辽宁省东北育才学校高三数学第二学期三月检测试题

某某省东北育才学校高三数学第二学期三月检测试题
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式
P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.33
4R V π=
那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径
k
n k k
n n P P C k P --=)1()(
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}
2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A
B 等于
A ．R
B ．{}
,0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 2. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，若81126a a =+，则9S =
A ．54
B ．45
C ．36
D ．27
3．若向量a =(cos α,sin α) ，b =()ββsin ,cos ，a 与b 不共线，则a 与b 一定满足
A ．a 与b 的夹角等于α-β
B ．a ∥b
C ．(a +b )⊥(a -b )
D ．a ⊥b
4．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在1=x 处取最大值，则
A ．)1(-x f 一定是奇函数
B ．)1(-x f 一定是偶函数
C ．)1(+x f 一定是奇函数
D ．)1(+x f 一定是偶函数 5. (理)右图是正态分布(0,1)N 的正态曲线，现有：①1
()2
m Φ-
，②()m Φ-，
③1[()()]2
m m Φ-Φ-，这三个式子能表示图中阴影部分面积的是
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
（文）某班有50个同学，其中男生30人，女生20人，某次老师要抽五位同学打扫环境，依性别按人数作分层抽样，则班上的男同学甲被抽中的概率是 A ．50
1
B ．
30
1
C ．
101 D ．20
1 6. 设地球的半径为R ，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，则甲、乙两地的球面距离为
A ．
R 3
2π
B ．
R 6
π
C ．
R 6
5π D ．R 3
）
定是（
的圆锥曲线必）（），（点为相应焦点和准线且过和，、以035:)01(7≠=m m P x L A
A 、抛物线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、不能确定 8.02532
>-+x x 的一个必要但不充分的条件是
A.321<<-
x B.021<<-x C.61<<-x D.2
1
3<<-x 9.已知函数()2x f x =的反函数为1
()f x -，若11()()4f a f b --+=，则11a b
+的最小值为
A ．12
B ．13
C ．1
4D ．1 A
10.5名奥运火炬手分别到某某，澳门、某某进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火炬手，则不同的分派方法共有
A.150种
B.180种
C. 200种
D.280种
11.对于R 上可导的任意函数f(x)，若满足()()10x f x '-≥则必有
A ．()()()02＜21f f f +
B ．()()()0221f f f +≤
C ．()()()0221f f f +≥
D ．()()()02＞21f f f +
12．已知实系数方程x 2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则
b
a
的取值X 围是
A (-2, -1)
B (-1, -
12) C (-2, -1
2
) D (-2, +∞) 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二 .填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．已知4sin 5α=
，3cos()5αβ+=-，,(0,)2
π
αβ∈，则sin =β 14.若多项式10
109910102)1()1()1(+++++++=+x a x a x a a x x ，则9a =.
15．对正整数n ，设曲线(1)n
y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列
{
}1
n
a n +的前n 项和公式是 16．有穷数列{}n a ，n S 是其前n 项和，定义数列的凯森和为12n
n S S S T n
+++=
……。

若有
99
项的数列12,,a a 99……,a 的凯森和为1000，则有100项的1，12,,a a 99……,a 的凯森和为
______
三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、
c ，已知bc c a b +-=2
22, （1）求角A 的大小； （2）若4
1
cos cos =C B ，判断ABC ∆的形状.
18.现有五道数学试题，记为A 、B 、C 、D 、E 和它们对应的答案为e d c b a 、、、、,把A 、B 、C 、D 、E 和e d c b a 、、、、分别写成左右两列，现有一答题者，随机用5条线段把左、右全部连接起来，构成一个“一一对应”已知连对一个得1分，连错一个得0分。

（1）求答题者得分的分布列； (文科)求恰连对一个的概率。

（2）求所得分数的期望。

（文科）求五个都练错的概率。

19.直三棱柱111ABC-A B C 中，1CC CA 2,AB BC ===，D 是1BC 上一点，且CD ⊥平面
1ABC ．
（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；
（2）求异面直线1AC 与BC 所成角的大小； （3）求二面角1C AC B --正弦值的大小．
20.已知函数*).)((2
1
}{)0(11)(1112N n a f a a a x x x x f n n n ∈==>-+=
+-，且满足，数列 （Ⅰ）求函数)(x f y =的反函数；
（Ⅱ）若数列{a n }的前n 项的和为S n ，求证：S n <1（n ∈N*）. （文科）求证：*).()2
1(N n a n
n ∈≤
21.已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值X 围为(1,3)，求：
（1）()f x 的解析式；
（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，某某数m 的取值X 围．
22.已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.
(1)设1()2
OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程； (2)若直线l 的倾斜角为060，求
11
||||
PF QF +
的值. 参考答案
1．B 本题主要考查集合的运算。

[解析][0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C =，
故选B 。

2. A 本题主要考查等差数列。

[解析]设{}n a 的公差为d ，则2（1a +7d ）= 6+1a + 10d ，整理得1a +4d=5a =6，5492
)
(95919==+=
a a a S 。

故选A 。

3.C 本题主要考察向量中平行、垂直及夹角等概念。

[解析]由题意知选C 。

4.D 本题主要考查三角函数的图象与性质。

[解析]由题意知)(x f 图象关于1=x 对称，
)1(+=x f y 的图象是由)(x f y =的图象向左平移1个单位得到的，故)1(+=x f y 为偶函
数。

