广东省六校2013届高考数学联合模拟试题试题 理 新人教A版

第3题图
2013届高三六校第四次联考
理科数学试题
本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 满足
3i 13i z ⋅=- （i 为虚数单位），则z 的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -
2．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N 则M N ⋂=（ ）
A ．{x |x>-1}
B ．{x|x ＜1}
C ．{x|-1＜x ＜1}
D ．∅
3．如图给出的是计算11
11352013
+++
+的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入（ ）
A ．1i i =-
B ．1i i =+
C ．2i i =-
D ．2i i =+
4．若变量x y ，满足24023000x y x y x y ⎧+⎪
-+⎪⎨⎪⎪⎩
，，
，，≤≤≥≥则3z x y =-+的最大值是（ ）
A ．90
B ．80
C ．50
D ．40
5．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，22S =，则4S = （ ） A ．2
B ．6
C ．16
D ．20
6． 已知直线1l ：4y x =，
2l ：-4y x =
，过M （
3
2
，2）的直线l
1l 、2l 分别交于A 、B ，若M 是线段AB 的中点，则AB 等于（ A ．12
B C
D
7．已知某四棱锥的三视图，如右图。

则此四棱锥的体积为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．设00x y >>，
，定义x y ⊗
=，则()2
x y ⎡⊗⎣
+2()
x y ⊗()max y x ⎤⊗⎦等于（ ）
A B C D 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概
率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．
10．若12
322()log (1) 2.，
，，
x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((2))f f 的值为 . 11．曲线33y x ax =++在点（1，m ）处的切线方程为2y x n =+，则a = ．
（a m n ，
，为常数） 12．已知()2sin(
)(||)3
2
f x x π
π
ϕϕ=+<
，若1x =是它一条对称轴，则 ϕ= ．
13．如右图，等边△ABC 中，2AB AD ==44AE =，则BE CD = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 23sin x y θ
θ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数）上一点P 到点()20A -，，()20B ， 距离之和
为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图2，在Rt ABC ∆中，斜边12AB =，直角边6AC =， 如果以C 为圆心的圆与AB 相切于D ，则C 的半径长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数231
()sin 2cos 22
f x x x x R =
--∈，． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值。

17．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。

我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超
标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。

一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z
18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，ABC ∆是边长为2的正三角形，1，AE AE >⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD=CD ，且BD CD ⊥． （1）若AE=2，求证：AC ∥平面BDE ；
（2）若二面角A —DE —B 为60°．求AE 的长。

19．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=--+∈． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；
（3）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2
2013211i i i i i
c c P c c =++=+∑．求不超过P 的最大整数的值。

D
B
E
C
A
20．（本小题满分14分）如图所示：已知过抛物线y x 42=的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点。

（1）求证：以AF 为直径的圆与x 轴相切；
（2）设抛物线y x 42=在A ，B 两点处的切线的交点为M ，若点M 的横坐标为2，求△ABM 的外接圆方程；
（3）设过抛物线y x 42
=焦点F 的直线l 与椭圆12
3432
2=+x y 的交点为C 、D ，是否存在直线l 使得AF CF BF DF =，若存在，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由。

