运筹学基础及应用(第一二章习题解答)Word版

运筹学基础及应用 习题解答
习题一 P46 1.1 (a)
该问题有无穷多最优解，即满足2
1
0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。

(b)
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。

1.2
(a) 约束方程组的系数矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A
4
最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。

(b) 约束方程组的系数矩阵
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21224321A
最优解T
x ⎪⎭⎫
⎝⎛=0,511,0,5
2。

1.3
(a)
(1) 图解法
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+8
259432121x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,1x ，最大值235=z
(2)单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=8
25943 ..00510 max 421321
4321x x x x x x t s x x x x z
则43,P P 组成一个基。

令021==x x
得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。

5
839,58min =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=θ
02>σ，23
28,1421min =⎪⎭⎫ ⎝
⎛=θ 新的单纯形表为
0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2
3
1,43
21====x x x x 。

最大值 2
35*=z (b) (1) 图解法
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+5
24262121x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,27x ，最大值217=z
(2) 单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式
21=+x x 2621+x x
1234523124125
max 2000515.. 6224
5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
则3P ，4P ，5P 组成一个基。

令021==x x
得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表
21σσ>。

245min ,,461θ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
02>σ，15
33min ,24,5
22θ⎛⎫== ⎪⎝⎭
0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，315
2
x =，40x =，50x =。

最大值 *
17
2
z = 1.6
(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令(
)0,0 ''2'2''2'2
2≥≥-=x x x x x ，
z z x x -=-=' ,3'
3
该问题转化为
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≥=-+-=---+=++-+++-+--=0,,,,,63382412
4332x ..0023' max 54'3''2'21'
3''2'215'
3''2'214'3''2'2154'3''2'21x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x t s x x x x x x z
其约束系数矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------=003113102114014332A
在A 中人为地添加两列单位向量87,P P ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------100031130110211400014332 令7654'
3''2'2
10023' max Mx Mx x x x x x x z --++-+--= 得初始单纯形表
(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令(
)'
''
'''
33333 0,0x x x x x =-≥≥， 'z z =-
该问题转化为
'''
123345'''
12334'''
12335'''
1233'''123345max '3500x 2623316.. 5510
,,,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =--+-++⎧++--=⎪+--+=⎪⎨++-=⎪⎪≥⎩
其约束系数矩阵为
121110************A --⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪-⎝⎭
在A 中人为地添加两列单位向量87,P P
1
21110102133010011550001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
令'
''
12334567max '3500z x x x x x x Mx Mx =--+-++-- 得初始单纯形表
1.7
(a)解1：大M 法
在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得
123456789max 22000z x x x x Mx x Mx x Mx =-++-+-+-
1234513672389123456789622,,20,,,,,,,,0
x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪-+-+=⎪
⎨
--+=⎪⎪≥⎩
由单纯形表计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以该线性规划问题有无界解
解2：两阶段法。

现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量
579,,,x x x 得第一阶段的数学模型
第一阶段求得的最优解*
T
X (,,,0,0,0,0,0,0)442
=,目标函数的最优值*
0ω=。

因人工变量5790x x x ===，所以*T 377
(,
,,0,0,0,0,0,0)442
X =
是原线性规划问题的基可
行解。

于是可以进行第二阶段运算。

将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。

由表中计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以原线性规划问题有无界解。

(b)解1：大M 法
在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得
1234567min 2300z x x x x x Mx Mx =+++++-
123461257123456789428
326,,,,,,,,,,0
x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪
⎨
⎪⎪≥⎩
其中M 是一个任意大的正数。

据此可列出单纯形表
由单纯形表计算结果可以看出，最优解*T (,
,0,0,0,0,0)55
X =
，目标函数的最优解值*49
23755
z =⨯
+⨯=。

X 存在非基变量检验数30σ=，故该线性规划问题有无穷多最优解。

解2：两阶段法。

现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量45,,x x 再加上人工变量67,,x x 得第一阶段的数学模型67min x x ω=+
123461257123456789428326,,,,,,,,,,0
x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪
⎨
⎪⎪≥⎩ 据此可列出单纯形表
第一阶段求得的最优解*T 49
(,
,0,0,0,0,0)55X =
,目标函数的最优值*0ω=。

