【北师大版】高中数学必修五期末模拟试题(附答案)(1)

一、选择题
1．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25
a b
+的最小值为（ ） A
B ．
C
D ．2
2．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．1
2a a
+≥
B ．222(1)a b a b +≥+- C
≥D ．3322a b ab +≥
3．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A
．B
．C ．6
D ．8
4．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米
B ．57米
C ．64米
D ．70米
5．在ABC 中，π
6
A =
，1,a b == B =（ ） A ．
4
π B ．
34
π C ．
4π或
34
π
D ．
6π或56
π
6．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，以下四个结论中，正确的是（ ） A ．若a b c >>，则sin sin sin A B C >> B ．若A B C >>，则sin sin sin A B C << C ．cos cos sin a B b A c C +=
D ．若222a b c +<，则ABC 是锐角三角形 7．在△ABC 中，
AC =BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
8．若实数,x y 满足约束条件40
400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．0
B ．4
C ．8
D ．12
9．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令
2
1
n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实
数λ的取值范围是（ ）
A ．13
λ≥
B ．15
λ>
C ．15
λ≥
D ．0λ>
10．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1
B ．1-或2
C ．3
D ．1-
11．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a k
a k N k a k +=⎧=∈⎨
+=-⎩
，则（ ） A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当n a 是奇数时，2n n a a +≥
D ．n a 的最小值可能为2
12．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6
B ．7
C ．6或7
D ．不存在
二、填空题
13．若正数,x y 满足
113
122x y xy
++=，则xy 的最小值为_________. 14．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
则2z x y =-的最大值为___．
15．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.
16．ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =.则
sin sin B
C
=______. 17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，且
ABC
的面积为223a c +的最小值为__________．
18．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，若z 的最大值为
11，则k 的值为______.
19．无穷数列{}n a 满足：只要(
)*
,p q a a p q N
=∈，必有1
1p q a
a ++=，则称{}n a 为“和谐
递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则
2021S =_________．
20．已知数列{}n a 的首项为2，且满足1231
+=
+n n n a a a ，则1
n a =__________． 三、解答题
21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造
利润为310500x a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高0.2%x ．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
22．已知集合(
){
}2log 421x
A x
y ==-+∣，1,11B y
y x a x x ⎧⎫
==++>-⎨⎬+⎩⎭
∣. （1）求集合A 和集合B ； （2）若“R
x B ∈
”是“x A ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.
23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且
()4cos 2cos230A C B +++=．
（1）求角B ；
（2）若D 是BC
的中点，AD =8AB =，求ABC 的面积．
24．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4c =，面积sin S bc B =． （1）若60C ∠=，求S ； （2
）若S ABC 的周长． 25．已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N
（1）求证：数列{
}3n
n
a 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.
（3）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：
37.324
n n S n >- 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，1
1
n n n c b b +=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
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一、选择题 1．D
【分析】
应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25a b +≥. 【详解】
∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>，
∴252a b +≥=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴
25
a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
2．D
解析：D 【解析】
分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：3
3
2
2
2
2()()a b ab a b a ab b +-=-+-，
a b <<有3322a b ab <+，
故D 项错误，其余恒成立：11
22,a a a a
+
≥=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-
当a b ≥时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒
当a b <0>>D ．
点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.
