高中数学必修3：第2章2.3.2

方差与标准差
【学习目标】
1．通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；
2．学会计算数据的方差、标准差；
3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．
活动方案：
活动一问题情境建构数学
【问题情境】
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本〔如表〕检查它们的抗拉强度〔单位：kg/mm2〕，通过
计算发现，两个样本的平均数均为125．
甲
1
10
1
20
130125120125135125135125
乙115100125130115125125145125145哪种钢筋的质量较好？
【合作探究】
将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如以下图所示．
由图可以看出，乙样本的最小值，低于甲样本的最小值
高于甲样本的最大值，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．
我们把一组数据的称为极差〔，最大值range〕．由
图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．那又该如何刻画抗拉强度的稳定性呢？
【知识建构】
1．设一组样本数据x1,x2, ,x n，其平均数为x，
那么方差s2＝___________________________________________=________________；
标准差s＝____________________________________________=________________．
2．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．
活动二数学应用
例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量〔单位：t/hm2〕如下，
试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种第1年第2年第3年第4年第5年
甲10
乙
例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．某校使
用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和
标准差．
使用天数151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390
日光灯数1111820251672
例3．⑴假设样本x 1，x 2，，x n 的平均数为10，方差为2，那么样本x 1+2，x 2+2，，x n +2的平均数为_________；方差为__________；
⑵假设样本x 1，x 2，，x n 的平均数为10，方差为2，那么样本5x 1，5x 2，，5x n 的平均数为_________；方差为__________； ⑶假设样本 x 1，x 2，，x n 的平均数为 10，方差为2，那么样本5x 1+6，5x 2+6，， 5x n +6的平均数为_________；方差为__________；
活动三 课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
活动四、课堂反响单
1．一个样本为
8，14，12，18，那么样本的方差是
_______
；标准差是 _
．
2．假设k 1，k 2，，k 8的方差是3，那么2(k 1
3)，2(k 2 3)，，2(k 8
3)的方差
是 ．
2
3．设一组数据的方差是 s ，将这组数据的每个数据都乘以 10，所得的一组新数据的方
差是 ．
4．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打
5发子弹，命中环数如下： 甲 6 8 9 9 8
乙
10
7
7
7
9
那么两人射击成绩的稳定程度是 ________．
5．两台机床同时生产一种零件，在
10天中，两台机床每天的次品数如下：
甲
1
2 0
2
3
4
1
2
乙1321021101
1〕哪台机床的次品数的平均数较小？
2〕哪台机床生产状况比较稳定？
课后练习
1．以下4个说法：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有量纲的统计
量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍．
其中正确的选项是________．
2．(2021年常州调研)样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，那么xy＝________.
3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生1号2号3号4号5号
甲班67787
乙班67679
那么以上两组数据的方差中较小的一个s2＝__________．
4．(2021年高考山东卷改编)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90899095939493
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．5．样本x1，x2，x3，，x10的平均数为5，方差为7，那么3(x1－1)，3(x2－1)，，3(x10－1)的平均数、方差、标准差分别是________、________、________．
6．某人5次上班途中花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x－y|的值为________．
7．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击工程选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲乙丙丁
平均数x8
方差s2
那么参加奥运会的最正确人选
应为________．
8．假设样本x1＋1，x2＋1，，x n＋1的平均数为10，其方差为2，那么对于样本x1＋2，
x2＋2，，
x n＋2的平均数为________，方差为________．
9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模
群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人〞．根据过去10天甲、
乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是________．
①甲地：总体均值为 3，中位数为4；②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；
③丙地：中位数为2，众数为3；④丁地：总体均值为2，总体方差为3．
【思考应用】
10．某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数情况如下表：
统计量
平均数标准差
组别
第一组906
第二组804
那么全班的平均成绩和标准差分别是多少？
11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)
的数据如下表：
甲273830373531
乙332938342836
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)的平均数和标准差，并判断选谁参加
比赛更适宜？
(3)由样本数据估计总体中有多少数据落在区间
(x －s ，x ＋s)内？
第8课时 方差与标准差答案
1．①④2
．963
2
．12
63
376
．47．丙8
．11
29．④
．4．5
5
10．解：设第一组 20名学生的成绩为 x 1，x 2，x 3，，x 20，
第二组
20名学生的成绩为x 21，x 22，，x
40
.根据题意得
90＝x ＋x ＋＋x
20 ，80＝
x
21 ＋x ＋＋x
，
1
2
22
40
20
20
x 1＋x 2＋＋x 40
＝90×20＋80×20
＝85，
x ＝
40
40
第一组的方差 s 12＝ 1 (x
1
2
＋x 22＋＋x 202)－902，①
20
第二组的方差
2
1
2
＋x 2 ＋＋x
2 2 ，②
s ＝
20(x
21 22 40 )－80
2
由①＋②得
1
2
2
2
2 2 ＋＋x 2
＋x 2 ＋＋x
2
)－(90 2 ＋
2
x 1＋x 2＋＋x 40
＝
36＋16＝20(x
1 ＋x
20 21 4080)，∴
40
2
7276.
222
＋x＋＋x－852＝7276－7225＝51，∴s＝51.
s＝x
1240
40
11．解：(1)画出茎叶图如以下图所示.
甲乙
7289
8751033468
从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是均匀分布的，只是乙更好一些；
乙的中位数是，甲的中位数是33，因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．
用科学计算器求得x甲＝33，x乙＝33，s甲＝，s乙＝，故s甲＞s乙．
综合比较，选乙参加比赛较为适宜．
12．解：(1)频率分布表如下：
分组频数频率
[156.5,161.5)4
[161.5,166.5)11
[166.5,171.5)11
[171.5,176.5)18
[176.5,181.5]6
合计50
频率分布直方图如上图所示．
由计算器可得到平均数x＝cm，标准差s≈cm.
(3)因为x＝，s≈，所以区间(x－s，x＋s)为(164.5,175.7)．又因为
样本中落在区间 (164.5,175.7)内的数据有36个，所以样本数据中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内，因此估计总体中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内．
学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。

