2018年高考数学热门考点与解题技巧考点2函数的概念定义域值域

考点2 函数的概念、定义域、值域
热门题型
题型1 函数与映射的概念 题型2 求函数的解析式
题型3 求函数的定义域 题型4 求函数的值域
题型1 函数与映射的概念
例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？ ①A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A ＝{x|x≥0}，B ＝R ，f ：x→y，y 2
＝4x. ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x→y＝1
x
2.
④A ＝{x|x 是平面α内的矩形}，B ＝{y|y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．
【解题技巧】判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射.
变式1. （2015浙江理7） 存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（ ）． A. (sin 2)sin f x x = B. 2
(sin 2)f x x x =+ C. 2
(1)1f x x +=+ D. 2
(2)1f x x x +=+ 解析 本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值. 对A ，取sin 20x =，则当0x =时，()00f =；当π
2
x =
时，()01f =.所以A 错； 同理B 错；对C ，取1x =±，()22f =且()20f =，所以C 错.故选D.
题型2 求函数的解析式 例2 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sinx)＝cos 2
x ，求f(x)的解析式； (2) 已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求f(x)的解析式； (4) 已知函数()x f 满足：()x x f x f 312=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+()0≠x ,求函数()x f 的解析式.
（5）已知函()()()()
2021,,10x x f x x g x x ⎧≥⎪=-=⎨-≤⎪⎩求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 的表达式. 解法一（换元法）：令
1+x =t （1≥t ），则
,1-=t x 得)1()1(2≥-=t t x ，所以
2)1()(-=t t f ()11)1(22≥-=-+t t t ，即()().112≥-=x x x f
解法二(配凑法）：(
)(
)
1112
-+=
+x x f
,即)(x f ().112≥-=x x
（3）(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， ∴3[a(x ＋1)＋b]－2[a(x －1)＋b]＝2x ＋17.
即ax ＋(5a ＋b)＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x ＋7.
（4）分析 本题中除了所要求取的()x f 形式，同时还存在另个形式⎪⎭
⎫
⎝⎛x f 1，应通过方程消元的思想，消去
⎪⎭
⎫
⎝⎛x f 1的形式，故只需寻求另一个关于()x f 和⎪⎭
⎫
⎝⎛x f 1的等量关系式即可. 解析 由()x x f x f 312=⎪⎭
⎫
⎝⎛+，① 以
1
x
代替x 得到()132f f x x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，②
由①②联立，求得()()2
0.f x x x x
=
-≠ （5）分析 本题考查分段函数的概念，根据函数对复合变量的要求解题.
解析 由()()()2010x x g x x ⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩可得()()()()
221021,30x x f g x g x x ⎧-≥⎪=-=⎡⎤⎨⎣⎦-<⎪⎩当()21,f x x o =-≥ 即12x ≥
时,()()2
21g f x x =-⎡⎤⎣⎦ ;当()0,f x <即12
x < 时,g () 1.g f x =-⎡⎤⎣⎦ 因此()()21212.132x x g f x x ⎧⎛
⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎡⎤⎨
⎣⎦⎛⎫
⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
【解题技巧】求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法.若易换元后求出x ，用换元法. 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t 范围的限制.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. 若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f x ϕ⎡⎤⎣⎦
（如()0a f a x ⎛⎫
≠ ⎪⎝⎭
或()f a x - 等）时，可用()x ϕ 代替两边所有的x ,得到关于()f x 与()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的另一个方程组,解方程程组即可求出()f x 的解析式，常称这种方法为方程组法. （4）求函数解析式要注意定义域
（5）对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求. 变式1. 已知函数()x f 满足⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
x x f 122
1x x +=,则()x f 的表达式为________.
变式2. 已知实数a ≠0函数(),1
,2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩
若()()11,f a f a -=+ 则a 的值为______.
解析 当a >0时,1-a <1.1+a >1.得()()2112a a a a -+=--- 解得3
2
a =-
.（不符，故舍去）； 当a <0时,1-a >1,1+a <1 ,得2(1+a )+a =-(1-a )-2a ．解得34a =-.综上,3
4
a =- .
变式3.（2015全国II 理5）设函数()()211
1log 2,1
2,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩，则()()22log 12f f -+=（ ）
A.3
B.6
C.9
D.12 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2
222212log log 121
log 12log 2
log 62
2(log 12)2
2
2
26f --=====，
所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C.
题型 3 求函数的定义域 例3 函数()2
ln 134
x y x x +=
--+的定义域为（ ）．
A.(-4,-1)
B.(-4,1)
C.(-1,1)
D.(-1,1] 分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
【解题技巧】对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式.
变式1.（2016江苏5）函数232y x x =--的定义域是 . 解析 由题意得2
320x x --，解得3
1x -，因此定义域为[]3,1-.