3．D
解析：D 【分析】
运用基本不等式2422x y +≥=
因为20,40x
y
>>，所以242422422228x y x
y x y ++≥===，（当且仅当
24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】
利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．
4．D
解析：D 【分析】
画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】
由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，
在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：
22221
2cos 60803028030702
AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯
=米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5．C
解析：C 【分析】
由正弦定理解三角即可求出B . 【详解】
在ABC 中，π
6
A =，1,a b ==, 所以
sin sin a b A B
=,
即11sin 2
B =，解得sin B =
故4B π
=
或
34
π， 故选：C
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角中的应用，考查了运算能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可判定A 正确；由大边对大角定理和正弦定理可判定B 错误；由正弦定理，可判定C 错误；根据余弦定理，可判定D 错误． 【详解】
对于A 中，由于a b c >>，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 可得sin sin sin A B C >>，故A 正确；
对于B 中，A B C >>，由大边对大角定理可知，则a b c >>，
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得sin sin sin A B C >>，故B 错误； 对于C 中，由正弦定理可得cos cos 2(sin cos sin cos )a B b A R A B B A +=+
2sin()2sin()2sin R A B R C R C c π=+=-==，故C 错误；
对于D 中，由2
2
2
a b c +<，根据余弦定理可得222
cos 02a b c C ab
+-=<，
因为(0,)C π∈，可得C 是钝角，故D 错误．
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了以解三角形为背景的命题真假判定问题，其中解答中熟记解三角形的正弦定理、余弦定理，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
7．A
解析：A 【分析】
直接利用正弦定理求出sin A 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值．
【详解】
因为：△ABC中，BC＝1，AC2
=，∠B＝45°，
所以：
BC AC
sinA sinB
=，sin A
2
11
2
2
2
BC sinB
AC
⨯
⋅
===．
因为：BC＜AC，可得：A为锐角，
所以：A＝30°．
故选：A．
【点评】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．
8．C
解析：C
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，将2
z x y
=+转化为斜截式，即
22
x z
y=-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件
40
40
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
表示的可行域，如图所示，
将2
z x y
=+转化为斜截式，即
22
x z
y=-+，平移直线
2
x
y=-，由图可知当直22
x z
y=-+经过点A时，直线在y轴上的截距最大，由
40
40
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
，可得
4
y
x
=
⎧
⎨
=
⎩
，所以2
z x y
=+的最大值为0248
+⨯=.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一
画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.
9．A
解析：A 【分析】
根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得
n a ，进而可得211111
()(21)(23)42123
n n n b a a n n n n +=
==--+-+，利用裂项相消法即可
求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2
141214()
()[
]2
a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*
12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，
所以211111
()(21)(23)42123
n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以
1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=
11111111(1)()432123342123
n n n n +--=-+++++， 因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立， 所以
111()042123n n +>++，即1
3
n T <， 所以1
3
λ≥. 故选：A
【点睛】
解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
10．B
解析：B 【分析】
用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】
因为1324,,2a a a 成等差数列，
所以312242a a a =+，即2
111242a q a a q =+，
化简得220q q --=，解得1q =-或2q .
故选B. 【点睛】
本题考查等比数列与等差数列的综合运用.
11．A
解析：A 【分析】
根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论. 【详解】
对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；
对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】
设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()11331991392
2
a d a d ⨯-⨯-+
=+
∴160a d += ∴70a = ∵10a >
∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C
二、填空题
13．【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必
解析：9
2
【分析】
将
113122x y xy
++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果. 【详解】 由
113122x y xy
++=得232y x xy ++=，
因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.
所以
2
3
02
≥，
所以2)22≥2-≥2≤，
≥≤
所以9
2xy ≥
，即xy 的最小值为92. 故答案为：92
. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=
解析：1 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】
由z=x-2y 得11
22
y x z =
-，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线1122y x z =-，，1122
y x z =-，的截距最小， 此时z 最大，
由22
22x y x y -⎧⎨+⎩
＝＝ ，得A （1，0）．
代入目标函数z=x-2y ， 得z=1-2×0=1， 故答案为1． 【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
15．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：
1
2
【分析】
根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然
后由()2
2
222
cos 122a b c a b c C ab ab
+-+-==-，利用基本不等式求解.
【详解】
因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，
所以
()22
222
cos1
22
a b c
a b c
C
ab
ab
+-
+-
==-，
()222
22
31
11
22
2
2
a b c c
c
a b
+-
≥-=-=
+
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，当且仅当a b
=时取等号，
所以cos C的最小值是
1
2
.
故答案为：
1
2
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：中D是边上的点满足所以又因为则则故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理三角形面积计算公式及其性质考查了推理能力与计算解析：
1
2
【分析】
直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果．
【详解】
解：ABC中，D是边BC上的点，
满足90
BAD
∠=︒，30
DAC
∠=︒，4
BD CD
=，
所以
1
sin902
2
1
sin30
2
ABD
ACD
AB AD
S AB
S AC
AC AD
⋅︒
==
⋅⋅︒
△
△
，
又因为4
ABD
ACD
S BD
S CD
==
△
△
，则
2
4
AB BD
AC CD
==，
则
sin1
sin2
B AC
C AB
==.
