第四讲S_L问题与分离变量法

( ) ( ) 0,
由自然条件和边界条件得
R(0) , ( ) ( 2 ).
于是得到两个特征值问题
( ) ( ) 0, 0 2 , ( ) ( 2 ), 0 2
（1）
和
2 r R(r ) rR(r ) R(r ) 0, 0 r a, R(0) .
,
有周期条件 u(r, ) u(r, 2 ), 0 r a,0 2 ,
设 u(r, ) R(r )( ), 代到定解问题的方程中，得
r 2 R(r ) rR(r ) ( ) , R( r ) ( )
因此有 r 2 R(r ) rR(r ) R(r ) 0.
典型的斯特姆—刘维尔本征值问题
a 0 b L k 1 q 0
ρ
本征值问题
y" y 0, y (0) y ( L) 0
1
0
L
1
0 0 m2/x
1
y" y 0, y ( x L) y ( x )
-1 1 1-x2 0 b x
2 1 [(1 x ) y' ]'y 0, y(1)
2
m n 记 mn 2 2 ，代入关于T的方程，得： a b
2
2
(t ) c Tmn (t ) 0, Tmn
2 mn 2
其通解为 Tmn (t ) Cmn cos mn ct Dmn sin mn ct 于是得到
umn ( x, y, t ) X mn ( x)Ymn ( y)Tmn (t ),
例：设边界固定, 均匀且柔软的矩形膜, 其 长为 a , 宽为 b ， 作微小横振动, 初始 位移为 ( x, y ) , 初始速度为 ( x, y) . 求此 膜作自由振动的规律 。 设 u u ( x, y, t ) 为膜的位移, 则上述物理问题 可归结为求解下列定解问题：
utt c (uxx u yy ), u ( x, y,0) ( x, y), ut ( x, y,0) ( x, y), u (0, y, t ) u (a, y, t ) 0, u ( x,0, t ) u ( x, b, t ) 0,
2 L

L
0
f ( x) yn ( x)dx
例题2、特征值问题
y" y 0, y ( x 2 ) y ( x )
特征值和征函数 m m , ym exp(imx)
2
正交性

2
0
ym ( x) yn ( x)dx 2 n,m
完备性
f ( x) an yn ( x) an
代入(*)中的边界条件, 得
a0 n f ( ) u(a, ) a (an cos n bn sin n ). 2 n1 ] 上式可以看作 f ( ) 在 [0, 2 上的傅里叶展开式 , 所以
为了应用上的方便, 通常需要把解表示成积分形式
（2）
先求解第一个特征值问题
当 0 时 , 只有零解; 当 0 时, 有非零解
0 ( ) 0，
当 2 , 0时, 特征值问题(1)中方程的通解为
( ) A cos B sin . ( ) ( 2 ), 由周期性条件 n (n 1, 2, ) 得
我们考虑作极坐标变换则边值问题可化为由于圆盘内温度不可能为无限特别圆盘中心温度也一定有限所以有自然条件的有界性推得所以于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期条件的一列非零解根据叠加原理可设满足定解问题中方程的形式解为上的傅里叶展开式所以为了应用上的方便通常需要把解表示成积分形式其中上述公式称为圆域内的泊松公式
典型例题
例题1、特征值问题
y" y 0, y (0) y ( L) 0
2 n 特征函数 n wn , wn L , yn sinwn x
正交性 完备性

L
0
ym ( x ) yn ( x )dx n,m
L 2
f ( x) an yn ( x) an
其中系数 amn Cmn Am Bn , bmn Dmn Am Bn . 下面, 我们利 用初始条件确定系数 amn , bmn 因为
m x n y u( x, y,0) ( x, y) amn sin sin a b n 1 m 1 m x n y ut ( x, y,0) ( x, y) bmn mn c sin sin a b n 1 m 1 n y m x
1 sin2

1 r2
r r 2 r 12 '
r
rr 2r 1 r r 2 '
极坐标下拉普拉斯算符形式的推导
•直角坐标下的形式
2 xx yy
x cos y sin
•坐标变换关系 •微分变换关系
•极坐标下的形式
其中 , 为分离常数, 记 . 从而得到关于 T (t ), X ( x), Y ( y) 的常微分方程
T (t ) c2T (t ) 0, t 0,
X ( x) X ( x) 0, 0 x a,
Y ( y) Y ( y) 0, 0 y b.
故得特征值和对应的特征函数
2 2
n , n ( ) An cos n Bn sin n , n 1,2, .
下面求解第二个特征值问题
第二个特征值问题中的方程是欧拉方程, 当 0 时, 其通解为 R0 (r ) C0 D0 ln r.
2 n (n 1, 2, ) 时, 其通解为 当
其中 n, m 1, 2, .
四、拉普拉斯方程定解问题分离变量法
例：设一半径为 a 的薄圆盘, 上下两面绝 缘, 圆周温度分布已知. 求稳恒状态下圆 盘内的温度分布. 解 ：求温度分布规律, 就是解下列边值问 题
u uxx u yy 0, x y a , 2 2 2 u( x, y) f ( x, y), x y a .
1 2