例4 (1)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(2x －1)的定义域． (2)若函数f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域．
(3)已知函数y ＝f(2x ＋1)的定义域为[1，2]，求函数y ＝f(2x －1)的定义域． 【解析】 (1)由0≤2x－1≤1，得1
2≤x ≤1，
∴函数f(2x －1)的定义域为[1
2
，1]．
(3)因为函数y ＝f(2x ＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，所以函数y ＝f(x)的定义域为[3，5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y ＝f(2x －1)的定义域为[2，3]． 【解题技巧】抽象函数定义域的求法
(1)若已知y ＝f(x)的定义域为[a ，b]，则y ＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出． (2)若已知y ＝f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则y ＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．
变式 1.（2017全国I 理5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足
21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）
A ．[2,2]-
B ． [1,1]-
C ． [0,4]
D ． [1,3]
【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ．
题型4 求函数的值域 1．直接法
对于常见的基本初等函数，可以根据其性质直接求出其函数的值域． 一次函数y kx b =+的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数(0)k
y k x
=
≠的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|0}y y ≠； 二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的定义域为R ，当0a >时，值域为2
4{|}4ac b y y a -≥
；当0a <时，值域为2
4{|}4ac b y y a
-≤
． 【例1】（1）已知函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-,则该函数的值域为________． （2）求函数2()21,[0,2]f x x ax x =--∈的最大值和最小值．
【解析】（1）2(1)4y x =-+，因为12x -≤≤． 所以当1x =-时，max 8y =；当1x =时，min 4y =． 所以所给函数的值域为[4,8]．
（2）22()()1f x x a a =---，对称轴为x a =．
综上所述，当0a <时，min ()1f x =-，max ()34f x a =-； 当0≤a ＜1时，2min ()1f x a =--，max ()34f x a =-； 当1≤a ≤2时，2min ()1f x a =--，max ()1f x =-；
当2a >时，min ()34f x a =-，min ()(2)34f x f a ==-，max ()(0)1f x f ==-． 【评注】二次函数
2y ax bx c
=++在闭区间],[n m 上的值域要同时考虑最大值和最小值，一般是通过讨论对称
轴与区间的左右位置关系，来确定函数在区间上的大致图像，结合图像寻找函数的最高点与最低点，进一步确定最大值和最小值，一般需要分四种情况讨论，即;2m a b ≤-
;22n m a b m +≤-<;22n a b n m ≤-<+n a b
>-2
2．单调性法
【例2】已知函数1-+
=x x y ，则该函数的值域是 ．
【解析】此函数的定义域为),1[+∞，且是增函数，当1=x 时，1min =y ，函数的值域为[)+∞,1．
【评注】函数解析式中的每个部分的函数在同一区间上同增同减，这个时候可以利用单调性求函数的值域．
【变式】已知函数2352y x x =-+-，则该函数的值域是 ． 【解析】函数在其定义域5(,]2
-∞上是减函数，∴当52
x =时，min 112y =-
．故所求函数的值域是11,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
．
3．分离常数法 【例3】求函数51
1
x y x -=+的值域． 【解析】515(1)66
55111
x x y x x x -+-=
==-≠+++，值域为{|5}y y ≠． 【评注】形如)0(≠++=c d cx b ax y 可用分离常数法求值域，值域是}|{c a y y ≠；d
c b a y x
x ++=或b x a
x y ++=sin sin 的函数可用分离常数法求值域．对于分子、分母均为二次式的分式函数求值域，也常用分离常数法，将分子降次为一次式后求解．若函数化为反比例型函数(0)k
y a k x
=+≠，由于0k x
≠，则直接知y a ≠．
【变式】已知函数2231
1
x y x -=+，则该函数的值域为 ．
【解析】222
3(1)44311
x y x x +-==-++，∵2
2411041x x +≥⇒<≤+，∴值域是[1,3)-．
4．换元法
【例4】已知函数2y x x =+-，则该函数的值域是________．
5．三角换元法
【例5】已知函数234x x y -+=，则该函数的的值域是 ． 【解析】243y x x =-2433x x =-， 可设αsin 3
2=x ，[,]22ππ
α∈-，∴2433
x α-，∴232cos 3)3
y ααα=+=
+)3sin(334π
α+=， ∵56
3
6
π
π
π
α-
≤+
≤
，∴所给函数的值域为2343[]．
【评注】对于被开方数含有平方的模式，可以利用三角函数知识进行三角换元，换元的目的是让式子中的根号去掉，简化式子，方便求解范围，常见的是利用平方关系换元， 其中换元后α的范围的限定要以不影
响x 的取值，运算方便为原则．
【变式】已知函数21y x x =+-则该函数的值域是 ．
