优化方案高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、

第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性应用案巩固提升 新人教A 版必修4
[A 基础达标]
1．函数y ＝cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6≤x ≤π3的值域是( )
A ．[－2，2]
B ．[－1，1]
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12
D ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
32，12 解析：选C.因为π6≤x ≤π
3，
所以π3≤2x ≤2π
3.
所以－12≤cos 2x ≤12.
所以函数y ＝cos 2x ⎝
⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤π3的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12.
2．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，7π12
C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤5π12，11π12
D.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π6，π2
解析：选B ．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12(k ∈Z )，
取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12.
3．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]
D ．[－2，0]
解析：选D.y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，
2sin x ，－1≤sin x ＜0，因此函数的值域为[－2，0]．故选D.
4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |
B ．y ＝cos|－x |
C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2
D ．y ＝－sin x
2
解析：选C.y ＝cos|x |在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；
y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π2＝－sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2
－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y
＝－sin x
2
在(0，π)上是单调递减的．
5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3
解析：选A.由0≤x ≤9可得，－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，
所以最大值为2，最小值为－3，最大值与最小值之和为2－ 3.
6．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________．
解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递
增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π.
答案：⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π2，π
7．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．
解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 760°<sin 470°.
答案：＞
8．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α>sin β，则α＋β与π2的大小关系为________．
解析：因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 因为cos α>sin β，所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α>sin β.
因为y ＝sin x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，
所以π2－α>β.所以α＋β<π
2.
答案：α＋β<π2
9．求函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 解：函数y ＝2sin μ的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．
令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )，
得
2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π
12
(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．
10．比较下列各组数的大小：
(1)sin 1017π与sin 1117π；(2)cos 5π3与cos 14π
9.
解：(1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上单调递减，且π2<1017π<1117π<π，所以sin 10
17π>sin 11
17
π.
(2)cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3，cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. 因为函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π3<4π
9<π，
所以cos π3>cos 4π9，所以cos 5π3>cos 14π
9
.
[B 能力提升]
1．函数f (x )＝－2sin 2
x ＋2cos x 的最小值和最大值分别是( ) A ．－2，2 B ．－2，5
2
C ．－1
2
，2
D ．－52
，2
解析：选D.f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2
x ＋2cos x －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122
－52. 因为－1≤cos x ≤1，
所以当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－5
2，
当cos x ＝1时，f (x )max ＝2.
2．f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．
解析：因为0≤x ≤π
3，
所以0≤ωx ≤π3ω＜π
3
.
因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，
即2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3ω＝2，
所以π3ω＝π4，所以ω＝34.
答案：34
3．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值．
解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π
12(k ∈Z )，所
以f (x )的单调递增区间为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2k π3
－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )．
(2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2，即x ＝2k π3－5π
12(k ∈Z )时，f (x )
取得最小值－2.
4．(选做题)已知函数y ＝a －b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；
(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合．
解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1，1]，
因为b >0，
所以－b <0，⎩⎪⎨
⎪⎧y
max
＝b ＋a ＝3
2
，
y
min ＝－b ＋a ＝－1
2
，
所以a ＝1
2
，b ＝1.
(2)由(1)知：g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，
因为sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－1，1]，
所以g (x )∈[－2，2]，所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋5
6π，k ∈Z .。