因人工变量670x x ==，所以T
49(,,0,0,0,0,0)55
是原线性规划问题的基可行解。

于是可
以进行第二阶段运算。

将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。

由单纯形表计算结果可以看出，最优解*T (,
,0,0,0,0,0)55
X =
，目标函数的最优解值*49
237
55
z =⨯
+⨯=。

由于存在非基变量检验数30σ=，故该线性规划问题有无穷多最优解。

1.8
最后一个表为所求。

习题二 P76
2.1 写出对偶问题 (a)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+++≥++++=无约束32132143213213
21,0,534332243 ..422 min x x x x x x y x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≤≥=++≤++≤++++=无约束
3213213213213
21,0,0433424322 ..532max y y y y y y y y y y y y t s y y y w (b)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522 ..365max 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束 对偶问题为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≤+-≥++=+-++=0
,0,332675254 ..835 min 3213213213213
21y y y y y y y y y y y y t s y y y w 无约束 2.2
(a)错误。

原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。

(b)错误。

线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。

(c)错误。

(d)正确。

2.6 对偶单纯形法 (a)
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥+++=0,,5
22 3
3 ..1812
4 min 3
213231321x x x x x x x t s x x x z 解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥-=+---=+--++---=5,,105
22 3 3 ..0018124'max 53243154321 i x x x x x x x t s x x x x x z i
列单纯形表，用对偶单纯形法求解，步骤如下
最优解为T
x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=23,1,0， 目标值39=z 。

(b)
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10
5364
2 3 ..425 min 3
21321321321x x x x x x x x x t s x x x z 解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥-=+----=+---++---=5,,1010
5364
2 3 ..00425'max 5321432154321 i x x x x x x x x x t s x x x x x z i
列单纯形表，用对偶单纯形法求解
最优解为()T x 2,0,0=， 目标值8=z 。

2.8 将该问题化为标准形式：
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=++-=++++++-=5,104
26
..002 max 521432154321 i x x x x x x x x t s x x x x x z i
由于0<j σ，所以已找到最优解()10,0,0,0,6*=X ，目标函数值12*=z (a) 令目标函数
112233max 2z x x x λλλ=+++（）（-1+）（1+）
(1)令230λλ==，将1λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：0-3-1≤λ，0- 1 -1≤λ，0-21≤-λ，从而11-≥λ (2)令031==λλ，将2λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：0 3-2≤λ， 从而32≤λ (3) 令021==λλ，将3λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：01-3≤λ， 从而13≤λ (b) 令线性规划问题为
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥+≤+-+≤+++-=3,10426 ..2 max 5
214
321321 i x x x x x x t s x x x z i
λλ (1)先分析的变化
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆-*111101101λλλb B b
使问题最优基不变的条件是010611≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=∆+*
*
λλb b ，从而61-≥λ
(2)同理有0106
2≥⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
+λ，从而102-≥λ (c) 由于)10,0,0,0,6(=*
x 代入26231<-=+-x x ，所以将约束条件减去剩余变量后的方
程22631=-+-x x x 直接反映到最终单纯形表中
因此增加约束条件后，新的最优解为
1103x =
，383x =，5223x
=，最优值为28
3
2.12
(a) 线性规划问题
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30
54345536 ..43 max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z
最优解为()()3,0,5,,321=x x x ，目标值27=z 。

(a) 设产品A 的利润为λ+3，线性规划问题变为
()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤++≤+++++=0,,30
54345
536 ..43 max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z λ
为保持最优计划不变，应使32λ
+-，λ3151--，λ3153+-都小于等于0，解得5
9
53≤≤-λ。

(b) 线性规划问题变为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+++≤++++++=0,,,30
254345
8536 ..343 max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z
单纯形法求解
此时最优解为()()5,0,0,,321=x x x ，目标值20=z ，小于原最优值，因此该种产品不值得生产。

(c) 设购买材料数量为y ，则规划问题变为
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-++≤++-++=0,,,30
54345536 ..4.043 max 321321321321y x x x y x x x x x x t s y
x x x z
此时最优解为()()15,9,0,0,,,321=y x x x ，目标值30=z ，大于原最优值，因此应该购进原材料扩大生产，以购材料15单位为宜。

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