21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=ln x ，g (x )=k ·
1
1
+-x x ．
（1）求函数F(x )= f (x )- g (x )的单调区间； （2）当x >1时，函数f (x )> g (x )恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）设正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 满足a 1+a 2+a 3+…+a n =1．求证：ln(1+21a 1)+ln(1+22a 1)+…+ln(1+2a 1n
) >222+n n ．
2013届高三六校第四次联考
理科数学试题答案
1．【解析】()313i
13i i =3+i i
z -=
=-．故选D ． 2．【解析】{}1M x x =<，{}1N x x =>-．故选C ．
3．【解析】因为分母为1，3，5，7，9，…，2013，所以应填入2i i =+．故选D ．
4．【解析】画出可行域（如图），在(10,20)B 点取最大值max 1032050z =-+⨯=．答案： C ．
5．【解析】221(1)221331q S q q q -==⇒+=⇒=-，422411
(1)(1)
22(1)2102011q q S q q q
--==⋅+=⨯=--．故选D ．
6．【解析】设11(4)，A x x 、12
122122
3
22
2
(4)44122
，，
，
，，
x x x B x x x x x +⎧=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨
-=⎩⎪=⎪⎩，所以(28)，A 、(14)，B -． 所以22
=(21)[8(4)]1144145AB -+--=+=B ．
7．【解析】如图，四棱锥A BCDE -．
E B
D C
1
6243
V =
⨯⨯=．故选B ． 8．【解析】设终边过点()x y ，
的角θ（不妨设(0)2
π
θ∈，）则2
12222
cos cos sin cos sin θ
θθθθ++=+ 21111
221()(2)2222
sin cos sin θθθφ=++=+++，其中φ是终边过1(1)2，的角（不妨设(0)2πφ∈，）
． 答案 D C D C D B B A
当2
π
θφ+=
时，有()2
x y ⎡⊗⎣
+2()
x y ⊗()max 15
2
y x ⎤⊗=
⎦．故选A ． 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） 9．16，10．2，11．1-，12．
6
π
，13．3-，14．8，15．33 9．【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人
数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168
2
64=⨯．答案：16． 10．【解析】11((2))(1)22f f f e -==⨯=．答案：2．
11．【解析】2232311y x a a a '=+⇒=⨯+⇒=-．答案：1-． 12．【解析】由已知得3
2
x k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，，由1x =代入得6
k k Z π
ϕπ=+
∈，，
又||2
π
ϕ<
，所以6π
ϕ=
．答案：
6
π
． 13．【解析】14BE BA AE AB AC =+=-+
,1
2
CD CA AD AC AB =+=-+ 11
()()42
BE CD AB AC AC AB =-+
-+2222911911
44cos 449843824824
AB AC AB AC A =--=⨯⨯∠-⨯-⨯=--=-．答案：3-． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．【解析】曲线4cos 23x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩表示的椭圆标准方程为2211612x y +=，可知点()2,0A -，()2,0B 为椭圆的焦点，故28PA PB a +==．答案：8．
15．【解析】连C D ，
则030B DCA ∠=∠=，在Rt ADC ∆中，sin CD AC DAC =∠, 3
6332
CD =⨯
=．答案：33
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．【解析】（1）31cos 21()2sin(2)12226
x f x x x π+=
--=--，…………3分 则()f x 的最小值是2-， 最小正周期是22
T π
π==；…………6分 （2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)106
C π
--=，…………7分
0C π<<,022C π<<,所以1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， 所以262C π
π
-
=
，3
C π
=
，…………9分
因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =，……①…………10分
由余弦定理得2
2
2
2cos
3
c a b ab π
=+-，即222
3c a b ab =+-=……②…………11分
由①②解得：1a =，2b =．…………12分
17．【解析】（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，
12
5103
1545
()91
C C P A C ⋅==． ……………………4分 （2）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()3510
3
15
0,1,2,3k k C C P k k C ξ-===．……………………7分
……………………9分
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102
153
P ==，……………………10分 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η~2(360,)3
B
2
3602403
E η∴=⨯
=，∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。

