天津市2016届高三“五校”联考数学试卷(理)

2016届天津市“五校”联考数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡涂黑。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人答题卡收回. 祝各位考试考试顺利！
一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集U R =，集合2
{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合()U C B A =
A ．
B ．(,2)(2,3)-∞
C ．[)2,3
D ．[)(,1)4,-∞-+∞
2.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是
A ．1
2 B.
23 C.3
4
D. 45
3.下列叙述正确的个数是
①若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题； ②若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤； 则2
:,10p x R x x ⌝∀∈-+>；
③在ABC ∆中“0
60A ∠= ”是“1
cos 2
A =
”的充要条件； ④若向量,a b
满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角。

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4
第2题图
4．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A
． B
．C ．2
D ．4
5．已知ABC ∆
3
AC ABC π
=∠=，则ABC ∆的周长等于
A
．3+
B
．
C
．2 D
6．已知点),(y x P 的坐标满足条件12220
x y x y ≤⎧
⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
记2y x +的最大值为a ，2
2)3(++y x 的最小值为b ，则b a +＝
A ．4
B ．5
C ．347+
D ．348+
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）
A ．1006
B ．1007
C ．1008
D ．1009
8.已知函数()()()
20ln 0x e x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则下列关于函数()11y f f kx =++⎡⎤⎣⎦（0k ≠）的零点个数的判断正确的是
A ．当0k >时，有3个零点；当0k <时，有4个零点
B ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有3个零点
C ．无论k 为何值，均有3个零点
D ．无论k 为何值，均有4个零点
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分,） 9.复数
i
i
-1的共轭复数为____________ 10.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为____________
11．若函数()
2
log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围
正视图
1 1
2
2 2
2
侧视图
是____________
12. 已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 ____________
13．在矩形ABCD 中，已知2AB AD =，点E 是BC 的 中点，点F 在CD 上，若AB AF ⋅
AE BF ⋅ 的值是 .
14．若实数c b a ,,满足
11111
1,122222
a b a b b c a c ++++=++=，则 c 的最大值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15. (本小题共13分)已知函数x
x
x x x f cos 2sin )sin (cos )(⋅-=
.
（1） 求)(x f 的定义域及最小正周期； （2） 当]0,2
(π
-
∈x 时，求函数)(x f 的最值；
（3） 求)(x f 的单调递减区间.
16. (本小题共13分)甲袋中装有大小相同的白球1个，红球2个；乙袋中装有与甲袋中相
同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（1）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（2）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
17.(本小题共13分)
如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的一动点． （1）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（2）求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值； （3）当λ=时，二面角A BD E --的
A
O
P B
E F
E
D
C
B
A
余弦值为
5
5
，求实数λ的值 18．（本小题共13分）已知椭圆C 的两焦点1F （-1，0）和2F （1，0），P 为椭圆上一点，
且||||||22121PF PF F F += （1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为
11
6
12，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

19．（本小题共14分）已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，21=a 且14+⋅=n n n a a S ，)(*
∈N n ，数列}{n b 中，41
1=
b ，且)()1(1*+∈-+=N n b n nb b n
n n 。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设3
2312
+=
n b n n a c ，求}{n c 的前n 项和n T ；
（3）证明：对一切*
∈N n ，∑=-<-⋅n
i a a i
i 12232
)
12(23
20．（本小题共14分）已知函数()e ,.x
f x kx x k =-∈∈R R ， （1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()g x f x f x =+-，求证：21
(1)(2)(2)(e
2)()n n g g g n n +*>+∈N ．
2016届天津市“五校”联考数学(理科)试卷
数学试卷（理科） 评分标准
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、D 2．C ３．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．i 2121--
10．12a << 11．3
34
12．4
1π
-
131 14．3log -22 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知函数x
x
x x x f cos 2sin )sin (cos )(⋅-=
.
（4） 求)(x f 的定义域及最小正周期； （5） 当]0,2
(π
-
∈x 时，求函数)(x f 的最值；
（6） 求)(x f 的单调递减区间. 解：（1）由0cos ≠x ，得2
π
π+
≠k x ，Z k ∈，
定义域为},2
|{Z k k x x ∈+
≠π
π 2分 x
x x x x x f cos cos sin 2)sin (cos )(⋅⋅-=x x x 2sin 2cos sin 2-=
)2cos 1(2sin x x --=1)4
2sin(2-+
=π
x 3分
)(x f 的最小正周期为π 4分
（2）02
≤<-
x π
4
4243π
ππ≤+<-
∴x 5分 当4
4
2π
π
=
+x 时，即0=x 时，0)(=man x f 7分
当242π
π-
=+
x 时，即8
3π
-
=x 时，12)(min --=x f 9分
（3）2324222πππππ+≤+≤+k x k 858π
πππ+≤≤+∴k x k 又2
ππ+≠k x ，Z k ∈
)(x f 的单调递减区间)2,8[ππππ++k k ，]8
5,2(π
πππ+
+k k Z k ∈ 13分 16． 甲袋中装有大小相同的白球1个，红球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2
个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 16．解答 （Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A ，包含如下两个事
件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A 1、A 2，
且A 1与A 2互斥，则：451832)(26
13131==C C C A P 45
831)(2
6
1
4122==C C C A P ∴45
26
4584518)(=+=
A P 故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
45
26． 6分
（Ⅱ）ξ＝0、1、2．45
7
3231)0(2
6
2
326
2
2=+==C C C C P ξ 45263231)1(26
131326
14
12=+==C C C C C C P ξ，45
123231)2(26
2
326
24=+==C C C C P ξ，
,（取值1分，答对一个得1分） 10分
∴ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
457 4526 4512
∴45122452614570⨯+⨯+⨯=ξE =9
10（分布列1分,期望2分；） 13分 17.(本小题共12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，
PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的一
动点．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（2）求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值． （3）当PA PE λ=时，二面角A BD E --的
余弦值为5
5，求实数λ的值
17（1）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =
A
D
O
C
P
B
E P
E
∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点， ∵2PD PB ==，
∴PO BD ⊥， ………………………………..2分
∵BD =
=
∴PO
=
1
2
AO BD =
= 在三角形PAO 中，2
2
2
4PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………3分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………4分 (2) 由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5分 由已知得：
(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D - (1,1,0)F ，(1,3,0)C
，P ，
11(,22E --，
设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =
，直线CB 与平面PDC 所成角θ，
则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即111111300
x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，
解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC
的一个法向量为n = ，7分
又(2,2,0)CB =--
令直线CB 与平面PDC 所成角为θ
则sin cos ,θn CB =<>=
=
，
∴直线CB 与平面PDC
所成角的正弦值为
3
. ………………………………8分 (3) λ=)2,1,1(---= )22,,(λλλ---E ………………9分 设平面EBD 的法向量为),,(z y x =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0，即⎩⎨⎧=-+-++=-0)22()1()1(0z y x y x λλλ 令1=x ，1=y ，12-=
λλz )1
2,1,1(-=∴λλ
m 11分 设平面ABD 的法向量为),,(z y x =
5
5
)1
2(
212,cos 2
=
-+-=
>=
<λλλλ
解得3
1
=
λ ……………… 13分 18．已知椭圆C 的两焦点1F （-1，0）和2F （1，0），P 为椭圆上一点，且
||||||22121PF PF F F +=
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为
11
6
12，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

