高中数学 每日一题(4月24日-4月30日)文 新人教A版选修1-1(2021年整理)

2016-2017学年高中数学每日一题（4月24日-4月30日）文新人教A版选修1-1
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4月24日 命题的真假判断
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④
【参考答案】D
【试题解析】只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．故选D ．
【解题必备】（1）给出一个命题，要判定它是真命题,需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
(2）判断命题真假的试题，命题形式较为灵活,可以是定义、定理、公理、公式真假的判断,也可以是基本问题解答正误的判断;对于表面上不是“若p ，则q ”形式的命题，一般需要适当改变它的表述，先找到条件和结论，再进行真假判断．
（3）一般地，数学中的定义、定理、公理、公式都是真命题；判断命题的真假时，一般根据当p 成立时,q 是否成立和当q 成立时，p 是否成立来判断． 1．下列命题是真命题的为 A ．若m n =m n =
B ．若21m =，则1m =
C ．若
11
m n
=，则m n =
D ．若m n ≥，则22m n ≥
2．已知两条不重合的直线m ，n 与两个不重合的平面α,β，若m α⊥，n β⊂,则下列四个命题:①若αβ∥，则m n ⊥;②若m n ⊥,则αβ∥;③若m n ∥，则αβ⊥；④若αβ⊥,则m n ∥，其中正确命题的个数是 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．下列命题中:①若向量a ,b 满足0⋅=a b ，则⊥a b ;②若a b <，则
11
a b
>；③若2b a c =+,则a ，b ，c 成等差数列;④若2b ac =，则a ,b ,c 成等比数列．其中真命题的个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
1．C 【解析】对于A ，若0m n =<，m ，n 故A 不正确；对于B ，若21m =，则1m =±,故B 不正确;对于C,由
11
m n
=，两边同时乘以mn 可得m n =，故C 正确；对于D ，若0n m ≤<,则22m n ≤，故D 不正确．故选C ．
2．C 【解析】对于①，若αβ∥，则m β⊥，因为n β⊂，所以m n ⊥，所以①正确；对于②,由m n ⊥，n β⊂,不能推出m β⊥，所以不能得出αβ∥，②错误；对于③，若m n ∥，则n α⊥，而n β⊂，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以③正确；对于④，若αβ⊥，又m α⊥，
n β⊂，则直线m ，n 的位置关系不能确定，可能平行、相交或异面，④错误．故①③正确．故
选C ．
3．D 【解析】若0⋅=a b ，也可能=0a 或=0b ，此时a 与b 不垂直，故①错误；若0a <，0b >,
则11
a b
<，故②错误；若2b a c =+，则a ，b ，c 成等差数列,③显然正确;若0===c b a ，满足2b ac =，但a ,b ，c 不能构成等比数列，故④错误．综上，真命题的个数为1．故选D ．
4月25日 四种命题及其关系
高考频度：★★★☆☆ 难易程度:★★☆☆☆
给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【参考答案】B
【试题解析】原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数()y f x =的图象不过第四象限,则函数()y f x =是幂函数”，显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．故选B ．
【解题必备】(1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
(2)因为互为逆否的两个命题同真同假，所以当原命题不易直接判断真假时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
(3）解决命题及其相互关系类试题,需要注意：①明确命题的否定与否命题的区别及其格式，命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定；②要正确对条件和结论进行“否定”，尤其是含有不等号的问题，容易误以为“≥”的否定是“≤”导致错解． 1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数" B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 2．已知,x y ∈R ，命题:若
或，则，如果把命题视为原命题，那么原命题、
逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．命题“若，则”的否命题是
A．若，则B．若，则
C．若,则D．若，则
