《创新设计》江苏专用理科高考数学二轮专题复习习题专题五第3讲解析几何.doc

第3讲 圆锥曲线的综合问题
一、填空题
1. （2015-苏北四市调研）若双曲线方=1@>0）的一条渐近线与圆x 2+（y-2）2= 1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范圉是 ________ ・
+ b ，W4,得 lVeW2.
答案（1, 2]
2 2
2. （2015-广州模拟）已知椭圆訝+話=1内有两点力（1，3）, 5（3, 0）, F 为椭圆上
一点，则PA+PB 的最大值为 __________ ・
解析 在椭圆中，由67 = 5, b=4,得c=3,故焦点为（一3, 0）和（3, 0）,点B 是右焦点，记左焦点为C （一3, 0）,由椭圆的定义得PB+PC=10,所以PA +PB=\0+PA-PC,因为\PA-PC\^AC=59 所以当点 P, A, C 三点共线 时，PA+PB 取得最大值15. 答案15
r 2
3. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点（0,迈）且斜率为k 的直线/与椭圆
有两个不同的交点，则k 的取值范围为 _________ ・
解析 由已知可得直线I 的方程为y=kx+y[2,
与椭圆的方程联立，整理得（*+£）/+2迈也+i=o,
因为直线/与椭圆有两个不同的交点，所以力=8疋一4（*+以）=4疋一2>0,解 得k<—誓或k>% 即£的取值范围为（一8, —（半，+oo ） 答案一朗U 俘,+OO ） 4. 已知双曲线1的左顶点为4，右焦点为局，戶为双曲线右支上一点，
则PAvPF,的最小值为 ________ •
解析 由已知得^1(-1, 0),兄(2, 0).设P(x,叨(xMl),则PA^PF 2 = (-1- x, —y)'(2~x,
解析 双曲线的渐近线方程为y=±bx,则有 |0-2| yjl+b 2 21, 解得胪W3, 则 e 2=l
—y)=4x2—x—5.令/(x)=4x2—%—5,则/(x)在[1, +8)上单调递增，所以当兀=1时，函数沧)取最小值，即刃]•序2取最小值，最小值为-2.
答案一2
2 2
5.(2015-榆林模拟)若双曲线卡—缶=1(。

>0，b>0)与直线y=£x无交点，则离
心率e的取值范围是 _________ ・
解析因为双曲线的渐近线为土务，要使直线y=y[3x与双曲线无交点，则直线
y=yj3x应在两渐近线之间，所以有烹晶即bW収,所以b2^3a29 v<-
即c2^4a2, ,W4,所以lVe?W2.
答案(1，2]
6.(2015•成都模拟)已知椭圆》+*=l(Q>b>0)的离心率为爭过椭圆上一点M
作直线M/, MB分别交椭圆于B两点,且斜率分别为局，若点B 关于原点对称，则低说2的值为_______________________ ・
解析由e2=l—^2=^,得产=亍，设M(x, y), A(m, /?), B( —m,—H),则_y—n y~\~n
_y2—/广厂、
屉x~m兀+加x2—1
把b = /(l—勻，=/(l一尙代入①式并化简，可得k] k2=—^.
答案吕
丫2
7.(2014-福建卷改编)设卩，0分别为圆x2 + (y~6)2=2和椭圆詬+犷=1上的点，
则0两点间的最大距离是____________ •
解析如图所示，设以(0, 6)为圆心，以厂为半径的圆的方程为x2+(y-6)2 =
2
r2(r>0),与椭圆方程話+F=1联立得方程组，消掉/得”2+12)，+/—46
=0.令J=122-4X9(r 2
-46)=0,解得/ = 50,即r=5迄.由题意易知户，Q 两点间的最大距离为尸+迄=6迈.
答案6y[2
8. (2014-湖北卷改编)已知尺，局是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公
共点，且ZF 1PF 2 = |,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
解析 设PF\=门,皿2 =厂2(门＞厂2)，F\F2 = 2c ，椭圆长半轴长为Q1，双曲线实 半轴长为02,椭圆、双曲线的离心率分别为6, e 2,由(2c)2=ri + f2—2r 1 r 2cos
y,得 4c 2 = n+r2—r i r 2.
■•丄+丄=皿/
幺1 幺2 C C
哺詁时,
4^3 即~+~r 的最大值为令目.
6] 6?2 J
答案警 二、解答题
|>1+尸2 = 2。

