等轴双曲线的十点圆

数理化解题研究
2021年第07期总第500期
等轴双曲线的十点圆
甘志国
（北京丰台二中 100071）
摘 要:联想到九点圆定理，本文给出了关于等轴双曲线的一个十点圆的定理.关键词：等轴双曲线；三角形；垂心；九点圆定理中图分类号：G632
文献标识码:A 文章编号：1008 -0333（2021）07 -0062 -02
定理1以等轴双曲线上任意三点为顶点的三角形
的垂心也在该双曲线上.
证明 适当建立坐标系后,可不妨设等轴双曲线为
r ：y — a （a 为非零常数）,再设曲线r 上的任意三点为
%4, f %t ,十j （ i — 1,2,3）（其中%1 , %2 ,%；这三个数两两互异, 易知这三点不共线）,4424；的三条高4用（i — 1,2,3） 所在的直线交于一点（可设该点是A 4]424；的垂心〃）.
a a
可得直线424；的斜率为—-丄,再得直线
%； - %2 %2%；
410 的方程为 y - — %2%；（ % - %1）,即 %1 %2 %； % — a%1 y +
%2%2%； - a 2 ；同理,可求得直线42〃2方程为%1 %2%；% — a%2y
+ %1 %2 %； - a 2.
丄一,-%^j 在曲线r 上 %1 %2 %； a 丿
题1
（2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试
卷（理科）第15题）在平面直角坐标系%0y 中，设4,B , C
是曲线y — 一—r 上三个两两互异的点,且D ,E ,F 分别是
% - 1线段BC ,C4,4B 的中点，则过D ,E ,F 三点的圆一定经过 定点
解析（1,0）.我们用平移的方法解这道题.
把曲线y — 丄向左平移1个单位后得到的曲线是 曲线y —丄.
%
在曲线y - *上选三点4； fy ,2 j , B ； （1,1）,
C'A 20，可得线段B'C', C'4‘，4；B ；的中点分别是
进而可求得垂心H\》'（2，4 ）E ‘f 4，4） F ‘（；j ，进而可求得过》，， E',F ‘三点的圆的方程是%2 + y 2 - 5 % - 4 y — 0•
在曲线y -十上再选三点41（-*, -2j ,B 1（ - 1,
-1）,C 1 ]-2, - 2 ）设线段；1 C 1，C 141，41B 1 的中点分
别是》1，呂』1，同理可求得过》1 ,E 1，F 1三点的圆的方程 是 %2 + y 2 + 4 % + y — 0.
可求得圆 %2 + y 2 - % - 4 y — 0 与圆 %2 + y 2 + 4 % +
二y — 0的公共点是坐标原点0.因此，若以曲线y -丄上
4% 任意三点为顶点的三角形各边中点为顶点的三角形的外
接圆经过定点，则该定点只可能是坐标原点0.
还可验证,坐标原点0在以曲线y —丄上任意三点为
%
顶点的三角形各边中点为顶点的三角形的外接圆上.
综上所述，以曲线y —丄上任意三点为顶点的三角形
%
各边中点为顶点的三角形的外接圆经过定点且该定点就 是坐标原点0.
又因为把曲线y -丄及坐标原点0向右平移1个单
%
位后得到的曲线是y — 匕及点0 ' （1,0）,所以所求的答
% - 1
案是（1 ,0） •
定理2以等轴双曲线上任意三点为顶点的三角形 各边中点为顶点的三角形的外接圆过定点且该定点就是 该等轴双曲线的中心.
证明 适当建立坐标系后,可不妨设等轴双曲线为
收稿日期：2020 - 12 - 05
作者简介:甘志国（1971 -），湖北省竹溪人,研究生，中学正高级教师，特级教师，从事高中数学教学研究.基金项目：北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003）.