2
0
f ( x) yn ( x) dx
二、拉普拉斯算符的形式
二维 直角坐标 三维
2 zz
2 xx yy
1 2 1 2
极柱坐标

1 2
2 zz
球坐标
1 sin ' , t 0, 0 x a, 0 y b, 0 y b, t 0, 0 x a, t 0.
解：设
u( x, y, t ) X ( x)Y ( y)T (t ) 0
代入方程得：
T (t ) X ( x) Y ( y ) 2 c T (t ) X ( x) Y ( y )
斯特姆—刘维尔本征值问题
斯特姆—刘维尔型方程
[k ( x ) y ' ]' q( x ) y ( x ) y 0, x [a, b]
其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负；
k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。
斯特姆—刘维尔型边界条件
• 周期性边界条件 • 三类齐次边界条件 • 有界性边界条件

sin 由三角函数
a
sin
在矩形区域 [0, a] [0, b] b
上的正交性, 得
4 a b m x n y amn ( x, y )sin sin dxdy, 0 0 ab a b a b 4 m x n y bmn ( x, y )sin sin dxdy, 0 0 abc mn a b
一、本征值问题
本征值问题
本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值 本征函数：相应的非零解 本征值问题：求本征值和本征函数的问题
斯特姆—刘维尔本征值问题
斯特姆—刘维尔型方程 斯特姆—刘维尔型边界条件
斯特姆—刘维尔本征值问题的性质
可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数； 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交； 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。
x [ xy' ]' m2 y xy 0, y(0) , y(b) 0 x
本征函数系的正交性和完备性
正交性

b
a
2 ym ( x ) yn ( x ) ( x )dx n,m N m
完备性
f ( x) an yn ( x)
展开系数
an
1 2 Nn

b
a
f ( x) yn ( x) ( x)dx
Rn (r ) Cn r Dn r .
n
n
由 R(0)的有界性, 推得 Dn 0(n 0,1,2, ).所以
Rn (r) Cnr , n 0,1,2, ,
n
于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期 条件的一列非零解
un (r, ) Rn (r)n ( ) r n (an cos n bn sin n ),
2 2 2
（*）
由于区域为圆域, 不能直接分离变量。
我们考虑作极坐标变换, 则边值问题可化为
urr r 1ur r 2u 0, r a,0 2 , 0 2 , u(a, ) f ( ),
其中 u(r, ) u(r cos , r sin ), f ( ) f (a cos , a sin ). 由于圆盘内温度不可能为无限, 特别圆盘中心 温度也一定有限, 所以有自然条件 u(0, ) . 又因为在极坐标中 (r , ) 与 (r, 2 ) 表示同一点, 故
由边界条件, 得
X (0) X (a) 0 因此得特征值问题
X ( x) X ( x) 0,0 x a, X (0) X (a) 0.
求得特征值和对应的特征函数为
m x m m , m 1, 2, . , X m ( x) Am sin a a
x cos sin y

1
sin 1 cos
1
2 1 2


2

三、二维区域上波动方程的分离变量法
2
类似地, 我们得到
Y (0) Y (b) 0
以及关于 Y ( y ) 的特征值问题
Y ( y) Y ( y) 0, 0 y b, Y (0) Y (b) 0.
其特征值和对应的特征函数为
n y n n , Yn ( y) Bn sin , n 1, 2, . b b

利用叠加原理, 得到原定解问题的形式解
u ( x, y, t ) umn ( x, y, t ) X m ( x)Yn ( y)Tmn (t )
n 1 m 1

n 1 m 1
m x n y (amn cos mn ct bmn sin mn ct )sin sin a b n 1 m 1
a0 u0 ( r , ) R0 ( r ) 0 ( ) , 2
ref
其中 a0 2C0 A0 , an AnCn , bn BnCn (n 1, 2, ). 根据叠加原理, 可设满足定解问题(*)中方程 的形式解为
a0 n u (r , ) r (an cos n bn sin n ). 2 n 1