苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第七章 计数原理 7.3 第1课时 组合、组合数公式

7.3 组合
第1课时组合、组合数公式
A级必备知识基础练
1.(天津河西高二期中)学校要求学生从物理、历史、化学、生物学、思想政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,不同的选法种数为( )
A.5
B.12
C.20
D.120
2.某新农村社区共包括n个自然村,假设这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在同一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=( )
A.6
B.8
C.9
D.10
3.(湖北鄂东南教改联盟高二期中)某中学招聘5位老师,其中安排2位老师去高一,安排2位老师去高二,安排1位老师去高三,则不同的安排方法有( )
A.30种
B.60种
C.90种
D.120种
4.(陕西渭南高三联考)甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且
每组去的地方不同.已知甲不想去云南丽江,乙只想去广西桂林,其余4人这4个地方都想去,则符合他们心意的分组旅行的方案种数为( )
A.24
B.30
C.18
D.36
5.(重庆南开中学高二期中)某班有一7人小组参加烧烤活动,老师将从小组成员中选出2名同学整理烧烤架,再选出3名同学生火.若小组中的甲、乙两位同学至多有1人生火,则不同的安排方案种数为( )
A.120
B.150
C.180
D.240
6.近年来,中小学校车安全问题引起社会的广泛关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )
A.C419
B.C389
C.C409
D.C399
7.若A n3=12C n2,则n= .
8.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备种不同的素菜.(用数字作答)
9.如图,某区有7条南北向街道、5条东西向街道.
(1)图中有多少个矩形?
(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?
B级关键能力提升练
10.已知圆上有9个点,每两点连成一条线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有( )
A.36个
B.72个
C.63个
D.126个
11.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.33
B.34
C.35
D.36
12.(多选题)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地支援,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是( )
A.C135−C71C64
B.C72C63+C73C62+C74C61+C75
C.C135−C71C64−C65
D.C72C113
13.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.
14.C88+C98+C108+C118= .
15.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲会议需2人参加,乙、丙两个会议各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.
16.现有5名男司机、4名女司机,需选派5人运货到某市.
(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?
(2)至少有2名男司机,共有多少种不同的选派方法?
17.(1)计算:C 85+C 10098C 77
.
(2)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2.
C 级学科素养创新练
18.规定C x m =
x (x -1)…(x -m+1)
m !
,其中x ∈R,m 是正整数,且C x 0
=1,这是组合数
C n m
(n,m ∈N *,且m≤n)的一种推广. (1)求C -124的值.
(2)设x>0,当x 为何值时,
C x
3(C x 1)
3取得最小值?
m是否都能推广到
(3)组合数的两个性质①C n m=C n n-m,②C n m+C n m-1=C n+1
C x m(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.
参考答案
7.3 组合
第1课时组合、组合数公式
1.B 从物理和历史中任选1科,有C21=2(种)选法,然后从其他4科中任选2科,有C42=6(种)选法,共有2×6=12(种)不同的选法.故选B.
=28, 2.B 由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C n2=n(n-1)
2
因此n=8.
3.A 根据题意,不同的安排方法可以按照以下步骤求解:在5个老师中选出2人,安排去高一,有C52=10(种)选法;在剩下3人中,选出2人,安排到高二,有C32=3(种)选法;将最后1人安排到高三,仅有1种选法.由分步计数原理,共有10×3×1=30(种)不同的安排方法.故选A.
4.A 若甲和乙都去广西桂林,则有C41C31=12(种)方案;若甲不去广西桂林,则有C21C42=12(种)方案.故符合他们心意的分组旅行的方案种数为
12+12=24.故选A.
5.C 小组中的甲、乙两位同学都生火,共有C51C42=30(种)安排方案,
故不同的安排方案种数为C72C53-30=180.故选C.
6.D 首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为C399.
n(n-1),
7.8 A n3=n(n-1)(n-2),C n2=1
2
所以n(n-1)(n-2)=12×1
n(n-1).
2
由n∈N*,且n≥3,解得n=8.
=10.若8.7 在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C52=5×4
2
≥20,化简选择方式至少为200种,设素菜为x种,则有C x2C52≥200,即x(x-1)
2
得x(x-1)≥40,解得x≥7.
所以,至少应准备7种素菜.
9.解(1)在7条南北向街道中任选2条、5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C72C52=210(个).
(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B 最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即走南北方向的),共有C106=C104=210(种)走法.
10.D 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为C94=126(个).
11.A ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21A33=12(个);
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21A33+
A33=18(个);
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=3(个).
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.
12.BC 13名医生,其中女医生6人、男医生7人.
(方法一直接法)符合条件的可以是:2男3女,选派方法种数为C72C63;3男2女,选派方法种数为C73C62;4男1女,选派方法种数为C74C61;5男,选派方法种数为C75.所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75.
(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去选4名或5名女医生的情况,即N=C135−C71C64−C65.
故选BC.
13.10 依题意,就所剩余的1本进行分类:
第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;
第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C42=6(种).
因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).
14.220 C 88+C 98+C 108+C 118=C 99+C 98+C 108+C 118=C 129=C 123
=220. 15.2 520 从10人中选派4人有C 104种方法,对选出的4人具体安排会议有C 42C 21种方法,由分步计数原理知,不同的选派方法有C 104C 42C 21=2520(种). 16.解(1)从5名男司机中选派3名,有C 53种方法, 从4名女司机中选派2名,有C 42种方法,
根据分步计数原理得,所选派的方法总数为
C 53C 42=60(种).
(2)从9人中任选5人运货有C 95种方法.
其中1名男司机、4名女司机有C 51C 44=5(种)选法. 所以至少有两名男司机的选派方法为C 95-5=121(种). 17.(1)解原式=C 83+C 1002×1=
8×7×63×2×1
+
100×992×1
=56+4950=5006.
(2)证明由组合数的性质C n+1m =C n m +C n m -1可知, 右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)
=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.所以原等式成立. 18.解(1)C -124=
(-12)×(-13)×(-14)×(-15)
4!
=1365.
(2)因为
C x
3(C x 1)
3
=
x (x -1)(x -2)
6x 3
=
16
2
1x
2
-3·1
x
+1,当1
x
=34
,
即x=43
时,
C x
3(C x 1)
3取得最小值,最小值为-148
.
(3)性质①不能推广,例如C -124
有意义,C -12-16无意义.
第11页 共11页 性质②能推广,它的推广形式为C x m +C x m -1=C x+1m (=1时,C x 1+C x 0=≥2
时,C x m +C x m -1
=x (x -1)(x -2)…(x -m+1)m !+x (x -1)(x -2)…(x -m+2)(m -1)! =x (x -1)(x -2)…(x -m+2)(m -1)!x -m+1
m +1
=x (x -1)(x -2)…(x -m+2)(x+1)
m !=C x+1m .。