1，
由］ c l 门—厂2 = 2。

门=Q] +。

2, 得＜ 1厂2 =。

1一。

令心养2竽 =
c n 十厂2—门厂2
4 4
9. 设椭圆E ： 的焦点在x 轴上.
(1) 若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程；
(2) 设尺，E 分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直 线尺尸交夕轴于点0，并HFiP 丄F10.证明：当a 变化时，点P 在某定直线 上. ⑴解 因为焦距为1,且焦点在兀轴上，所以2护_1=*,解得tz 2=|.
故椭圆E 的方程为罟+竽=1.
(2)证明设 F(兀o,刃))，Fi(—c, 0), F2(C , 0), 其中 c=#2/_i.
由题设知xoHc,则直线尺户的斜率"屮=講；.
直线F2P 的斜率旳十. 故直线F 2P 的方程为y =x ^c (x~c).
即点0坐标为(0,
因此，育•线尺0的斜率为kF\Q=-^. c X()
由于 Fi 尸丄Fig,所以 kF\P ・kF\Q=—^ W —= — L
入0 I C C 兀0
化简得 ^O =Xo —(2(72—1),①
将①代入椭圆E 的方程，由于点尸(汕，为)在第一象限. 解得xo=a 2, yo=l —a 2
.即点P 在定育•线x+y=l 上. 10. (2015-天津卷)已知椭圆卡+缶=l(Qb>0)的左焦点为F(—c, 0),离心率为 ¥，点M 在
椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆/+尹2=普截得的线段的 长为c,加=塑・
当x=0卩寸,y= 00
C —XQ
(1)求直线FM的斜率;
⑵求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于迈，求直线OP(O为原点)的斜
率的取值范围.
(1)由已知, 有沁
又由a2=h2+c2f可得a2=3c29 b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0), F(—c, 0), 则直线FM的方程为y=k(x+c)・(kc V /c\2 ⑹ 2
由已知’有〔利丿+0 ,
解得k斗
X2 V2、月
⑵由⑴得椭圆方程为总+±7=1，直线加的方程为夕=晋(x+c)，两个方程联立，消去尹，整理得3x2 + 2cx—5C2=0,
解得x=-jc,或兀=©.因为点M在第一象限，可得M的坐标为卜，晋J.
由FM=yj (c+c) ?+呼=半
丫2 v2
解得c=l,所以椭圆的方程为专+牙=1.
(3)设点P的坐标为(兀，y)f直线〃的斜率为/,
得(=兀*] ‘即尹=心+1)(兀工一1),与椭圆方程联立.
y=t (兀+1)
消去尹，整理得2X2+3^2(X+ 1)2 = 6,
又由已知，得/=^\j 3 (x+ ]) 2>V^，
3
解得一㊁VxV —1,或一1 Vx<0.
设直线OP的斜率为m,得加=三,
•A
即y=〃x （xH0）,与椭圆方程联立,
整理得m 2=p-|.
②当xE(-l, 0)时,有尹=心+1)>0. 因此m<0,于是m — ~
11・已知椭圆的焦点坐标为F|（—1, 0）,尸2（1，0）,过尸2垂直于长轴的直线交椭
圆于P, Q 两点,且PQ=3・
（1） 求椭圆的方程;
（2） 过局的肓:线/与椭圆交于不同的两点M, N,则AFiMN 的内切圆的面积是 否存
在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请 说明理由.
2 2
解（1）设椭圆方程为》+”= 1（Q>b>0）,
由焦点坐标可得c=l.由P0=3,可得-丁=3・
又 cr —tr —X,得 °=2, b=书.
2 2
故椭圆方程为才+牙=1・
（2）T S M （X },门），Ng 力）， 不妨令尹1>0,尹2<0, 设AFiMN 的内切圆的半径R,
①当兀匕（一扌，_1）时, 有尹
=f(x+l)VO,
综上，直线OP 的斜率的取值范围是
狈俘,爭）
/
—OO,
2 2 因此加>0,于是加
则厶F\MN的周长为4o = 8, S 怦=*MN+F\M+F\N)R=4R,
因此要使AF I MN内切圆的面积最犬，则7?最大，此吋加也最大・
S QF问N =尹1尸2也一^21=/-X2，
由题知，直线/的斜率不为零，可设直线/的方程为X = ®+1, x=my+ 1,
ktl* x2 y2得(3〃/+4)b + 6〃矽一9 = 0,
”=1，
— 3〃? + 6寸加'+ 1 — 3/w —6yj m2 +1
ZF1
侍戸=3/+4 ，旳=3加2+4 ，
12yjm2+1 力二3加2+4 ‘
令t=ylm2+h贝ij&l,
1 2A/m
2 +1 12/
12
矶巒片3wj2+4 =W7=3/+j
令/⑴=3七，贝'J/(0 = 3-p,
当(21 时，/(f)>0, 所以如)在［1, +T上单调递增，
12
有/⑴可(1)=4, S
F\MN W 4 _
当t=\, m = 0 时，S］別例=3, 乂S FZ=AR,
•R二
• •八max 牛
9
这时所求内切圆曲积的最人值为U兀.
9
故HFNN内切圆面积的最大值为环，且此时直线I的方程为x=\.。