（1）由已知得1=c ，||||||22121PF PF F F +=即a c 222=⋅ ∴22==c a ∴32
=b
∴椭圆方程为13
42
2=+
y x ………………3分
2
243112k k k ++=
=
11
612 ………………11分解得05423252
=--k k 0)2725)(2(22=+-∴k k 22=∴k ………………12分
3
621
222=
+=
∴r 381
22
=+-∴y x ）圆的方程为（………………13分
19．已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，21=a 且14+⋅=n n n a a S ，)(*
∈N n ，数列}{n b 中，
41
1=
b ，且)()1(1*+∈-+=N n b n nb b n
n n 。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设3
2
312
+=
n b n n a c ，求}{n c 的前n 项和n T ；
（3）证明对一切*∈N n ，∑=-<-⋅n
i a a i i 1223
2
)12(23
解：（1）1=n , 42=∴a ………………1分
2≥n 14+⋅=n n n a a S 114--⋅=n n n a a S 两式相减得)(411-+-=n n n n a a a a 0≠n a ∴411=--+n n a a ………………2分
∴}{n a 的奇数项和偶数项分别构成以4为公差的等差数列………………3分
当*∈-=N n k n ,12时，n a =n k a k 22412=-=-
当*∈=N n k n ,2时，n a =n k a k 242==
)(2*∈=∴N n n a n ………………5分
（2）n nb n b n n 11
1
1-+=+ )
1(11)1(1
1+-=++n n nb b n n n ………………6分
)1
11()1(1
1
1n n b n nb n n ---=--- )11
21
()2(1)1(1
21----=-----n n
b n b n n n ………………)211(121
12--=-b b n
n nb n 131+= ∴131
+=n b n )2(≥n 1=n 也适合131
+=n b n )(*∈N n ……………8分
n n n c 2=∴ 错位相减得n n n T 22
2+-= ………………10分
（3）141
141)14)(14(43)14(43)12(23111212222---=--⋅<-⋅=-⋅-----i i i i i i i i i ……………12分 ∑=--⋅n i a a i i 122
)12(23=--+141(31)1
411411411411411322---+---+--n n =32
14131
31
<--+n ………………14分
20．已知函数()e ,.x f x kx x k =-∈∈R R ，
（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；
（3）设函数()()()g x f x f x =+-，求证：21(1)(2)(2)(e 2)()n n g g g n n +*>+∈N ． 答案（1）当e k =时，()e e x f x x =-，()e e x f x '=-．……………1分
令()0f x '=，得 1.x =……………2分
当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.
因此，()f x 的单调递减区间是(1)-∞，，单调递增区间是(1)+∞，.……………4分
（2）由()()f x f x -=可知：()f x 是偶函数．于是，()0f x >对任意x ∈R 恒成立等价于()0f x >对任意0x ≥恒成立．……………5分
由()e 0x f x k '=-=，得ln x k =．……………6分
当(]0,1k ∈时，'()10(0)x f x e k k x =->-≥>，此时,()f x 在区间[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．……………7分
当(1,)k ∈+∞时，ln 0k >．
当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
由上表可知：在区间[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥.
依题意，得ln 0k k k ->.又1k >，．1e k ∴<<……………9分
综上：实数k 的取值范围是(0,)e ……………10分
（3）()()()e e x x g x f x f x -=+-=+ ，……………11分
∴当12,x x R ∈，且12x x ≠时，
12()()g x g x =121212121212()e e e e e 0e 2x x x x x x x x x x x x +-+--++++++>++=+， 即 12()()g x g x 12e 2x x +>+，……………12分
21(1)(2)e 2n g g n +∴>+，21(2)(21)e 2n g g n +->+，…，21(2)(1)e 2.n g n g +>+ ∴2212[(1)(2)(2)][(1)(2)][(2)(21)][(2)(1)](e 2)n n g g g n g g n g g n g n g +=->+ ， 故21(1)(2)(2)(e 2)n n g g g n n +*>+∈N ，．……………14分。