故选D 。

5．C 本题主要考查标准正态分布的知识。

[解析]由正态曲线的性质及
00()(),x P x x Φ=<001
()1(),(0)2
x x Φ=-Φ-Φ=
，…，∴三个式子中①③是正确的．故选C 。

（文）C 本题主要考查概率统计中的抽样方法。

[解析]按分层抽样，在男生中应抽取3人，由于抽样是等概率的，所以每个男生被抽到的概率都是
10
1
，故选C. 6．A 本题主要考查球面距离。

[解析]易得甲、乙两地的球心角为3
2π
，所以两点间的球面距离是
R 3
2π。

故选A AACC １３．
25
24
１４．－１０ １５．221-+n １６．991 17．解：（1）由已知bc c a b +-=2
2
2
，得
2
1
2222=-+bc a c b ……………………2分 3
,0,21cos π
π=∴<<=
∴A A A 又.………………………………………4分 （2）B B B B B C B 2cos 2
1
cos sin 23)32cos(
cos cos cos -=-=π…………6分 4
1
)2cos 212sin 23(21--=
B B ………………………………8分 4141)62sin(21=--=
πB ，1)6
2sin(=-∴π
B ，…………10分 3
3
π
π
=
==∴=
∴C B A B
ABC ∆∴为等边三角形. ………………………………………12分
18.设答对数为η，则η=0，1，2，3，5
（1）记得分为ξ，则ξ=0，1，2，3，5 1分
∴12011)5()5(55=====A p p ηξ121
)3()3(5535=====A C p p ηξ
612)2()2(5525=====A C p p ηξ83
9)1()1(55
15=====A C p p ηξ
30
11
836112112011)0()0(=
----
====ηξp p 8分 ∴所求得分数ξ的分布列为
ξ ξ=0
ξ=1
ξ=2
ξ=3
ξ=5
p
30
11 8
3 6
1 12
1 120
1 9分
∴（2）1120
15121361283130110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 12分 19．解：（1）1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∵1CC ⊥AB ．
又
CD ⊥平面1ABC ，且AB ⊂平面1ABC ，∴CD AB,⊥又1
CC CD=C,
∴AB ⊥平面11BCC B ． （２）
BC ∥11B C ，∴11B C A ∠或其补角就是异面直线1AC 与BC 所成的角．
由（１）知AB BC,⊥又ＡＣ＝２，∴2，∴222
1111AB AA A B =+.
在11AB C ∆中，由余弦定理知cos 2222111111111B C AC AB (2)861
B C A=2B C AC 2
2222+-+-∠==⋅⋅⋅
∴11B C A ∠=3π,即异面直线1AC 与BC 所成的角的大小为3
π
（3）过点D 作1DE AC ⊥于E ，连接CE ，由三垂线定理知1CE AC ⊥，故∠DEC 是二面角1C-AC B -的平面角， 又
1AC=CC ，∴E
为
1AC 的中点，
∴112CE=AC =，
又1BC ===，由11
1122CC CB=BC CD,⋅⋅
得11CC CB CD BC ⋅==，在Rt ∆CDE 中，
sin CD DEC CE 3∠===
,所以二面角1C-AC B -
20．解：（Ⅰ）令111
122+=--+=
x yx x
x y ，得
平方化简得：2
2
2
2
212,2,0,2y y
x x y y x x x yx x y -=
∴+=∴>=+
∵,10012011,02
2<<>-=∴>-+=
∴>y y y
x x x y x 得由，
∴函数).10(12)()(2
1
<<-=
=-x x x
x f
x f y 的反函数为 （文科）（Ⅱ）当n=1时，1)2
1(211
1<≤=a ，成立；
∵2
1
1
11
12),(++---=
∴=n n n n n a a a a f
a ， 又,21
,212,10112
1
11<∴>-=
∴<<++++-n n n n n n n a a a a a a a ∴当n n n n n n n a a a a a a a a n )2
1
(21)21()(
21112211=⋅≤⋅⋅=≥---- 时， 综上 *)()2
1
(N n a n
n ∈≤
（理科）（Ⅱ）当n=1时，12
1
11<==a S ，成立； ∵2
1
1
11
112)(),(++----=
=∴=n n n n n n n a a a a f
a a f a ，即， 又,21
,212,10112
1
11<∴>-=
∴<<++++-n n n n n n n a a a a a a a ∴当n n n n n n n a a a a a a a a n )2
1
(21)21()(
21112211=⋅≤⋅⋅=≥---- 时， ∴.1])21(1[2
11]
)21
(1[212
12121213221<-=--=++++≤+++=n n n n n a a a S
综上所述， *)(1N n S n ∈<
21．（1）由题意得：2
'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<
∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-
∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③
由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴32
()69f x x x x =-+-
（7分）
（2）设切点Q (,())t f t ，,
()()()y f t f t x t -=-
232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-
222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m -
232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=
令2
2
'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨
<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩16
11
m m <⎧⇒⎨
>-⎩ 故：1116m -<<
因此所某某数m 的X 围为：(11,16)-
（12分）
22.解：(1)设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y
112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+⇒=+1212
22x x x y y y +⎧
=⎪⎪⇒⎨
+⎪=⎪⎩
由2
2
2
22212
x x y y +=⇒+=，易得右焦点(1,0)F ----------（2分）
当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-
代入E 有2
2
2
2
(21)4220k x k x k +-+-=2
880k ∆=+>; 2
122421
k x x k +=+----（5分）
于是(,):R x y x =2
122
2221
x x k k +=+; (1)y k x =- 消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=-（8分）
(2)设椭圆另一个焦点为'F ，
在'PF F ∆中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =
，则|'|PF m =
由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-⋅⋅
⋅m ⇒=
word
11 / 11 同理，在'QF F ∆，设||QF n =
，则|'|QF m =
也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-⋅⋅
⋅n ⇒=
于是
1111||||PF QF m n +=+== ---------（14分）。