2021高中数学第二章2.5.1直线与圆的位置关系1课件新人教A版选择性必修第一册

• [解] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， • ∴点A在圆外． • 法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1， • 不满足题意． • 设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)， • 即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线 l 的距离为|2k－3k2＋＋41＋k|＝1，
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
答案：D
弦长问题
• [例3] 已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－ 1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
• (1)当α＝135°时，求AB的长； • (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设 直 线 与 圆 的 两 交 点 分 别 是 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 |AB|＝
x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|(直线 l 的斜率 k 存在)．
[活学活用] 求经过点 P－3，－32且被定圆 x2＋y2＝25 截得的弦长为 8 的直线的方程． 解：当直线的斜率不存在时，过点 P 的直线方程为 x＝－3， 代入 x2＋y2＝25，得 y1＝4，y2＝－4， 所以弦长为|y1－y2|＝8，符合题意． 当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为 y＋32＝k(x＋ 3)，即 kx－y＋3k－23＝0.
• 答案：C
• 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点， 则实数a的取值范围是( )
• A．[－3，－1] B．[－1,3]
• C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
• 答案：C
切线问题
• [例2] 过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l， 求切线l的方程．
解得 k＝0 或 k＝－34，
因此，所求直线 l 的方程 y＝4 或 3x＋4y－13＝0.
法二：由于直线 l 与圆相切，所以方程组
y－4＝kx＋1， x－22＋y－32＝1
只有 1 个解．
消去 y，得到关于 x 的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－ 4)x＋k2＋2k＋4＝0，
则 Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得 8k2＋6k＝0，即 k＝0 或 k＝－34， 因此，所求直线 l 的方程为 y＝4 或 3x＋4y－13＝0.
• A．y＝1
B．x＝3
• C．x＝3或y＝1 D．不确定
[解析] 由题意知，点 A 在圆外，故过点 A 的切线应有两 条．当所求直线斜率存在时，设其为 k，则直线方程为 y－1＝ k(x－3)，即 kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以 d＝ |2k－01＋＋1k－2 3k|＝1，解得 k＝0，所以切线方程为 y＝1.当所求直 线斜率不存在时，x＝3 也符合条件．综上所述，所求切线方程 为 x＝3 或 y＝1.
[解] 法一：(代数法)
由方程组4x2x＋－y32y＝＋1a0＝0，0， 消去 y，得 25x2＋8ax＋a2－900
＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－ 50<a<50；
②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 法二：(几何法) 圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0,0)，半径 r＝10，
[答案] C
• [易错防范]
• 1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽 视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑 斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而 错误地选B.
• 2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置 关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以 作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另 一条必然斜率不存在．
法二：(代数法) 当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 y＝ －x＋1，代入 x2＋y2＝8， 得 2x2－2x－7＝0. ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－72， ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋1[x1＋x22－4x1x2]＝ 30.
(2)如右图所示，当弦 AB 被点 P 平分时，
[类题通法] 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法． 先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜 率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则 由图形可直接得切线方程 y＝y0 或 x＝x0.
• 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法． • 设 等切于线半方径程建为立方y－程y0，＝可k(求x－得x0k)，，也由就圆得心切到线直方线程的．距当离
由已知，得弦心距为 52－42＝3， 所以k·0－0k＋2＋31k－32＝3，解得 k＝－34， 所以此直线的方程为 y＋23＝－34(x＋3)， 即 3x＋4y＋15＝0. 综上所述，所求直线的方程为 x＋3＝0 或 3x＋4y＋15＝0.
11.过一点求圆的切线方程的解题误区
• [典例] 过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方 程是( )
• [成功破障]
• 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程为________．
• 答案：5x－12y＋45＝0或x＝3
位置关系
相交 相切 相离
公共点个数
_两__个 _一__个 _零__个
几何法：设圆心到直线的距离 d＝
判 |Aa＋Bb＋C|
定
A2＋B2
d_＜__r
d_＝__r
d_＞__r
方 法
代数法：由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2
Δ_＞__0 Δ_＝__0 Δ_＜__0
消元得到一元二次方程的判别式 Δ
•直线与圆的位置关系 •第一课时 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
[导入新知]
• 1．直线与圆有3种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有___两__个_____公共点
相切 只__没__有_____公共点
• 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位 置关系的判断
OP⊥AB.∵kOP＝－2，∴kAB＝21， ∴直线 AB 的方程为 y－2＝12(x＋1)，即 x－2y＋5＝0.
[类题通法] 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图①，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦 心距为 d，圆的半径为 r，弦长为|AB|，则有|A2B|2＋d2＝r2，即 |AB|＝2 r2－d2.
[化解疑难]
• 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法．因为 代数法计算烦琐，书写量大，易出错，几何法则较 简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系 时，常用代数法．
直线与圆位置关系的判断
• [例1] 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下 关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的 取值范围．
用 因为此法在只上求面出解一法中个不方程包时括斜，率另不一个存在方的程情应况为，x＝而x0过， 圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方 法求解．
[活学活用]
1．直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝m 相切，则 m 的值为( )
A．0 或 2
B．2
C. 2
D．无解
答案：B
2．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
小关系判断． • (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的
个数来判断． • (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆
的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定 点的直线系．
• [活学活用]
• 1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 ()
• A．相交
B．相离
• C．相交或相切 D．相切
解：(1)法一：(几何法)
如右图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，
即 x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝|－21|＝
2 2.
∵r＝2 2，∴|BC|＝ ∴|AB|＝2|BC|＝ 30.
8－ 222＝ 230，
则圆心到直线的距离 d＝ 3|2a＋| 42＝|a5|. ①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50.
• [类题通法] • 直线与圆位置关系判断的3种方法 • (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大