1．B 【解析】依题意得原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．故选B．2．D 【解析】首先可判断原命题为真命题，原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题为真命题，否命题为“若且，则”，其为真命题，逆命题与否命题互为逆否，则逆命题也为真命题．故正确命题的个数为4．故选D．
3．A 【解析】因为否命题是将原命题的条件和结论同时否定，所以命题“若，则"
的否命题是“若，则”，故选A．
4月26日 充分条件与必要条件的判断
高考频度:★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
设平面α与平面γ相交于直线a ,平面β与平面γ相交于直线b ，则“a b ∥”是“αβ∥"的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【参考答案】B
【试题解析】由两个平面相互平行的性质定理知：若αβ∥，则a b ∥;考虑三棱柱的三个侧面，若设三个侧面分别为α，β,γ，则直线a ，b 分别为三棱柱的两条侧棱，此时显然有a b ∥,但平面α，β不平行．故“a b ∥"是“αβ∥"的必要不充分条件．故选B ．
【解题必备】（1）判断充分条件与必要条件的方法有三种：①定义法,寻找条件p ，q 间的推式，即先对命题“若p ,则q "与“若q ，则p ”进行真假判断，再下结论．注意p 是q 的什么条件有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．②集合法，当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关，或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断．③等价法，在判断q ⌝与p ⌝之间的关系时,可由原命题与其逆否命题的等价性，转化为判断p 与q 的关系．
(2）根据对充分条件和必要条件的判断，我们可以得到:①寻求q 的必要条件p ，即以q 为条件推出结论p ;寻求q 的充分条件p ,即求使q 成立的条件p ；②寻求q 的充要条件p 有两种方法：一是从上述两方面入手，得到结论的一致性,即为充要条件；二是将原命题等价转化，获得充要条件．
（3）证明p 是q 的充要条件,不仅要证必要性还要证充分性,缺一不可． 1．如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“sin sin x y ≠"的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．“2x >”是“2320x x -+>成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．祖暅原理:“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ,B 为两个同高的几何体，命题p ：“A ，B 的体积不相等”，命题q ：“A ，B 在等高处的截面积不恒相等",根据祖暅原理可知p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
1．B 【解析】由x y ≠可以得到sin sin x y =，譬如令0x =,2y =π，满足x y ≠，此时sin sin 0x y ==；假设sin sin x y ≠时,x y =，由x y =可得sin sin x y =，矛盾，所以由sin sin x y ≠可得x y ≠,故“x y ≠”是“sin sin x y ≠”的必要不充分条件．故选B ．
2．A 【解析】由2320x x -+>，可得1x <或2x >，所以“2x >”是“1x <或2x >”的充分不必要条件，即“2x >”是“2320x x -+>成立”的充分不必要条件．故选A ．
3．A 【解析】如果几何体A ，B 在等高处的截面积恒相等,则几何体A ，B 的体积相等，因此有p q ⇒；但q p ⇒不一定成立,把两个相同的锥体放在一个平面上,再把其中一个锥体翻转：底向上、顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等,但体积相等,故p 是
q 的充分不必要条件．故选A ．
4月27日 由充分、必要条件求参数的取值范围 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
已知命题实数满足
，命题实数满足方程，且该方
程表示焦点在轴上的椭圆，若是
的必要不充分条件，则实数的取值范围为
______________．
【参考答案】13[,]38
【思路分析】根据命题、分别求出m 的范围，再根据是的必要不充分条件列出关于的不等式组，解不等式组即可． 【试题解析】由，解得
,即命题， 由表示焦点在轴上椭圆可得：
，所以
,即命题．
因为
是
的必要不充分条件,所以是的必要不充分条件,所以，即
，
所以实数的取值范围是13
[,]38
．
【解题必备】（1)根据充要关系求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题转化为最值问题，有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式（组）,然后通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围．
