2016秋数学人教A版必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
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第二章 平面向量
3.如图，O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则O→D＝ ________． 解析：因为B→A＝C→D，B→A＝O→A－O→B，C→D＝O→D－O→C，所以O→D －O→C＝O→A－O→B，O→D＝O→A－O→B＋O→C，所以O→D＝a－b＋c. 答案：a－b＋c
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第二章 平面向量
向量减法运算的常用方法
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第二章 平面向量
1.化简：(1)O→A－O→D＋A→D； (2)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A. 解：(1)法一：O→A－O→D＋A→D＝D→A＋A→D＝0. 法二：O→A－O→D＋A→D＝O→A＋A→D－O→D＝O→D－O→D＝0.
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第二章 平面向量
2．非零向量 m 与 n 是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n
B．m＝－n
C．|m|＝|n|
D．m 与 n 方向相反
答案：A
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第二章 平面向量
3．在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的是( ) A．A→B－D→C＝0 B．A→D－B→A＝A→C C．A→B－A→D＝B→D D．A→D＋C→B＝0 答案：C 4．已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，则|A→B－A→D|＝ ________． 答案： 2
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பைடு நூலகம்
第二章 平面向量
探究点三 用已知向量表示其他向量 如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形， 点 B 是该平行四边形外一点，且A→B＝a，A→C＝b， A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量C→D，B→C，B→D. [解] 因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以C→D＝A→E＝c，B→C ＝A→C－A→B＝b－a， 故B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
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第二章 平面向量
2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向 量的__相__反__向__量___． (2)几何意义：已知 a，b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 可以表示为____从__向__量__b_的__终_点_____ 指向______向__量__a_的__终__点____的向量．
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第二章 平面向量
本例中的条件“点 B 是该平行四边形外一点”若 换为“点 B 是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论 又如何呢？ 解：如图，因为四边形 ACDE 是平行四边形， 所以C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
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第二章 平面向量
法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M＝A→B＋0 ＝A→B. (2)法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
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第二章 平面向量
求两向量的差向量，关键是把两向量平移到首首相接的位置， 然后利用向量减法的三角形法则来运算． 平移作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”.
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第二章 平面向量
2.如图，已知向量 a，b，c，求作向 量 a－b－c. 解：在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，O→B＝b，则向量 a－ b＝B→A，再作向量B→C＝c，则向量C→A＝a－b－c.
第二章 平面向量
探究点二 已知向量作差向量 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作 向量 a＋b－c. [解] 法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c，连接 BC，则C→B＝b－c.过点 A 作 AD 綊 BC，连接 OD，则A→D＝b－c，所以O→D＝O→A＋A→D＝a＋b－c.
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(2)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A ＝A→B＋D→A＋B→D＋C→B＋A→C ＝(A→B＋B→D)＋(A→C＋C→B)＋D→A ＝A→D＋A→B＋D→A ＝A→D＋D→A＋A→B ＝0＋A→B＝A→B.
第二章 平面向量
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第二章 平面向量
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
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第二章 平面向量
1. 理 解 相 反 向 量 的 含 义 ， 向 量 减 法 的 定 义 及 减 法 法 则． 2.掌握向量减法的几何意义． 3．能熟练地进行向量的加、减运算．
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第二章 平面向量
1．相反向量 (1)定义：与 a 长度____相__等_____，方向____相__反_____的向量，记 作_____－__a____，并且规定，零向量的相反向量是____零__向_量____． (2)结论 ①－(－a)＝______a_____，a＋(－a)＝(－a)＋a＝______0_____． ②若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝_____－__b____，b＝_____－__a____， a＋b＝_____0_____．
第二章 平面向量
1．在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则A→D－A→C等于( )
A．C→B
B．B→C
C．C→D
D．D→C
解析：选 C.在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，则由两个向量的 减法的几何意义可得A→D－A→C＝C→D.
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第二章 平面向量
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第二章 平面向量
用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠 道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结 合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
2．下列四式中不能化简为A→D的是( ) A．(A→B＋C→D)＋B→C B．(A→D＋M→B)＋(B→C＋C→M) C．O→C－O→A＋C→D D．M→B＋A→D－B→M 解析：选 D.对于 A，有A→B＋B→C＋C→D＝A→D；对于 B，有A→D＋ (M→B＋B→C)＋C→M＝A→D＋(M→C＋C→M)＝A→D；对于 C，有(O→C－O→A) ＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D；只有 D 无法化简为A→D.
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第二章 平面向量
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义， －A→B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于 加上这个向量的相反向量，即 a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量 的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断， 防止混淆．
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第二章 平面向量
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于 0.( ) (2)两个相反向量之差等于 0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
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第二章 平面向量
法二：如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，连接 OB，则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，连接 CB，则C→B＝a＋b－c. 法三：如图③，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，连接 OB，则O→B＝a＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a＋b－c.
