2022春八年级数学下册第六章特殊平行四边形达标检测卷鲁教版五四制(含答案)

八年级数学下学期鲁教版五四制：
第六章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列命题为真命题的是( ) A ．四个角相等的四边形是矩形 B ．对角线垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．四边相等的四边形是正方形
2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则△ABC 的周长等于( )
A ．20
B ．15
C ．10
D ．5
3．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面
积是矩形ABCD 面积的( ) A ．1
5
B ．1
4
C ．1
3
D ．310
4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长
为28，则OH 的长等于( )
A ．3.5
B ．4
C ．7
D ．14
5．如图，E 为矩形ABCD 的边BC 的中点，且∠BAE ＝30°，AE ＝2，则AC 等于( )
A ．3
B ．2 2
C ． 6
D ．7
6．顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是( )
A ．菱形
B ．对角线互相垂直的四边形
C ．矩形
D ．对角线相等的四边形
7．如图，把一张长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的
菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A ．15°或30°
B ．30°或45°
C ．45°或60°
D ．30°或60°
8．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接
O B ．若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为( )
A ．28°
B ．52°
C ．62°
D ．72°
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF 10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；
⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE ＝________.
15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 018 s时，点P的坐标为________．
16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE 的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．
17．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，∠A＝120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE＋PC的最小值是________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC．已知AC＝5，OC＝6 2，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分) 19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点
F.
求证：DE＝DF.
20．如图，O为矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥B D．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．
21．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)求△AEF的面积．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点
E.
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出
其定值；如果变化，请说明理由．
24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图①；
(2)若∠PAB ＝20°，求∠ADF 的度数；
(3)如图②，若45°＜∠PAB ＜90°，用等式表示线段AB ，EF ，FD 之间的数量关系，并给出证明．
答案
一、1.A 2.B 3.B
4．A 点拨： ∵菱形ABCD 的周长为28， ∴AB ＝28÷4＝7，OB ＝OD . 又∵H 为AD 边的中点， ∴OH 是△ABD 的中位线． ∴OH ＝12AB ＝1
2×7＝3.5.
故选A. 5．D 6.D
7．D 点拨：画出所剪的图形示意图如图所示． ∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD ＝12∠ABC ，∠BAC ＝1
2
∠BAD ，AD ∥BC .
∵∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝180°－∠BAD ＝180°－120°＝60°. ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.
∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.
8．C
9．D 点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠1.
∴∠2＝∠3.
∴AE＝AF.故选项A正确．
由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.
∵AB＝CD，
∴AB＝AG.
又∵AE＝AF，∠B＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．
故选项B正确．
设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.
又∵AG＝AB＝4，
∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.
解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.
则AE＝AF＝5，
∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.
过点F作FM⊥BC于点M，
则EM＝5－3＝2.
在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝2 5，则选项C正确．∵AF＝5，EF＝2 5，
∴AF≠EF.
故选项D错误．
10．C 【点拨】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°.
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，
AB ＝AD ，
∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)． ∴BE ＝DF (故①正确)． ∠BAE ＝∠DAF .
∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，
∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，
∴AC 垂直平分EF (故③正确)．
设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x .∴AG ＝62
x . ∴AC ＝
6x ＋2x
2
. ∴AB ＝BC ＝3x ＋x
2
. ∴BE ＝
3x ＋x 2－x ＝3x －x
2
. ∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x (故④错误)． 易知S △CEF ＝x 2
2，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x
22＝x 2
4
，
∴2S △ABE ＝x 2
2＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个． 二、11.90° 点拨： 对角线相等的平行四边形是矩形． 12．30 13.2.5
14.2－1 点拨：先过点E 作EF ⊥DC 于点F ，且AC 与BD 交于点O ，再证△COE ≌△CFE .设
DF ＝x ，则FC ＝1－x ，且FC ＝CO ＝12AC ＝22AB ＝2
2
，由此可求出x ，再由DE ＝2x ，求出DE 即可．
15.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，32 16．16 点拨： ∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y .在Rt △DCF 中，DC 2
＋CF 2
＝DF 2
，即x 2
＋(4－y )2
＝42＝16.∴x 2
＋(y －4)2
＝16.