……12分 18．【解析】（1）分别取BC BA BE ，， 的中点M N P ，，,连接
DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1
=
12
NP AE =， 因为BD CD =，2BC =,M 为BC 的中点，
所以DM BC ⊥,1DM =， 又因为平面BCD ⊥平面ABC ，
所以DM ⊥平面ABC ．……………3分 又AE ⊥平面ABC ,
所以DM ∥AE ，……………………5分 所以DM ∥NP ，且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形，
所以MN ∥DP ，所以AC ∥DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ， 所以AC ∥平面BDE .……………………7分 （或者建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量1n ，计算10AC ⋅=n 即证）
（2）解法一:
过M 作MH 垂直ED 的延长线于H ,连接BH . 因为BC AM ⊥,BC DM ⊥,
所以BC ⊥平面DMAE ,ED ⊂平面DMAE 则有BC ED ⊥.
所以ED ⊥平面BMH ,BH ⊂平面BMH , 所以ED BH ⊥.
所以MHB ∠为二面角A ED B --的平面角，
E
D A
H
B
E
D
C
A
N
P
即=60MHB ︒
∠. …………………10分 在Rt BMH ∆中，=1BM
，则MH
,BH .
在Rt MHD ∆
中，=
3
DH . 设1AE h =+
，则DE
所以3
HE =
，又
BE =在Rt BHE ∆中,222
BE BH NE =+,即()2
212h +
+
=2
2
+⎭，
解得
h =1AE =． ………………14分
解法二:
由（1）知DM ⊥平面ABC ，AM MB ⊥, 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -.
设AE h =，则()000，，M ,()100，，B ,
()001，，D (
)0
30，，
A ,()
0E h ， ()101，，BD =-,()1，BE h =
-. 设平面BDE 的法向量1(,,)x y z =n
则110,
0,
BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以00.，x z x zh -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩
令1x =, 所以1(1,,1)3
=n ，………………11分
又平面ADE 的法向量2(1,0,0)=n ， 所以1
21212
2
1
cos ,
2
⋅<>=
==
⋅n n n n n n ， 解得1h =， 即1AE ．……………………14分
19．【解析】(1) 因为213
12
2
n n a S n n +=--
+， 所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则11
2a =-，………………………………1分
② 当2n ≥时，21113
(1)(1)122
n n a S n n --+=----+，……………………2分
所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，
所以11(2)2n n b b n -=≥，而111
12b a =+=，……………………4分
所以数列{}n b 是首项为12，公比为12
的等比数列，所以12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭．……………5分
（2）由(1)得2
n n n
nb =．
所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=
-， ②12322
21..........24232212--+-+++++=n n n n
n T ，……………7分
②-①得：n n n n
T 221......2121112-++++=-，……………8分
n n n n n n T 22222
11211+-=--⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=
.………………10分
（3）由(1)知12n n a n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
n c n =∴………………11分
22
1n n n n
c c c c ++∴+(1)1111
11(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++，………13分 所以22013
2
11i i i i i
c c P c c =++=+∑111111111
(1)(1)(1)(1)2014122334201320142014=+-++-++-+++-=-， 故不超过P 的最大整数为2013．……………………………………………14分
20．【解析】（1）解法一（几何法）设线段AF 中点为1O ，过1O 作21O O 垂直于x 轴，垂足为2O ,则
2
||||21||2
2||2
|
|111OF AA AA P
AA AF r +=+=+
==
，…………… 2分
又∵2
|
|||||121OF AA O O +=
， …………… 3分
∴||21O O r =∴以线段AF 为直径的圆与x 轴相切。

……………4分 解法二（代数法）设),(11y x A ,线段AF 中点为1O ，过1O 作21O O 垂直于x 垂足为2O ，则1)1(4)1(||12
112121+=-+=-+=y y y y x AF ，
∴2
1
1+=
y r ． ……………2分 又∵点1O 为线段AF 的中点，∴2
1
2||121+=+=y y y O O F A ，……………3分 ∴||21O O r =，
∴以线段AF 为直径的圆与x 轴相切。

……………4分
（2）设直线AB 的方程为1+=kx y ，),(),,(2211y x B y x A ， 由2
2
1
4404y kx x kx x y
=+⎧⇒--=⎨
=⎩ ， ∴⎩⎨⎧-==+442121x x k x x ．……………5分
由22
442
x x x y y y '=⇒=⇒=， 14
44222121-=-==⋅=
⋅∴x x x x K K MB MA ， MA MB ∴⊥……………6分 ∆∆∴Rt MAB 为，故MAB ∆的外接圆圆心为线段AB 的中点。

