云南省昆明市高新技术开发区高考数学适应性月考卷(三)文(扫描版)

云南省昆明市高新技术开发区2018届高考数学适应性月考卷（三）
文（扫描版）
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（三）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．
2
{|{|30}[
B x y x x
===-=
≥，所以={101}
A B-，，，故选B．
2．
2i(2i)i
12i
i i i
z
--
===--
，z的共轭复数等于12i
-+，故选C．
3
．因为
sin
4
α
，所以
2
2
1
cos12sin12
243
αα
=-=-⨯=
⎝⎭，故选C．
4．q
⌝：A B
，在同高处的截面积恒相等，p A B
：，的体积相等，故q是p
⌝的必要不充分条件，故选B．
5．作出约束条件对应的平面区域，当目标函数2
y x z
=-+
经过点(11)
，时，z取得最大值3，经过点
11
22
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
时，z取得最小值
3
2，故z的取值范围是
3
3
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
，故选A．
6．因为
11π()sin2cos2sin2sin2cos2sin2
226
f x x x x x x x
⎫⎛⎫=-+=-=-
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎭，所以函数()
f x A．
7．
101
(1)1()111
2cosπ13
a
f f a a a a
a
-<<
⎧
=⇒=⇒=⇒=-=
⎨
=
⎩
，
或或
，故选B．
8．4
n=时，31
Q=，此时P Q
>，则输入的a的值可以为3，故选C．
9．设等比数列{}
n
a的首项为
1
a，公比为q，依题意有：
324
2(2)
a a a
+=+，
234
28
a a a
++=
得38
a=，故
3
11
2
31
20
=8
a q a q
a a q
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
，
解之得
1
2
2
a
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
或
1
32
1
2
a
q
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
，
又{}n a单调递减，所以663
S=，故选A．
10．由题意知，球O的半径5
R=，直三棱柱111
ABC A B C
-的底面外接圆半径为4，则直三棱柱111
ABC A B C
-的高为6，则该三棱柱的体积为，故选D．
11．由题意，2225233b c b A c b a B a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，代入到椭圆方程整理得222225199c b a a +=，
联立2
2b a =，解得3a =，故选D ．
12．22()3()30f x x f x x -+--=∵，设2
()()3g x f x x =-，则()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函
数，又
1
()()62g x f x x ''=-<-
，∴()g x 在(0)x ∈-∞，
上是减函数，从而在R 上是减函数，又2(2)(2)12129f m f m m m +-++-≤等价于22
(2)3(2)(2)3(2)f m m f m m +-+---≤，即
(2)(2)g m g m +-≤，22m m +-∴≥，解得
2
3m -
≥，故选A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】 13
．
∵
a b
∥，∴
40
m +=，∴
4
m =-，∴
(24)
b =-，，
∴323(12)+2(24)(714).a b +=--=-，，， ∴(714)
c =-，．
14．由题意知3c =，故2
89a +=，解得1a =，故该双曲线的离心率
3c
e a =
=．
15．因为{bn}是等差数列，且16b =-，1012b =，故公差2d =．于是*=28() n b n n -∈N ，即
128n n a a n +-=-，所以87651646246(6)(
4)(2)a a a a a =+
=++=+++==+-+-+-…
02463++++=．98811a a =+=，1091021a a =+=．
16．因为球与各面相切，所以直径为4，且11AC AB CB ，，
的中点在所求的截面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为由正弦定理知
R ，所以面积
8π
3S =
，以O 为顶点，以平面1A C B 截此球所得的截面为底面的圆锥体积为
18π1
336V =⨯⨯⨯=．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由c =，且)(sin sin )()sin a C A b a B -=-， 又根据正弦定理，得()()()c a c a b a b +-=-，
化简得，222
a b c ab +-=，故
2221
cos 22b a c C ba +-==， 所以60C =︒．……………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由c 4sin 5A =
，sin sin a c A C =得8
5a =
，
由a c <，得A C <，从而
3
cos 5A =
，
故
sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
所以ABC △的面积为1sin 2S ac B ==
．……………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为23x x x ，
，， 则23(0.0370.013)51x x x ++++⨯=，解得0.125x =， ∵第2小组的频数为15，频率为20.25x =，
∴该校报考飞行员的总人数为：150.25=60÷（人）．…………………………………（6分） （Ⅱ）学生体重在(6575]，
的有(0.0370.013)582+⨯⨯=人，用A B ，表示，在(5065]，的有0.7586⨯=人，用a b c d e f ，，，，，表示，从8名学生中随机抽取2人共有28种情况：
()()()()()()()()()()()A B A a A b A c A d A e A f B a B b B c B d ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ()()()()()()()B e B f a b a c a d a e a f ，，，，，，，，，，，，，，()()()()b c b d b e b f ，，，，，，，， ()()()c d c e c f ，，，，，()()d e d f ，，，，()e f ，，其中至少有一人的体重在(6575]，的事件有13个，记“抽到的2人中至少有一人的体重在(6575]，
”为事件M ，则13
().28P M =
………………………………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由已知得1
1
3AM AD ==，如图，取BP 上靠近P 的四等分点T ，连接AT TN ，，
由3NC PN =知TN BC ∥，1
1
4TN BC ==．……………………………………………（3分） 又AD BC ∥，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN AT ∥．
因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，
所以MN ∥平面PAB ．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：由题意知，四面体B ANM -的体积等于四面体N ABM -的体积，
因为PA ⊥平面ABCD ，3NC PN =，所以N 到平面ABCD 的距离为3
4PA
． 如图，取BC 的中点E ，连接AE ．
由3AB AC ==得AE BC ⊥
，AE ==
由AM BC ∥得B 到AD
，故
112ABM S =⨯=