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第二章 平面向量
3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝ a，A→D＝b，则两条对角线表示的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a， D→B＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记 住．
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第二章 平面向量
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第二章 平面向量
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第二章 平面向量
3．若 a，b 为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________， |a－b|＝________． 解析：若 a，b 为相反向量，则 a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又 a ＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为 a 与－b 共线，所以|a－b|＝ 2. 答案：0 2
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第二章 平面向量
探究点一 向量的减法运算 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C. [解] (1)法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M ＋M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
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第二章 平面向量
3.如图，O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则O→D＝ ________． 解析：因为B→A＝C→D，B→A＝O→A－O→B，C→D＝O→D－O→C，所以O→D －O→C＝O→A－O→B，O→D＝O→A－O→B＋O→C，所以O→D＝a－b＋c. 答案：a－b＋c
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第二章 平面向量
向量减法运算的常用方法
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第二章 平面向量
1.化简：(1)O→A－O→D＋A→D； (2)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A. 解：(1)法一：O→A－O→D＋A→D＝D→A＋A→D＝0. 法二：O→A－O→D＋A→D＝O→A＋A→D－O→D＝O→D－O→D＝0.
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第二章 平面向量
2．非零向量 m 与 n 是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n
B．m＝－n
C．|m|＝|n|
D．m 与 n 方向相反
答案：A
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第二章 平面向量
3．在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的是( ) A．A→B－D→C＝0 B．A→D－B→A＝A→C C．A→B－A→D＝B→D D．A→D＋C→B＝0 答案：C 4．已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，则|A→B－A→D|＝ ________． 答案： 2
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第二章 平面向量
探究点三 用已知向量表示其他向量 如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形， 点 B 是该平行四边形外一点，且A→B＝a，A→C＝b， A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量C→D，B→C，B→D. [解] 因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以C→D＝A→E＝c，B→C ＝A→C－A→B＝b－a， 故B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
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第二章 平面向量
2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向 量的__相__反__向__量___． (2)几何意义：已知 a，b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 可以表示为____从__向__量__b_的__终_点_____ 指向______向__量__a_的__终__点____的向量．
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第二章 平面向量
本例中的条件“点 B 是该平行四边形外一点”若 换为“点 B 是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论 又如何呢？ 解：如图，因为四边形 ACDE 是平行四边形， 所以C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
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第二章 平面向量
法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M＝A→B＋0 ＝A→B. (2)法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
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第二章 平面向量
求两向量的差向量，关键是把两向量平移到首首相接的位置， 然后利用向量减法的三角形法则来运算． 平移作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”.
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第二章 平面向量
2.如图，已知向量 a，b，c，求作向 量 a－b－c. 解：在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，O→B＝b，则向量 a－ b＝B→A，再作向量B→C＝c，则向量C→A＝a－b－c.
第二章 平面向量
探究点二 已知向量作差向量 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作 向量 a＋b－c. [解] 法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c，连接 BC，则C→B＝b－c.过点 A 作 AD 綊 BC，连接 OD，则A→D＝b－c，所以O→D＝O→A＋A→D＝a＋b－c.
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(2)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A ＝A→B＋D→A＋B→D＋C→B＋A→C ＝(A→B＋B→D)＋(A→C＋C→B)＋D→A ＝A→D＋A→B＋D→A ＝A→D＋D→A＋A→B ＝0＋A→B＝A→B.
第二章 平面向量
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第二章 平面向量
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
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第二章 平面向量
1. 理 解 相 反 向 量 的 含 义 ， 向 量 减 法 的 定 义 及 减 法 法 则． 2.掌握向量减法的几何意义． 3．能熟练地进行向量的加、减运算．
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第二章 平面向量
1．相反向量 (1)定义：与 a 长度____相__等_____，方向____相__反_____的向量，记 作_____－__a____，并且规定，零向量的相反向量是____零__向_量____． (2)结论 ①－(－a)＝______a_____，a＋(－a)＝(－a)＋a＝______0_____． ②若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝_____－__b____，b＝_____－__a____， a＋b＝_____0_____．
第二章 平面向量
1．在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则A→D－A→C等于( )
A．C→B
B．B→C
C．C→D
D．D→C
解析：选 C.在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，则由两个向量的 减法的几何意义可得A→D－A→C＝C→D.
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第二章 平面向量
用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠 道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结 合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
2．下列四式中不能化简为A→D的是( ) A．(A→B＋C→D)＋B→C B．(A→D＋M→B)＋(B→C＋C→M) C．O→C－O→A＋C→D D．M→B＋A→D－B→M 解析：选 D.对于 A，有A→B＋B→C＋C→D＝A→D；对于 B，有A→D＋ (M→B＋B→C)＋C→M＝A→D＋(M→C＋C→M)＝A→D；对于 C，有(O→C－O→A) ＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D；只有 D 无法化简为A→D.
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第二章 平面向量
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义， －A→B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于 加上这个向量的相反向量，即 a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量 的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断， 防止混淆．
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第二章 平面向量
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于 0.( ) (2)两个相反向量之差等于 0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
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第二章 平面向量
法二：如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，连接 OB，则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，连接 CB，则C→B＝a＋b－c. 法三：如图③，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，连接 OB，则O→B＝a＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a＋b－c.
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3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝ a，A→D＝b，则两条对角线表示的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a， D→B＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记 住．
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3．若 a，b 为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________， |a－b|＝________． 解析：若 a，b 为相反向量，则 a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又 a ＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为 a 与－b 共线，所以|a－b|＝ 2. 答案：0 2
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第二章 平面向量
探究点一 向量的减法运算 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C. [解] (1)法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M ＋M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.