【解析】设αcos =x []πα,0,∈，则)4
sin(2cos sin π
ααα+=+=y ，
∵454
4
,0ππ
απ
πα≤
+
≤∴≤≤,∴1)4
sin(22≤+≤-π
α，即值域为[1,2]-．
6．有界性法
【例6】求函数2
2
11x y x -=+的值域．
【解析】由2
2
11x y x
-=+，得211y x y -=+．∵02≥x ，∴011≥+-y y ．∴11≤<-y ，即函数值域为(－1,1]． 【评注】在式中只．
出现2x 或x a 或sin x 或cos x 型，可以反解出x ，即用含y 的表达式来表述出2x 或x a 或sin x 或cos x 等，然后利用其范围得到关于y 的不等式，通过解不等式得到求其值域
【变式】已知函数2sin 3
sin 2
x y x -=+；则该函数的值域是 ．
【解析】由2sin 3sin 2x y x -=+，得32sin 2y x y +=-．∵1|sin |≤x ，∴3212y y +≤-．∴153y -≤≤-．即函数值域为1
[5,]3
--．
7．平方法
【例7】已知函数
13y x x =-++的最大值为M ,最小值为m ,则m
M 的值为 ．
【评注】注意根式的结构特征，平方后根式外边的x 能抵消，根号里是一个二次函数，可用二次函数求出最值，或由
(1)(3)x x -+用均值不等式求最大值，典型特征是两个根式被开方数之和为定值，如
134x x -++=．
【变式1】已知函数11y x x =+-则该函数的值域为________．
【解析】易知11≤≤-x ，∴22221[2,4]y x =+-，又0y ≥，故函数的值域是]2,2[．
8．判别式法
【例8】求函数2222
1
x x y x x -+=++的值域．
【评注】原分式函数定义域是全体实数，即对任何实数x 都是等式成立，等价于一元二次方程总有两个实数解，只需要判别式为非负数即可；特别应注意的是，关于x 的方程2(1)(1)20y x y x y -+-++=是类二次方程，只有一元二次方程在实数范围内有解，才能使用判别式，这就是判别式法的基本原理． 【变式】已知函数432
+=
x x
y ，
则该函数的值域 ． 【解析】：
22
33404x
y yx x y x =
⇔-+=+．
若20,340y yx x y ≠-+=有两个实数解，2
9160y ∆=-≥，解得33
44
y -
≤≤且0.y ≠ 若0,y =230.4
x
y x ==+0x =，符合题意 ∴函数432
+=x x y 的值域是]43,43[-。

9．基本不等式法
【例9】（1）求函数11y x x
=++(0)x ≠的值域． （2）若正数,x y 满足1x y +=，则49
x
y
+
的取值范围是 ． 【解析】（1）由11y x x
=++)0(≠x ，得1
1y x x
-=+．∵11
||||||2x x x x
+=+≥，
∴12y -≥，即1y ≤-或3y ≥． ∴所求函数的值域为),3[]1,(+∞--∞ ．
（2）由1x y +=，49494949()()4913225y x y x x y x y x y x y x y +=++=+++≥+⋅=，当且仅当25x =，35
y =时取等号．
【评注】在求值域时若在式中出现x
x 1
+
这种类型或可化成这种类型的题目就可以用基本不等式求解．利用基本不等式求解要做到：一正，二定，三相等． 【变式1】已知函数)1)(51
1
(log 2>+-+
=x x x y ，则该函数的最小值为
( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 【解析】11
5(1)611
x x x x +
+=-++--12(1)681x x ≥-⋅
+=-， 当且仅当1
1
1-=-x x 即2=x 时取“＝”号．∴221log (5)log 831y x x =++≥=-,选B ．
10．分段讨论法
【例10】已知函数|3||1|)(-+-=x x x f ，则该函数的值域为 ．
图1
y=-2x+4
y=2x-4
Y
X
4
O
2
3
1
【变式】已知函数=)(x f 2x x +-，则该函数的值域是 ．
【解析】22,0
()2,222,2x x f x x x x -+≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
０ 画出函数图象 ，可得值域为[2, )∞．
11．导数法
【例11】已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 的方程为3x －y ＋1＝0，在点x ＝2
3
处y ＝f (x )取得极值．
(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值和最小值．
【解析】(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ． 由f ′(1)＝3，可得2a ＋b ＝0．① 由f ′（2
3）＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0．②
由①②，解得a ＝2，b ＝－4．
由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4，即1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5．
(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，则f ′(x )＝3x 2
＋4x －4．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：
所以y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值为13，最小值为95
27
．
【评注】求函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤：（1）求函数在(,)a b 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值()f a ，()f b ；（3）将函数()f x 的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【高考真题链接】
1. (2013陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x y ，，有（ ）.
