）因()ln 1g x x '=+，设()()()22a x F x g a g x g +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
． 则()()2ln ln 22a x a x F x g x g x '⎡+⎤+⎛⎫''=-=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦． 当0x a <<时，()0F x '<，
因此()F x 在(0)a ，内为减函数；
当x a >时，()0F x '>，
因此()F x 在()a +∞，
内为增函数． 从而当x a =时，()F x 有极小值()F a ．
又因()0F a =，b a >，
所以()0F b >，即0()()22a b g a g b g +⎛⎫<+-
⎪⎝⎭． 设()()()ln 2G x F x x a =--，
则()ln ln ln 2ln ln()2
a x G x x x a x +'=--=-+ 当0x >时，()0G x '<，()G x 在(0)+∞，上为减函数．
因为()0G a =，b a >，所以()0G b <，
即()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫+-<- ⎪⎝⎭
． 所证结论成立．
评注：该题属于典型利用导数证明其不等式的问题，一般方法是：先构造函数（多是作差函数），再用导数确定所构造函数的单调性来证明．在证明的过程中难免要分类处理，否则难以确定新函数的正负．。