法向量的求解与简单应用

法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n 是平面的法向量，向量m 是与平面平行或在平面内，则有0m n ⋅=．
•第一步：写出平面内两个不平行的向()()111222a x y z b x y z ==，
，，，，； •第二步：那么平面法向量()n x y z =，，，满足1112
220000xx yy zz n a xx yy zz n b ⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨
++=⋅=⎩⎪⎩． （2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b
．
若a ∥b
，即a b λ=，则a b ∥； 若a b ⊥，即0a b ⋅=，则a b ⊥．
②直线与平面的位置关系： 直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n
，且l α⊥．
若a ∥n ，即a n λ=，则l α⊥； 若a n ⊥，即0a n ⋅=，则α∥a
．
（3）平面与平面的位置关系：平面α的法向量为1n
，平面β的法向量为2n ．
若1n ∥2n ，即21n n λ=，则βα∥； 若1n ⊥2n ，即021=⋅n n
，则α⊥β．
利用空间向量证明垂直平行
1.设平面α内两个向量的坐标分别为(121)a =，
，，(112)b =-，，，则下列向量中是平面的法向量的是( )
典例2 如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为60°.
(1)求线段AC1的长;
(2)求与夹角的余弦值.
2.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
3.如图正方形ABCD的边长为22，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O 为GC的中点，FO＝3，且FO⊥平面ABCD.
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF.
4.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.
5.如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面
AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，6.如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1 BC,
二面角A1-AB-C是直二面角.求证:
(1)A1B1⊥平面AA1C;
(2)AB1∥平面A1C1C.
7.如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,点P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使BE∥平面PAC?若存在,求出SE∶EC的值;若不存在,请说明理由.。