A. [][]x x -=-
B. [][]22x x =4
C. [][][]x y x y ++≤
D. [][][]x y x y --≤ 2. （2014 湖北理14）设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点
()()()(),,,a f a b f b 的直线与x 轴的交点(),0c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f
M a b ，
例如，当()()10f x x =>时，可得(),2
f a b
M a b c +==
，即(),f M a b 为b a ,的算术平均数. 当()()_____0f x x =>时，(),f M a b 为b a ,的几何平均数； 当()()_____0f x x =>时，(),f M a b 为b a ,的调和平均数b
a ab
+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
3. （2014 陕西理 10）如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点
A 的水平距离10千米处
下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）.
O -5
5
2
-2
A
地面隧道
x
y
A.
3131255y x x =
- B. 3241255y x x =- C. 33125y x x =- D.
3311255y x x =-+ 5.（2016上海理5）已知点
()
3,9在函数
()1x
f x a =+的图像上，则
()
f x 的反函数
()1f x -=
.
6. （2013江西理2）函数y =
x ln(1)x -的定义域为（ ）.
A ．(0,1)
B ．[0,1)
C ．(0,1]
D ．[0,1]
7.（2013江苏理11）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x
x f >)(的解集用区间表示为 .
8.（2014 江西理 2） 函数()()
2
ln f x x x =-的定义域为（ ）.
A.()0,1
B.[]0,1
C.()(),01,-∞+∞
D. (][),01,-∞+∞
8.（2014 江西理 3）已知函数
()5x
f x =，()2
g x ax x =-()a ∈R ，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ）.
A.1
B. 2
C.3
D. 1- 9.（2014 山东理3）函数()()
2
2log 1
f x x =
-的定义域为( ).
A.102⎛⎫
⎪⎝⎭
， B.()2+∞， C.()102,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D.[)1
022⎛⎤
+∞ ⎥⎝⎦
，，
7.（2016江苏5）函数232y x x =--的定义域是 .
[]3,1- 解析 由题意得2
320x x
--，解得3
1x -，因此定义域为[]3,1-.
8.（2014 重庆理 12）函数()()22
log log
2f x x x =⋅的最小值为_________.
9. (2013重庆理3）
()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）.
A. 9
B.
92 C. 3 D. 322
10.（2015福建理14）若函数()6,2
3log ,2a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩
（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞，
则实数a 的取值范围是 ．
11.（2015浙江理10）已知函数223,1
()lg(1),1x x f x x
x x ⎧
+-⎪=⎨⎪+<⎩
，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 解析 利用分段函数表达式，逐步求值. 2
((3))(lg10)(1)1301
f f f f -===+-=. 当1x 时，min ()2230f x =<；当1x <时，()min ()00f x f ==. 综上，min ()223f x =，所以((3))0f f -=，min ()223f x =.
12（2015重庆理16）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 解析 当1a >-时，端点值为a ，1-． （1）当1x
-时，()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；
（2）当1x a -<<时，()()1221
f x x a x x a =++-=-++；
（3）当x a 时，()()12321f x x x a x a =++-=-+；
如图所示：
-1
a
由图易知：
()min 15
f a a =+=，解得6a =-（舍）或4=a ，所以4a =．
当1a <- 时，端点值为,1a - . （1）当x
a 时，()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；
（2）当1a x <<-时，()12()21f x x x a x a =--+-=--； （3）当1x
- 时，()()12321f x x x a x a =++-=-+；
如图所示：
a
-1
由图易知：
()min 15f a a =+= ，解得4=a （舍）或6a =-，即6a =-.
当1a =-时，
()31
f x x =+，
()()min 10
f x f =-=，与题意不符，舍.
综上所述：6a =-或4.
13.（2016北京理14）设函数()33,2,x x x a
f x x x a
⎧-=⎨->⎩.
（1）若0a =，则()f x 的最大值为________；（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________.
由图可知：
（1）若0a =， ()()max 12f x f =-=； （2）当1a
-时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时， 2x -在x a >时无最大值，
且()
3
max
23a x x
->-，所以1a <-，即a 的取值范围是(),1-∞-.
14.（2016浙江理18）已知3a
，函数{}2()min 21,242F x x x ax a =--+-，其中
{}min ,>p,p q,
p q q,p q.
⎧=⎨
⎩ （1）求使得等式2
()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；
（2）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .
（2）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以由
()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，当()()1f g a ≤时，解得322a ≤≤；
当()()1f g a >
时，解得2a >即(
)20,322
42,2a m a a a a ⎧+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii ）当
02x 时，()()21
F x f x x ==-，所以()F x 在0x =或2x =时取得最大值为
()()022F F ==；
当2
6x 时，()()()2
2224242F x g x x ax a x a a a ==-+-=--+-，
所以()F x 在两端点2x =或6x =时取得最大值. ()22F =，()6348F a =-， 所以当34a <≤时，有()()26F F <； 当4a ≥时，有()()26F F ≥，所以()348,34
2,4
a a a a M -<⎧=⎨
⎩.。