故答案为：
1
2
.
【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．80【分析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积公式有再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由及正弦定理可得∴即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得∴当且
解析：80 【分析】
由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有23
C π
=
，根据面积公式有16ab =，再应用余弦定理可得22216c a b =++，结合目标式有22223164a c a b +++=，利用基本不等式即可求最小值； 【详解】
由2cos 2c B a b =+及正弦定理可得2sin cos 2sin sin C B A B =+，
∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >， 故1cos 2C =-
，故23
C π=． 因为ABC
的面积为
1sin 2ab C =
122
ab ⨯=16ab =， 由余弦定理可得2
2
2
2
2
22
12cos 216162c a b ab C a b a b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-
=++ ⎪⎝⎭
， ∴2222233a c a a b +=++221641641680a b ab +=++≥+=
，当且仅当2a b ==时等号成立，故223a c +的最小值为80． 故答案为：80． 【点睛】
本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最值；
18．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大
解析：23 【分析】
先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解. 【详解】
画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
可得交点(0,1),(7,1)A B ，
又由21211
x y y x -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,7)C ，
目标函数2z y x =-可化为122
z y x =+， 当直线122
z
y x =
+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.
故答案为：23
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力.
19．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列
解析：7576 【分析】
根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】
∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，
又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．
20．【分析】由已知整理得可得答案【详解】由题知则所以因为所以数列是以为首项为公比的等比数列所以则故答案为：【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式的问题关键点是构造数列为等比数列定义形式考查了学生的推理能 解析：532
-
n 【分析】
由已知整理得1111
332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭
n n a a 可得答案. 【详解】 由题知，
113131222++==+n n n n a a a a ，则1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭
n n a a ， 所以
1
13
1123+-=-n n
a a ，因为11532-=-a ， 所以数列13⎧⎫-⎨
⎬⎩⎭
n a 是以5
2-为首项，12为公比的等比数列，
所以1
151135222
-⎫⎫
⎛⎛-=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭
n n n a ，则1532=-n n a ．
故答案为：5
32
-n . 【点睛】
本题考查了由递推数列求通项公式的问题，关键点是构造数列为等比数列定义形式，考查了学生的推理能力、计算能力.
三、解答题
21．（1）最多调整500名员工从事第三产业；（2）(]
0,5． 【分析】
（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围． 【详解】
（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤， 即最多调整500名员工从事第三产业；
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫
-
⎪⎝⎭
x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛
⎫-+
⎪⎝⎭
x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛
⎫-
≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以2
3500
x ax -
≤2110002500x x x +--， 所以2
21000500
x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(]0,500x ∈时恒成立，
因为
21000
4500x x
+≥=， 当且仅当
21000
500x x
=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤，所以a 的取值范围为(]
0,5． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，属于常考题.
22．（1）(,2)A =-∞，[1,)B a =++∞；（2）1a >． 【分析】
（1）由对数函数的性质求对数型复合函数的定义域，即集合A ，利用基本不等式求函数的值域可得集合B ；
（2）根据必要不充分条件与集合包含之间的关系确定a 的范围． 【详解】
（1）4202x x ->⇒<，所以(,2)A =-∞， 因为1x >-，所以10x +>，所以
11(1)11111y x a x a a a x x =+
+=+++-≥-=+++，当且仅当1
11
x x +=
+，即0x =时等号成立． 所以[1,)B a =++∞． （2）由（1）
(,1)R
B a =-∞+，因为“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A 是
B R
的真子集，
所以12a +>，所以1a >．
【点睛】
本题考查求函数的定义域和值域，考查充分必要条件与集合包含之间的关系，考查对数函数、指数函数性质，考查基本不等式求最值，考查由集合包含关系求参数取值范围．知识点较多，但内容较基础．属于中档题．
23．（1）3
B π
=；（2）
【分析】
（1）利用诱导公式和二倍角公式化简已知等式可求得cos B ，由()0,B π∈可得结果； （2）在ABD △中利用余弦定理构造方程可求得BD ，根据2ABC ABD S S =△△，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】 （1）
A C
B π+=-，()cos cos A
C B ∴+=-，
由()4cos 2cos230A C B +++=得：24cos 4cos 230B B -+-+=， 即()2
2cos 10B -=，解得：1cos 2
B =
， ()0,B π∈，3
B π
∴=
.