有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。

每人把胳
膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。

〞说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？〞学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉
底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。

一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请
告诉我，最简单的甩手运动。

还有哪几个同学坚持了？〞这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。

同学们，柏拉图之所以能成为大
哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。

要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王
屋二山。

正是因为他具有锲而不舍的精神。

戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。

这些故事，情节不同，
但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。

旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。

〞这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再
简单的事也做不成。

学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。

所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习
方法的书籍不少，其所载内容也确实很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那
本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。

这本?学会学习?在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，
书的第一局部就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自
己的优势。

在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教〞的
方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不管对学习还是生活都有帮助。

除了“针对性〞强外，本书第二大特点就是“全面〞，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不
太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。

其内容从“时间规划〞、“笔记〞“阅读〞直到“考试〞几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货〞，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让
读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。

曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法〞、“错误的方法〞和“积极的行为〞、“消极的行为〞，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法〞配合“积极的行为〞无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性〞想当然的认为，“错误的方法〞和“消极的行为〞搭配是最坏的结果，其实“错
误的方法〞加上“积极的行为〞才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不管多努力都只会离成功越来越远，而好的
学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。

这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错
过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。

这本书的副标题为“增加学习技能与脑力〞，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。

整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，
应试技巧，拾遗。

全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的局部，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一
下学习技巧规划的事项。

然后底下是分的局部，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。

系统地讲述了学习的几乎所有方面。

让
读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。

在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这
个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述局部让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。

那个考试应对细节的局部放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们
能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不
说，美国的教育真不是盖的。

细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模
式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。

我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。

然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会
受用终生。

还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，
因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的
是，可以系统地提升自己，从而到达书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的
理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。

最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，
缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。

但是，那也不是一朝一夕的事情，就
像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最根本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持
去做，不要停。

我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。

稍显不
足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作
者也不等你，直接把你撂那。

第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。

第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型
适宜他们的学习方法做开展或者介绍，比方，将学习分为好几种类型的那个局部，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。

从而她的有些观点就不太适用，像成
立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。