高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念练习含解析新人教A版必修第二册

第六章 6.1
A 级——基础过关练
1．下列说法中，正确的个数是( ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；
④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动
C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【答案】ABC 【解析】很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．
3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )
A ．A
B →＝O
C → B ．AB →∥DE → C ．|A
D →|＝|B
E →| D ．AD →＝FC →
【答案】D 【解析】由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →，FC →的方向不同，故AD →≠FC →
.故选
D ．
4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →
，则图中相等的向量是( )
A ．AD →与C
B → B ．OB →与OD →
C ．AC →与B
D → D ．AO →与OC →
【答案】D 【解析】∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，则AO ＝OC ，即AO →＝OC →
. 5．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________，与OA →
相等的向量是________．
【答案】2 CO → 【解析】易知|OA →|＝12|CA →|＝12×22＝2，CO →与OA →
的模相等，方向相
同．
6．给出以下5个条件：
①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________(填序号)．
【答案】①③④ 【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．
7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
【答案】3π 【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π. 8．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．
(1)与AB →
相等的向量有哪些？ (2)与AB →
共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →
|的大小．
解：(1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →
.
(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →. (3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →
|＝3.
9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与AB →
相等的向量共有几个？
(2)与AB →
平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →
方向相同且模为32的向量共有几个？ 解：(1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →
本身)． (2)与向量AB →
平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →
方向相同且模为32的向量共有2个．
B 级——能力提升练
10．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )
A ．AD →＝BC →
B ．A
C →＝B
D → C ．P
E →＝P
F →
D ．EP →＝PF →
【答案】D 【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →
方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →
的模相等且方向相同，
所以EP →＝PF →.
11．(多选)如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法正确的是( )
A ．与A
B →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)
C ．B
D →的模恰为DA →
的模的3倍 D ．CB →与DA →
不共线
【答案】ABC 【解析】由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，而与AB →
的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →
，因此选项A ，B 正确；而Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确；由于CB →＝DA →，因此CB →与DA
→
是共线的，故选项D 错误．
12．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →
|，则四边形ABCD 的形状是________． 【答案】梯形 【解析】∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →
|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ．∴四边形ABCD 是梯形．
13．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →
|＝________.
【答案】23 【解析】易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝
12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →
|＝2 3.
14．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ．若AC →的模为2，BC →
的模为3，AD →的模为1，则DB →
的模为________．
【答案】3
2
【解析】如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因
为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →
|
＝32
.
15．设向量a ，b ，c 为非零向量，若p ＝a |a |＋b |b |＋c
|c |，试探讨|p |的取值范围．
解：因为a |a |，b |b |，c
|c |是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p |取最大值3.
当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p |的最小值为0.
并且|p |随着向量a ，b ，c 的变化而变化，可以取到0到3之间的一个值，因此|p |的取值范围[0,3]．
16．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)OA →，使|OA →
|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →
|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →
|＝6，点C 在点B 北偏东30°.
解：(1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为|OA →
|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →
如图所示．
(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →
|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →
如图所示．
(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →
|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．
C 级——探索创新练
17．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A 处跳到A 1处，用向量AA 1→表示马走了“一步”，也可以跳到A 2处，用向量AA 2→
表示．请在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．
解：如图，马在B 处只有3步可走，马在C 处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．。