（2）在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅， 即()2
281640BD BD BD -+=-=，解得：4BD =；
D 为BC 中点，
1
22sin 8422
ABC
ABD
S
S
AB BD B ∴==⨯⨯⋅=⨯⨯=
24．（1；（2）4或4． 【分析】
（1）利用三角形的面积公式可得出2a b =，利用余弦定理可求得b 、a 的值，再利用三角形的面积公式可求得S ；
（2）由已知条件可得sin 6B b
=，由余弦定理得出2316cos 16b B b +=，结合
22sin cos 1B B +=可求得b 的值，由此可得出ABC 的周长.
【详解】
（1）1
sin sin 2
S bc B bc A ==
，所以，sin 2sin A B =，2a b ∴=，
由余弦定理可得2222222162cos 423c a b ab C b b b b ==+-=+-=，b ∴=
3
a =
，
因此，11sin
22S ab C =
==
（2）sin 4sin S bc B b B ===
，可得sin B =，2222316cos 216a c b b B ac b
+-+==
，
由22sin cos 1B B +=可得2
2
2
3161616b b b ⎛⎛⎫
++= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭，
整理可得422748010880b b -+=，即(
)(
)
2
2
3891340b b --=，解得b =或
b =
.
当3
b =时，ABC 的周长为34a b
c b c ++=+=；
当b =
时，ABC 的周长为34a b c b c ++=+=.
综上所述，ABC 的周长为4或4. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 25．（1）证明见解析；（2）233n
n a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝
⎭
；（3）证明见解析. 【分析】
（1）利用已知条件通分计算或者直接整理，证明11133n n
n n
a a ++-=，即证结论； （2）利用（1）求得数列3n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项公式，即求得
{}n a 的通项公式； （3）结合（2）的结果，利用错位相减法求得n S ，并计算整理3n n S ，根据7
043
n
>⨯即证得结论. 【详解】
解：（1）解法1：由()1
*
133
n n n a a n N ++=+∈，得
111111
333313333
n n n n n n n
n n n n a a a a a a ++++++-+--===. 又
11133a =，故数列3n n
a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以13为首项，以1为公差的等差数列. 解法2：由()1
*
133
n n n a a n N ++=+∈，得11
13
3n n
n n a
a ++=
+，即11133n n n n
a a ++-=. 又11133a =，故数列3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以13为首项，以1为公差的等差数列.
（2）由（1）得()11
1133
n n a n =+-⨯，*N n ∈， 即
233n n a n =-，故233n n a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭
；
（3）由（2）可知
()121222213231333333n n
n S n n -⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛
=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-
⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭① ()231
2222313231333333n n n S n n +⎫⎫⎫⎛⎛⎡
⎤⎛
=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--
⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣
⎦⎝
⎭⎭⎭
② 由①②得1112397723133262n n n n S n n +++-⎫⎫⎛⎛
=-⨯--=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎝
⎭⎭
故177
32124n n n S +⎫⎛=-⨯+
⎪⎝
⎭，从而173
7377372123343244324
n n n n n n n S n n +⎫⎛-⨯ ⎪⎫⎛⎝⎭=+=-+>- ⎪⨯⨯⎝⎭. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）公式法：利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可；
（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（6）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
26．（1）3n
n a =；（2）1
n n T n =
+. 【分析】
（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；
（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】
（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---
即1
3n
n a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.
1333n n n a -∴=⨯=
（2）.由3log n n b a =，得3log 3n
n b n ==
则()11111
11
n n n c b b n n n n +=
==-++， 111
11111223
111
n n T n n n n =-+-+
+-=-=+++. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.。