△． 所以四面体B ANM -
的体积
1334B ANM N ABM BAM PA V V S --==⨯⨯△．……………（12分） 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）22(1)(1)
()2(0)
x x f x x x x x +-'=-+=->， 由()00f x x '>⎧⎨>⎩，得01x <<；由()00f x x '<⎧⎨>⎩，
得1x >．
∴()f x 在(0，1)上为增函数，在(1)+∞，
上为减函数．………………………………（2分） ∴1x =是函数()f x 的极值点．
因为
2()a g x x a x =+
+，
22()1a
g x x '=-， 又∵函数()f x 与()g x 有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点， 所以(1)120g a '
=-=，解得
12a =
．
经验证，当
1
2a =
时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意．…………………（5分）
（Ⅱ）∵2112(1)1(3)92ln 3e e f f f ⎛⎫
=--=-=-+ ⎪⎝⎭，，，
易知2192ln321e -+<--<-，即
1(3)(1)e f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭．
∴11min 1max 13()(3)92ln3()(1)1
e x
f x f f x f ⎡⎤
∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦，，，．
由（Ⅰ）知
11()2g x x x =+
+，21
()1g x x '=-．
当
11e x ⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭，时，()0g x '<；当(13]x ∈，时，()0g x '>． 故()g x 在11e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭，上为减函数，在(13]，上为增函数． 因为111e e e 2g ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，5(1)2g =，23(3)6g =，所以1(1)(3)e g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．
22min 2max 15233()(1)()(3)e 26x g x g g x g ⎡⎤
∀∈====
⎢⎥⎣⎦，，，．……………………………（8分） 1︒当10k ->，即1k >时，对于1213e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，，，不等式12()()1
1f x g x k --≤恒成立12m a x 12m a x 1[()()][()()]1k f x g x k f x g x ⇔--⇔-+≥≥
．
因为
1257
()()(1)(1)122f x g x f g --=--
=-≤，
所以75
122k -+=-
≥，又因为1k >， 1.k >所以
2︒当10k -<，即1k <时，对于1213e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，，，不等式12()()1
1f x g x k --≤恒成立12min 12min 1[()()][()()]1k f x g x k f x g x ⇔--⇔-+≤≤．
122377()()(3)(3)92ln32ln366f x g x f g --=-+-=-∵≥，
∴
712ln36k -
+≤，又1k <，∴71
2ln3.6k -+≤
综上，所求实数k 的取值范围为
712ln 3(1).
6⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦，， ……………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设M N ，为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，
所以
|||OF MN =
，213b b ==，解得22
14a b =+=，
因此，椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，()P x y ，，AB 的方程为(3)y k x =-， 由22
(3)143y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，
，整理得2222(34)2436120k x k x k +-+-=，
由2
4
2
2
2448(34)(31)0k k k ∆=-+->，得
23
5k <，
22121222243612
3434k k x x x x k k -+==++，，
1212()()
OA OB x x y y t x y +=++=，，，
则
2121222
124118()()(34)(34)k k x x x y y y t t k t t k -=+==+=++，， 由点P 在椭圆上，得222
222222
(24)(18)+14(34)3(34)k k t k t k -=++，
化简得222
36(34)k t k =+，………………………………………………………………（8分）
因为
||3
PA
PB -<
12|x x -<，
即
22
1212(1)[()4]3k x x x x ++-<， 即2222
222
(24)4(3612)(1)3(34)34k k k k k ⎛⎫-+-< ⎪++⎝⎭，
即42
9656390k
k +->，所以
2k >
，………………………………………（10分）
即23
5k <<，因为
222
36(34)k t k =+，
所以22
22362793434k t k k ==-++，
所以2204t <，即2t
的取值范围为(204)．………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程
1(l y k x =：，①
21)3l y x k =-：，②
①×②消k 可得：2
213x y +=．
即P 的轨迹方程为2
21(0)3x y y +=≠．1C 的普通方程为221(0)3x y y +=≠．
1C
的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（α为参数πk k α≠∈Z ，）．………………………（5分）
（Ⅱ）由曲线2C
：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
得：(sin cos )θθ+=
即曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=，
由（Ⅰ）知曲线1C 与直线2C 无公共点，
曲线1C
上的点sin )Q αα，到直线80x y +-=的距离为
d ==， 所以当πsin 13α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d
的最小值为10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）由题意可得10()130111x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩，≤，，，
，≥，
因为()4g x >-，由图象可得不等式的解为53x -<<，
所以不等式的解集为{|53}x x -<<．……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为存在1x ∈R ，也存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立， 所以{|()}{|()}y y f x x y y g x x =∈=∈≠∅R R ，，，
又()|2||25||(2)(25)||5|f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(25)
0x a x -+≤时等号成立.
由（Ⅰ）知，max ()1g x =，所以|5|1a +≤， 解得64a --≤≤，
所以实数a 的取值范围为[64]--，
．…………………………………………………（10分）。