设线段AB 中点为点P ，易证⊙P 与抛物线的准线相切，切点为点M ，
12
222212
P M x x x x k k +∴==∴
=⇒=∴=，，．……………7分 121212(1)(1)242
3(2,3)2222P y y kx kx x x k y P +++++++∴=====⇒圆心…………8分
又4|)1(3|||=--==MP r ，
16)3()2(:22=-+-∆∴y x MAB 的外接圆的方程为所求 ．…………9分
（3）显然AB 的斜率存在，设AB 方程为：1y kx =+．
①当0k =时，由抛物线、椭圆的对称性可得AF CF BF DF =．此时AB 方程为：1y =．………10分 ②当0k ≠时，
||||||||||||||||AF DF AF CF BF DF BF CF ⋅=⋅∴
=，，设λ==|
||
|||||CF DF BF AF ， 则FC DF FB AF λλ==且 ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(),(4433y x ，D y x C ，则
⎩⎨⎧-=---=--)1,()1,()1,()1,(33442211y x y x y x y x λλ ⎩⎨⎧-=-=⎩⎨
⎧=-=-∴34
213421x x x x x x x x λλλλ即 将21x x λ-=代入⎩⎨
⎧-==+4
42121x x k x x 可得：2
241
)1(k =-λλ ． ①……………12分 由3422222342212(36)61032114336k y kx x x k k x kx y x
x x k ⎧
=+⎧+=-⎪⎪⎪+⇒++-=⇒⎨⎨-+=⎪⎪=
⎩⎪+⎩
， 联立34x x λ-=可得2
22366
3)1(k
k +=-λλ
，②……………13分 联立①②可得2
22366341k
k k += ，解得112±=∴=k k ．此时AB 方程为：1y x =±+． 所以存在使AF CF BF DF =的直线，其方程为1y =或1y x =±+．…………14分
11 21．【解析】（1）1()ln 1x F x x k x -=-⋅+ 222
122(1)1()(1)(1)x k x F x k x x x x +-+'=-⋅=++ ，…… 1分 由22(1)10x k x +-+=的判别式224(1)44(2)k k k ∆=--=-，
①当0∆≤即[]0,2k ∈时，()0F x '≥恒成立，则()F x 在(0,)+∞单调递增； ……2分
②当0k <时，()0F x '>在(0,)+∞恒成立，则()F x 在(0,)+∞单调递增； ……3分
③当2k >时，方程22(1)10x k x +-+=
的两正根为11k k --
则()F x
在(0,1k -
单调递增，(11k k --
单调递减，(1)k -+∞单调递增．
综上，当2k ≤时，只有单调递增区间；
当2k >
时，单调递增区间为(0,1k -
，(1)k -+∞；
单调递减区间为(11k k --． …… 5分
（2）即1x >时，()0F x >恒成立．
当2k ≤时，()F x 在(0,)+∞单调递增，
∴当1x >时，()(1)0F x F >=满足条件． …7分
当2k >时，()F x
在(11k k --单调递减，
则()F x
在(1,1k -单调递减，
此时()(1)0F x F <=不满足条件，
故实数k 的取值范围为(]2，-∞． …… 9分
（3）由（2）知，1
ln 21x x x ->⋅+在(1,)+∞恒成立， 令211n x a =+ ，则 2
222
1
122
ln(1)2121212n n n n n
a a a a a +>⋅
=>+++ ， …… 10分 ∴211211
11ln(1)2(
)212121n
i i n
a a a a =+>++++++∑． …… 11分
又[]21212111
()(21)(21)(21)212121n n
a a a n a a a +++++++++≥+++，
∴2
1211
122()2121212
n n a a a n +++≥++++ ， ……13分
∴2
2112ln(1)2n i i
n a n =+>+∑ ． ……14分。