（2）求解参数取值范围时，一定要注意取值区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围时，不等式中的等号是否能够取得决定着端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情况．
1．已知命题:()(3)0p x m x m --->；命题2:340q x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件,则实数
m 的取值范围为
A ．[7,1]-
B ．()(,7,)1-∞-+∞
C ．(][,7,)1-∞-+∞
D ．()7,1-
2．不等式210x ax ++>的解集为R 的必要不充分条件是 A ．22a -≤≤
B ．22a -<<
C ．02a <<
D ．20a -<<
3．已知命题,命题,若是的必要不充分条件，则实数
的取值范围为______________．
1．C 【解析】由题设可得命题:41q x -<<，命题:3p x m >+或x m <，因为p 是q 的必要不充分条件,所以34m +≤-或1m ≥，即7m ≤-或1m ≥，故(]),1,[7m ∈-∞-+∞．故选C ． 2．A 【解析】因为一元二次不等式210x ax ++>的解集为R ，所以240a ∆=-<，即22a -<<，所以不等式210x ax ++>的解集为R 的必要不充分条件是22a -≤≤．故选A ． 3．[9,)+∞ 【解析】由得，所以“":,其中．由
可得
，所以
“
”:
．因为
是
的必要不充分条件,所以集合是集合的真子
集，即
且
（等号不同时成立),结合
解得
，故实数的取值
范围为[9,)+∞．
4月28日 复合命题的真假判断
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
已知命题函数
在区间
上单调递增，命题函数
的定
义域为，若命题“p q ∧"为假，“p q ∨”为真，则实数a 的取值范围为______________． 【参考答案】(,4](1,4)-∞--
【思路分析】二次函数的单调性只需考虑区间和对称轴的位置关系即可；函数
定义域为等价转化为
恒成立，判别式小于即可．
【试题解析】当命题p 为真时：
;当命题q 为真时：
，即
．
因为命题“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，命题,p q 一真一假,
当p 真q 假时，144a a a ≤-⎩
≤-≥⎧⎨或，即4a ≤-；当p 假q 真时，1
44a a >--<<⎧⎨⎩，即14a -<<．
综上,实数a 的取值范围为(,4](1,4)-∞--．
【解题必备】若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：①判断复合命题的结构；②判断构成这个命题的每个简单命题的真假;③对于“或”，见真即真,对于“且",见假即假，对于“非”,真假相反，据此作出判断即可(口诀:①p q ∧→见假即假，②p q ∨→见真即真，③p 与p ⌝→真假相反）．
（2）命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．即命题“若p ，则q "的否定为“若p ，则q ⌝"，而否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．
(3)命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．
1．已知命题p :若||a b >,则22a b >；命题q ：若24x =，则2x =，则下列说法正确的是 A ．“p q ∨”为真命题 B ．“p q ∧"为真命题 C ．“p ⌝”为真命题
D ．“q ⌝”为假命题
2．已知命题p ：若函数||)(2a x x x f -+=是偶函数,则0=a ，命题q ：当0m >时,关于x 的方程
0122=+-x mx 有解．则①q p ∨；②q p ∧；③q p ∧⌝)(;④)()(q p ⌝∨⌝中为真命题的是
A ．②③
B ．②④
C ．③④
D ．①④ 3．设p :方程
有两个不等的实根，q :不等式
在上恒成立,若
p ⌝为真，p q ∨为真，则实数的取值范围为_____________．
1．A 【解析】由题意易得命题p 为真命题,命题q 为假命题，所以“p q ∨”为真命题，故选A ．
2．D 【解析】函数||)(2a x x x f -+=是偶函数()()0f x f x a p ⇒-=⇒=⇒为真命题;当2m =时,4420∆=-⨯<，方程0122=+-x mx 无解,故q 为假命题；故q p ∨，)()(q p ⌝∨⌝为真命题,q p ∧,q p ∧⌝)(为假命题，故选D ．
3．(1,2] 【解析】因为p ⌝为真，p q ∨为真，所以p 假q 真．若p 为假命题，则2
140m ∆=-≤，
；若q 为真命题，则2∆=
，即,所以，故实数
的取值范围为(1,2]．
4月29日 全称命题与特称命题的真假判断
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆
下列命题中是假命题的是 A ．对任意，
B ．对任意，
C ．存在
,使
D ．存在
，使
【参考答案】D
【试题解析】因为函数30x y =>,所以“对任意，
”为真命题；利用导数知识易证当0
x >时，恒成立，所以“对任意，
”为真命题；当01x =时，
202log log 10x ==，所以“存在，使
”为真命题;因为，故“存在，
使
"为假命题，故选D ．
【解题必备】(1）全称命题的真假判断：①要判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证()p x 成立；②要判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 不成立，那么这个全称命题就是假命题．
（2）特称命题的真假判断：①要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈”是真命题，只需找到集合M 中的一个元素0x ，使0()p x 成立即可；②要判定一个特称命题是假命题，需对集合M 中的每一个元素x 验证()p x 不成立．
(3）全称命题真以及特称命题假都需要给予严格的证明，其中常用的方法为反证法，反证法的思想是原命题与逆否命题同真同假． 1．下列说法错误的是
A ．命题“若2320x x -+=,则2x ="的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”
B ．“2a =”是“函数lo ()g a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件
C ．若命题:,21000n p n ∃∈>N ,则:,21000n p n ⌝∀∈>N
D ．命题“(,0],23x x x ∀∈-∞≤"是假命题 2．已知命题;命题
,则下列命题为真命题的是 A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知命题，
．若为真命题，则实数的取值范围为_____________．
1．C 【解析】对于A,命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠,则
2320x x -+≠"，故A 正确;对于B,当1a >时,函数lo ()g a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数，故
B 正确；对于
C ，若命题:,21000n p n ∃∈>N ，则:,21000n p n ⌝∀∈≤N ，故C 错误；对于
D ，根据幂函数图象得“(,0]x ∈-∞时，23x x ≥”，故D 正确．故选C ． 2．D 【解析】因为,所以命题
是假命题，
是真命
题;又由于
恒成立,所以命题是真命题,所以由复合
命题真假判别表可知
是真命题，故选D ．
3．(,1)-∞- 【解析】根据题意，不等式在上恒成立，则
,所以
，
所以实数的取值范围为(,1)-∞-．
4月30日 含有一个量词的命题的否定
高考频度：★★★☆☆ 难易程度:★★☆☆☆
命题“，都有”的否定为
A ．不存在，使得
B ．
，都有
C ．
，使得
D ．
,使得
【参考答案】D
【试题解析】全称命题的否定为特称命题,故命题“,都有
”的否定为“
，使
得
”，故选D ．
【解题必备】（1）一般地,写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．
（2）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
注意:命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 1．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为
A ．2
0000,0x x x ∃≤+≤
B ．2
0000,0x x x ∃>+≤
C ．20,0x x x ∀>+≤
D ．20,0x x x ∀≤+>
2．已知命题:,
，则
为 A ． B ．
C ．
D ．
3．已知命题32
:(1,),log (2)02
x p x x ∀∈+∞+-
>，则下列叙述正确的是
A ．p ⌝：32
(1,),log (2)02x
x x ∀∈+∞+-≤ B ．p ⌝:0
0302
(1,),log (2)02x x x ∃∈+∞+-< C ．p ⌝：0
0302
(,1],log (2)02x x x ∃∈-∞+-
≤ D ．p ⌝是假命题
1．B 【解析】命题“0x ∀>,20x x +>”的否定是“2
0000,0x x x ∃>+≤”．故选B ．
2．B 【解析】对于特称命题的否定，只需将特称量词改为全称量词，再将结论否定即可．将存在改为任意，将
改为
．故选B ．
【名师点睛】对于全（特）称命题,在写出其否定时，都要从两个方面进行：①对量词或量词符号进行改写;②对命题的结论进行否定,两者缺一不可．要搞清命题的否定与否命题的区别,命题的否定是否定这个命题的结论,而否命题是否定条件当条件,否定结论当结论． 3．D 【解析】易得p ⌝：00302(1,),log (2)02x x x ∃∈+∞+-
≤，又函数32
()log (2)2x
f x x =+-在(1,)+∞上是增函数，所以(f 故p ⌝是假命题．故选。