17．3 3 cm 点拨： ∵菱形ABCD 的周长为24 cm ，∴AB ＝BC ＝24÷4＝6(cm)．如图，作点E 关于直线BD 的对称点E ′，连接CE ′交BD 于点P ′，则CE ′的长即为PE ＋PC 的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 是∠ABC 的平分线，∴点E ′在AB 上，由图形对称的性质可知，BE ＝BE ′＝12BC ＝12×6＝3(cm)，易知△BCE ′是直角三角形，∴CE ′＝BC 2－BE ′2＝
62
－32
＝3 3(cm)，
故PE ＋PC 的最小值是3 3 cm.
18．7 【点拨】 如图，过点O 作OM ⊥CA ，交CA 的延长线于点M ，过点O 作ON ⊥BC 于点
N ，易证△OMA ≌△ONB ，CN ＝OM ，
∴OM ＝ON ，MA ＝NB . ∴O 点在∠ACB 的平分线上． ∴△OCM 为等腰直角三角形． ∵OC ＝6 2， ∴CM ＝OM ＝6.
∴MA ＝CM －AC ＝6－5＝1. ∴BC ＝CN ＋NB ＝OM ＋MA ＝6＋1＝7. 故答案为7.
三、19.证明：连接DB . ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC . 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴DE ＝DF .
20．(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OCED 为平行四边形． ∵四边形ABCD 为矩形， ∴OD ＝OC .
∴四边形OCED 为菱形． (2)解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴BO ＝DO ＝1
2
BD .
∴S △OCD ＝S △OCB ＝12S △ABC ＝12×1
2×3×4＝3.
∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝6.
21．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝CB ，∠D ＝∠B ＝90°.∵E ，F 分别为DC ，BC 的中点，
∴DE ＝12DC ，BF ＝1
2
BC .∴DE ＝BF .
在△ADE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DE ＝BF ，
∴△ADE ≌△ABF (SAS)．
(2)解：由题知△ABF ，△ADE ，△CEF 均为直角三角形，且AB ＝AD ＝4，DE ＝BF ＝CE ＝CF ＝1
2
×4
＝2，
∴S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADE －S △ABF －S △CEF ＝4×4－12×4×2－12×4×2－1
2×2×2＝6.
22．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DBC .
根据折叠的性质得∠ADB ＝∠BDF ，∠F ＝∠A ＝90°， ∴∠DBC ＝∠BDF ，∠C ＝∠F . ∴BE ＝DE .
在△DCE 和△BFE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，
DE ＝BE ， ∴△DCE ≌△BFE . (2)解：在Rt △BCD 中， ∵CD ＝2，∠DBC ＝∠ADB ＝30°， ∴BD ＝4. ∴BC ＝2 3.
在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°. ∴DE ＝2EC . ∴(2EC )2
－EC 2
＝CD 2
. 又∵CD ＝2， ∴EC ＝2 33.
∴BE ＝BC －EC ＝4 3
3.
23．(1)证明：如图，连接AC . ∵四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝120°， ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°， ∠1＋∠2＝60°.
∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°， ∴∠1＝∠3.
∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，
∴△ABC 为等边三角形．
∴AC ＝AB .
∴△ABE ≌△ACF .
∴BE ＝CF .
(2)解：四边形AECF 的面积不变．
由(1)知△ABE ≌△ACF ，
则S △ABE ＝S △ACF ，
故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .
如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，
∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22
＝2 3.
∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12
×4×2 3＝4 3. 故S 四边形AECF ＝4 3.
24．解：(1)如图①.
(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，
∴∠PAE ＝∠PAB ＝20°，AE ＝AB .
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.
∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BAP ＋∠PAE ＝130°.
∴∠ADF ＝180°－130°2
＝25°. (3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.
证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∵∠BAD ＝90°.
∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°.
∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°.
∴∠BFD＝90°.在Rt△BFD中，
由勾股定理得BF2＋FD2＝BD2.
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝2AB2，∴EF2＋FD2＝2AB2.。