高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1_1

2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的简单几何性质，能用椭圆的简单几何性质求椭圆方程.(重点)
2.掌握椭圆离心率的求法及a ，b ，c 的几何意义.(难点)
3.理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念.(易混点
)
[基础·初探]
教材整理 椭圆的简单几何性质
阅读教材P 37观察～P 40例4以上部分，完成下列问题. 1.椭圆的简单几何性质
2.离心率性质
离心率e 的范围是(0,1).e 越接近于1，椭圆越扁；e 越接近于0，椭圆就越接近于圆.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的长轴长等于a .( )
(2)椭圆x 212＋y 24＝1与y 212＋x 2
4＝1有相同的离心率.( )
(3)椭圆的离心率e 越接近于0，椭圆越接近于圆.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√
[小组合作型]
(－10,0)，
则焦点坐标为( )
A.(±13,0)
B.(0，±10)
C.(0，±13)
D.(0，±69)
(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为( ) A.54 B.32
C.
22
D.12
【自主解答】 (1)由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2
－b 2
＝69，故焦点坐标为(0，±69).
(2)设长轴长为2a ，短轴长为2b ，由题意可知a ＝2b ，则c ＝a 2
－b 2
＝3b 2
＝3b ，所以离心率为e ＝c
a ＝
3b 2b ＝32
. 【答案】 (1)D (2)B
已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是2a ，短轴长是2b .
[再练一题]
1.(1)椭圆6x 2
＋y 2
＝6的长轴的顶点坐标是( ) A.(－1,0)，(1,0) B.(－6,0)，(6,0)
C.(－6，0)，(6，0)
D.(0，－6)，(0, 6)
【解析】 椭圆的标准方程为x 2
＋y 2
6＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6).
【答案】 D
(2)已知椭圆x 29＋y 2
m
＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，
离心率及其余的顶点.
【解】 ∵(0,5)是椭圆x 29＋y 2
m
＝1的顶点，
∴m ＝25.
∴椭圆方程为x 29＋y 2
25
＝1，∴a 2＝25，b 2＝9.∴c 2＝a 2－b 2
＝16.
∴长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6，焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e ＝c a ＝4
5
，
其余顶点为(－3,0)，(3,0)，(0，－5).
(1)焦点在x 轴上，a ＝4，e ＝1
2；
(2)焦点在y 轴上，c ＝6，e ＝2
3
；
(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (4)离心率为
3
2
，经过点(2,0). 【导学号：97792016】
【精彩点拨】 本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论.
【自主解答】 (1)由a ＝4，e ＝c a ＝12
知，c ＝2，b 2
＝16－4＝12.
又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)由c ＝6，e ＝23知，a ＝9，b 2
＝81－36＝45.
又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 281＋x 2
45
＝1.
(3)由题意知，a ＝5，c ＝3，b 2
＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x 轴，也可为y 轴，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2
25
＝1.
(4)由e ＝c a ＝
32
， 设a ＝2k ，c ＝3k ，k >0，则b ＝k .
又椭圆经过点(2,0)，当它为短轴顶点时，则b ＝2，a ＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 2
16＝
1.
当点(2,0)为长轴顶点时，a ＝2k ＝2，即k ＝1. 所以椭圆标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意：
讨论：若题目中没有明确焦点的位置，要根据题中条件适当分类，设出对应方程； 减参：设椭圆方程时，根据题中所给条件建立关于a ，b 的关系式，尽量减少待确
定的参数的个数.
[再练一题]
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是45
；
(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为
x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0). 由已知得2a ＝10，a ＝5.
又∵e ＝c a ＝4
5
，∴c ＝4.
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝25－16＝9.
∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2
9
＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0).
如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3，a 2
＝b 2
＋c 2
＝18，
故所求椭圆的方程为x 218＋y 2
9
＝1.
[探究共研型]
探究1 【提示】 (1)把椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a
称为椭圆的离心率.
