一元实函数的一致连续性

课程教育研究Course Education Research 2018年第2期
一元实函数的一致连续性
缪彩花何天荣
(丽江师范高等专科学校教师教育学院云南丽江674199)
【摘要】本文对一元函数的一致连续性进行介绍及举例,阐述了函数一致连续性的充要条件和充分条件,希望可以让我们更加理解一致连续的作用、地位和价值,在以后研究学习中有所帮助。

【关键词】函数一致连续连续
【基金项目】项目名称:丽江师范高等专科学校质量工程项目特色课程《数学分析》———专业必修课;项目编号:XJ102016211。

【中图分类号】G64【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)02-0116-01一致连续性是数学分析中首次出现“一致”这个概念,这对后面研究其他“一致”的性质是特别重要的基础。

以下我们探讨判定函数一致连续常用的充要条件和充分条件。

一、函数一致连续的充要条件1.一致连续的定义
定义设f (x )在区间I 上有定义。

若∀ε>0,∃δ>0,∀x 1,x 2∈I ,只要x 1-x 2<δ,就有f (x 1)-f (x 2)<ε,则称函数f (x )在区间I 上一致连续。

对于函数f (x )=x 3
√,用一致连续的定义可证明f (x )在[0,+∞)上一致连续。

事实上,对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),不妨设x 2
>x 1
,
有x 23
√=(x 2-x 1)+x 13
òx 2-x 13
√+x 13
√,即x 23
√-x 13
ò
x 2-x 13√,于是对∀ε>0,∃δ>ε3
,使得对∀x 1,x 2∈[0,+∞),当
x 1-x 2<δ时有x 23√-x 13√≤x 2-x 13
√<ε,即得f (x )=x 3
√在[0,+∞)。

2.将函数的一致连续性转化为数列极限的问题,可以得到利用数列极限表述的函数一致连续的充分且必要条件。

函数f (x )在区间I 上一致连续的充要条件为:对于任何满
足条件lim n →∞(x n -y n )=0的数列{x n }⊂I ,{y n }⊂I ,都有lim n →∞
[f (x n )-f
(y n )]=0.
利用这个充要条件,可以方便地证明某些函数在区间上不一致连续。

二、函数一致连续的充分条件
闭区间上连续的函数必定一致连续,然而对于非闭区间上的连续函数,却不一定是一致连续的,以下给出了非闭区间上的连续函数一致连续的两个充分条件。

命题1若函数f (x )在[a ,+∞)连续,极限lim x →+∞
f (x )=A 存在,
则f (x )在[a ,+∞)上一致连续。

证明:因lim x →+∞
f (x )=A 存在,由柯西准则,∀ε>0,∃M>0,当x 1,x 2>M 时,有f (x 2)-f (x 1)<ε.又由已知条件知f (x )在[a ,M+1]连续,从而f (x )在[a ,M+1]一致连续。

于是,对于上述ε>0,∃δ1>0,当x 1,x 2∈[a ,M+1]且x 1-x 2<δ1时,f (x 2)-f (x 1)<ε.取δ=min{1,δ1},则对∀x 1,x 2∈[a ,+∞),只要x 1-x 2<δ,就有x 1,x 2或同属于[a ,M+1]或同属于[M ,+∞),从而有f (x 2)-f (x 1)<ε.所以f (x )在[a ,+∞)上一致连续。

命题2若函数f (x )在开区间(a ,b )连续,极限lim x →a +
f (x )和lim n →b -f (x )均存在,则f (x )在开区间(a ,b )上一致连续。

该命题告诉我们,讨论连续函数在开区间上的一致连续性时,只要函数在区间端点存在单侧极限,可把函数延拓到闭区间上,再利用闭区间上的连续函数必定一致连续,即可得到函数在开区间上一致连续,这是一个十分有效的方法。

参考文献:
[1]强文久等.数学分析的基本概念与方法[M].高等教育出版社,1989
[2]刘玉琏等.数学分析讲义[M].高等教育出版社,2003
数形结合教学探析
苏开旺
(大田县梅山中心小学福建大田366114)
【摘要】在较为复杂的数学学习阶段,思想方法就是确保学生能够普遍理解抽象概念的“锦囊”。

数形结合作为数学思想方法之一,将抽象思维与形象思维进行转换,使得难以理解的复杂问题迎刃而解。

数形结合益处多,用处广,形式多样,但要避免出现“结而不合”的现象。

【关键词】数形结合益处多,用处广简化问题优化思路【中图分类号】G623.5【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)02-0116-02数形结合指把实物体或几何图形及它们的位置关系同抽象的数学语言或数量关系联系起来,在考试中经常将数与形作为基础考查点,并考察学生把复杂问题简单化的能力,突出强调数学问题的灵活性以及多样性。

数学学习往往需要科学抽象的思维方式去理解一些数量关系以及概念结构,数形结合的形式恰到好处的解决了数学问题中难以理解的教学问题。

也就是说,在课堂教学活动过程中,一方面教师或学生利用图形或实物来表示数学中的有关条件和问题;另一方面利用数字大小来标注说明图形的特点或规律。

从而,帮助学生梳理数学信息,优化思路,解决较复杂问题。

一、以形助数益处多
1.“形”有助于思考。

用数学语言描述的问题,常常让人百思不得其解。

而根据信息画个草图并给予适当点拨却常常使人
茅塞顿开,理清思路,找到解题方法。

总的来说,图形表达的形式更加有利于数学思维模式的建立,通过简单的图形表达不简单的数学问题,提高数形结合思维模式的解题效率。

2.“形”有助于释义。

有的实际生活问题,看似简单却说不清楚,即使说了,学生也不能理解。

如“蛋糕店要把一个长50㎝,宽60㎝的长方形蛋糕切成若干同样大小的正方形小蛋糕而没有剩余,求小蛋糕的边长最大是多少?”类似这样的问题,教师直接运用复杂的数学语言进行解题分析,学生就会一头雾水,不知所云。

如果让学生用剪刀试着“剪一剪”或画图分一分或教师指着图形说———大家是否能够理解没有剩余的数学含义,这道题目意味着什么数学知识。

求正方形的边长就是长方形纸张长和宽的公因数,学生便会频频点头,类似形式的问题就能够很简化的得到解决。

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