2019-2020人教B版数学选修2-1专题强化训练 1 常用逻辑用语

专题强化训练(一) 常用逻辑用语
(教师用书独具)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为假命题的是( )
A ．log 24＝2
B ．直线x ＝0的倾斜角是π2
C ．若|a |＝|b |，则a ＝b
D ．若直线a ⊥平面α，直线a ⊥平面β，则α∥β
[答案] C
2．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧綈q
C ．綈p ∧q
D ．綈p ∧綈q
B [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0.
∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．
∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2<b 2，
∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．
∴p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题，綈p ∧q 为假命题，綈p ∧綈q 为假命题．
故选B.]
3．下列命题为假命题的是 ( )
A ．存在x ∈R ，使得tan x ＝2
B ．对任意x ∈(0，＋∞)，都有x 2>2x ＋1
C ．存在x ∈R ，使得x 2＋x ＝1
D ．对任意x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，都有tan x <sin x B [∵tan x ∈R ，∴∃x ∈R ，使得tan x ＝2，∴此命题为真命题；对于选项B ，当x ＝1∈(0，＋∞)时，x 2－2x －1＝－2＜0，∴此命题为假命题；对于选项
C ，易知方程x 2＋x －1＝0有实数根，∴此命题为真命题；对于选项
D ，当
x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，tan x <0＜sin x ，∴此命题为真命题．故选B.] 4．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”的否定是( )
A ．∀x ∈R ，x 2－x ＜0
B ．∃x ∈R ，x 2－x ≥0
C ．∃x ∈R ，x 2－x ＜0
D ．∀x ∈R ，x 2－x ≤0
C [全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定结论，故选C.]
5．若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．(－1,0)
C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
A [依题意0<x <1⇒a ≤x ≤a ＋2，∴⎩⎨⎧
a ≤0，a ＋2≥1，
∴－1≤a ≤0.]
二、填空题
6．已知函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R)，给出下列命题：
①当f (x )为奇函数时，q ＝0；
②函数f (x )的图象关于点(0，q )对称；
③当p ＝0时，方程f (x )＝0一定有解；
④方程f (x )＝0的解的个数可能超过两个．
其中所有真命题的序号是________．
①②③④ [若函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R)是奇函数，则f (0)＝0，∴q ＝0，故①为真命题；设(x 1，y 1)是函数f (x )图象上的点，它关于(0，q )的对称点为P (x ，y )，则x 1＝－x ，y 1＝2q －y ，∴2q －y ＝－x |－x |－px ＋q ，即y ＝x |x |＋px ＋q ，∴点P 在函数f (x )的图象上，∴函数f (x )的图象关于点(0，q )对称，故②为真命题；作出函数y ＝x |x |的图象和直线y ＝－q (图略)，知它们恒有公共点，故③为真命题；当q ＝0，p ＝－1时，利用函数f (x )的图象，知④为真命题．]
7．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围为________．
(－∞，2) [由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x
＜1＋a (a ＞0)．
依题意，得{x |－1＜x ＜3}⊆{x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)．
所以⎩⎨⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，
解得a ≥2， 则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是(－∞，2)．]
8．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的________条件．
充分不必要 [当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ，所以a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，所以不能推出m ＝－3.故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．]
三、解答题
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；
(2)若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 全为零．
[解] (1)逆命题：全等的两个三角形面积相等，真命题．
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．
逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．
(2)逆命题：若实数x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题．
否命题：若x 2＋y 2≠0，则实数x ，y 不全为零，真命题．
逆否命题：若实数x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题．
10．已知命题p ：2x 2－9x ＋a ＜0，命题q ：⎩
⎨⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
[解] 由⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0得⎩⎨⎧
1＜x ＜3，2＜x ＜4.即2＜x ＜3. 所以q ：2<x <3.
设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，
因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p .
所以B ⊆A .
所以在2<x <3内，满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0.
所以在2<x <3内，满足不等式a <9x －2x 2.
因为当2<x <3时，9x －2x 2
＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－92x ＋8116－8116 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942
＋818∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤9，818， 即9<9x －2x 2≤818
，所以a ≤9. [能力提升练]
1．下列命题中是假命题的是( )
A ．∃x ∈R ，lg e x ＝0
B ．∃x ∈R ，tan x ＝x
C ．∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，sin x ＜1 D ．∀x ∈R ，e x ＞x ＋1
D [当x ＝0时，e x ＝x ＋1，故选D.]
2．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 C [法一：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，
∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，
∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d .
若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ，
即S 4＋S 6>2S 5.
若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ，
∴d >0.∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．
故选C.
法二：∵S 4＋S 6>2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5)⇔a 6>a 5⇔a 5＋d >a 5⇔d >0，∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．
故选C.]
3．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题
A [对于A ，其逆命题：若x ＞|y |，则x ＞y ，是真命题．因为x ＞|y |＝⎩⎨⎧ y ，y ≥0－y ，y ＜0
，必有x ＞y .对于B ，其否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25＞1.对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，是假命题．因为当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0.对于D ，若x 2＞0，则x ＞0或x ＜0，不一定有x ＞1，因此原命题是假命题，故其逆否命题是假命题．故选A.]
4．命题p ：存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0，若綈p 为真命题，则实数a 的取值范围为________．
[－22，22] [綈p ：对任意x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，是真命题，因此只需9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.]
5．已知命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．
[解] 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故当p 为真时，0＜a ＜1.
命题q 为真等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52
. ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，
∴p ，q 中必定是一个为真一个为假．
若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，12
≤a ≤52，解得12≤a ＜1，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 若p 假，q 真，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0或a ≥1，a ＜12或a ＞52，解得a ≤0或a ＞52
，
即a ∈(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞.。