(2)由e ＝c a 得e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a
2，
∴e ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
.
∴e ＝
1－b 2a
2. 探究2 下列两个椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ 4x 2
＋9y 2
＝36与x 225＋y 2
20
＝1.
【提示】 将椭圆方程4x 2
＋9y 2
＝36化为标准方程x 29＋y 2
4＝1，则a 2＝9，b 2
＝4，所以a
＝3，c ＝a 2
－b 2
＝5，故离心率e ＝53；椭圆x 2
25＋y 2
20
＝1中，a 2＝25，b 2
＝20，则a ＝5，c
＝a 2－b 2
＝5，故离心率e ＝
55
. 由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆.
如图2­1­2所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于
右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2
3
，求椭圆的离心率；
图2­1­2
【精彩点拨】 根据题意，找出关于a 、b 、c 的方程或不等式，结合a 2＝b 2＋c 2
求解. 【自主解答】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .
则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，23b ， 则△MF 1F 2为直角三角形.
在Rt△MF 1F 2中，|F 1F 2|2
＋|MF 2|2
＝|MF 1|2
， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2
.
而|MF 1|＋|MF 2|＝
4c 2
＋49b 2＋23
b ＝2a ，
整理得3c 2
＝3a 2
－2ab . 又c 2
＝a 2
－b 2
，所以3b ＝2a .
所以b 2a 2＝4
9
.
∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59
，
∴e ＝
53
.
求椭圆离心率或其范围的常用方法
1.定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2
，b 2
，求出a ，c 的值，利用公式e ＝c a
直接求解.
2.转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a ，b ，c 满足的关系式，化为关于a ，
c 的齐次方程，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程，即可求得e 的值.
[再练一题]
3.如图2­1­3所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.
图2­1­3
【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
如题图所示，则有F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，
代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝
⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .
又PF 2∥AB ，∴△PF 1F 2∽△AOB . ∴
|PF 1||F 1F 2|＝|AO |
|OB |
， ∴b 22ac ＝b
a
，∴b ＝2c . ∴b 2
＝4c 2
，∴a 2
－c 2
＝4c 2
，∴c 2a 2＝1
5
.
∴e 2＝15，即e ＝
55，所以椭圆的离心率为
55
.
1.椭圆x 2
＋4y 2
＝1的离心率为( ) A.3
2 B.34 C.22
D.23
【解析】 椭圆方程可化为x 2
＋y 2
14＝1，
∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2
＝34
，
∴e 2
＝c 2a 2＝34，∴e ＝3
2
.
【答案】 A
2.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2，则C 的方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
2
＝1 D.x 24＋y 2
3
＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.
又离心率为c a ＝1
2
，
故a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1，故选D.
【答案】 D
3.椭圆x 2
＋4y 2
＝16的短轴长为________. 【解析】 由x 216＋y 2
4＝1可知b ＝2，
∴短轴长2b ＝4. 【答案】 4
4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________.
【导学号：97792017】
【解析】 设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 则2a ＋2c ＝2×2b ， 即a ＋c ＝2b ，
所以(a ＋c )2
＝4b 2
＝4(a 2
－c 2
)， 所以3a 2
－5c 2
＝2ac ，同除a 2
， 整理得5e 2＋2e －3＝0， 所以e ＝3
5或e ＝－1(舍去).
【答案】 3
5
5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1
2，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 【解】 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，
∴e ＝c a ＝4a ＝1
2
，∴a ＝8，
从而b 2
＝a 2
－c 2
＝48，
∴椭圆的标准方程是y 264＋x 2
48
＝1.
(2)由已知⎩⎨
⎧
a ＝2c ，
a －c ＝3，
∴⎩⎨
⎧
a ＝23，c ＝3，
从而b 2
＝9，
∴所求椭圆的标准方程为
x 2
12
＋y 29＝1或x 29＋y 2
12
＝1.。