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2021年第07期总第500期
数理化解题研究
r ：y -4a （a 为非零常数）,再设曲线r 上的任意三点为
%
A ,「%,，2a 0（ i -1,2,3）（其中 %； ,%2,%； ,0 这四个数两两互
异，易知这三点不共线）,可得线段A 2A ；, A ； A ；, A ； A 2的中 点 分别是 B ； [%2 + %；, + %-], B 2 f %； + %；, + %],
V %2 %；丿 V %； %;丿B ； [ %； + %2,+ |（由三点A ；, A 2, A ；不共线可得三点
V %； %2 丿b ；,b 2,b ；也不共线）•
设AB ；B 2B ；的外接圆方程为％2
E
+ y + D% + ——y + F - a
2
0, 可得
- - 12 - 2 1 2①
2
a
2，
2
2
a
2，
3
2
a
2
，
1
②
③
（%；+%2）D + ]f + t ” + F
2 a 2 2 a 2一 /y
—-------—-------------22
1
1 2
（%2 + %；） D + f 丄 + 丄 0E + F
2 9
2
a 2 2 a 22
2 ； ； 2
2 2 3
（%；+%；） d +V f +十）
e +f
2 9 2 a 2 2 a 2
； ；； ； 2
3
3 1
①-②，③-②,分别得
%；%；D — E — a 2 （丄 + ■― + 丄]—%；%； （%； + 2%2 + %；）:④
V%； 兀2 兀3丿%；%2D — E — a 2 f — + — + —| — %；%2 （%； + %2 + 2%；）:⑤
V%； 兀2 兀；丿
2
⑤-④，可求得D — -%； - %2 - %；；
1
2 3
再由④，可求得E -%；%2%； - a 2 f 丄+丄+丄]；
V %； %2 %；丿
又由①，可求得F -0.
所以△ B ；B 2B ；的外接圆方程为%2 + y 2 +
f 丄-%； -％2 -％；\ + f %^%3 -乂 -乂 -乂'-0.⑥ V %；%2%； 丿 V a %； %2 %；丿
设曲线r 上的三点为A'i f -2% i , -2a j （ i -1,2,3）, 线段 A'2 A'； ,A'； A'； ,A'； A'2 的中点分别是 B'；, B'2, B'；,同
理可求得△ B'；B'2B'；的外接圆方程为%2 + y 2 -
f
丄-%； -%2-%；\-f %^一2 -2 -2、-0. ⑦V %；%2%； 丿 V a %； %2 %；丿
可求得圆⑥与圆⑦的公共点是坐标原点0.因此，若 以曲线r 上的任意三点为顶点的三角形各边中点为顶点 的三角形的外接圆（即圆⑥）经过定点,则该定点只可能 是坐标原点0.
又因为圆⑥过坐标原点0,所以结论成立.
注 把平面直角坐标系%Oy 绕点0沿逆时针方向旋 转45 °,得到平面直角坐标系%'Oy',可得旋转变换
一 %' - y'% -,
< 血f 在此旋转变换下可得，等轴双曲线%2 - y 2 -%' + y'y -可’
-4a （a H0）在平面直角坐标系%'Oy'下的方程是y'二4^.
'
题2 （题1的类题）在平面直角坐标系%Oy 中,设
A ,
B ,
C 是曲线 %2 - y 2 + 2% + 4y + a -0（ a H - 3）上三个两
两互异的点，且D ,E ,F 分别是线段BC ,CA ,AB 的中点，则
过D ,E ,F 三点的圆一定经过的定点是 •
解析（-1,2）.可得题中的曲线即等轴双曲线
（% + 1）2 - （y -2）2 - - a -3（ - a - 3 H0）,其对称中心是
点（-1,2）.再由定理可得答案•
笔者由定理1,2联想到了九点圆定理:三角形三 边的中点,三条高的垂足和三个欧拉点（连接三角形 各顶点与垂心所得三线段的中点）这九点共圆•由此 结论及定理1,2,可得•
定理3如图1,2所示,若三点A ；,A 2,A ；均在等轴双 曲线r 上（在图1中，三点a ；,a 2,a ；均在双曲线r 的同一
支上;在图2中，三点a ；,A 2,a ；不均在双曲线r 的同一支 上），则A A ；A 2A ；的垂心H 也在双曲线r 上,且△A ；A 2A ； 三边A 2A ； ,A ；A ； ,A ；A 2的中点B ；,B 2，B ；、三条高A#i 的垂
足a 、三条线段A i H 的中点C i （i -1,2,3）及双曲线r 的 中心0这十点共圆.
图1
L
Hr
i
图2
参考文献：
[1 ]甘志国.部分自主招生考试数学试题[J ].高中 生,2018（33） ：61.
[ 责任编辑： 李 璟]
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