北师大版九年级上相似图形教案

第三章 相似图形
1．成比例线段
一、目标导航
1．了解两条线段的比的概念；
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的
比AB :CD =m :n ，或写成n
m B A =.
2．若线段d c b a ::=，则线段d c b a ,,,叫做成比例线段(或比例线段)； 3．
d
c
b a =与b
c a
d =在指定条件下可以互相转化，即比例式与等积式可以互相转化． 二、基础过关
1．若2x －5y =0，则y ∶x =________，x
y
x +=________． 2．如果
53=-b b a ，那么b
a
=________． 3．若a =2，b =3，c =33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为________．
4．若7
53z y x ==，则
z y x z y x -++-=________． 5．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm ，而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________．
三、能力提升
6．若
AE
AC
AD AB =，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________． 7．已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________．
8．已知
y
x 2
3=，那么下列式子成立的是( ) A ．3x =2y
B ．xy =6
C ．3
2
=y x
D ．
3
2=x y
9．把ab =2
1cd 写成比例式，不正确的写法是( ) A ．b
d c
a 2=
B ．
b d
c a =2 C ．b
d c a =2 D ．d
a b c
2=
10．已知线段x ，y 满足(x +y )∶(x －y )=3∶1，那么x ∶y 等于( ) A ．3∶1
B ．2∶3
C ．2∶1
D ．3∶2
11．已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角
形的面积是( )cm 2．
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
12．等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的
中位线的长是( )cm ． A ．72．8
B ．51
C ．36．4
D ．28
13．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例? (1)a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm
(2)a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm
四、聚沙成塔
在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=15 cm ，AC=10 cm ，且BD ∶DC=AB ∶AC ， BD －DC=2 cm ，求BC 的长．
4．1线段的比(2)
一、目标导航
1．合比性质：如果d c b a =，那么d d
c b b a ±=
±； 2．等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==(0≠+⋅⋅⋅++n d b )，那么b
a
n d b m c a =++++++ ．
二、基础过关
1．若
d c
b a ==3(b +d ≠0)，则d
b c a ++=________． 2．已知
,32===f e d c b a (b +f ≠ 0)，则f
b e
a ++=___________． 3．已知
342=+x y x ，y
x
= ． 三、能力提升
4．已知
d
c
b a =，则下列式子中正确的是( ) A ．a ∶b =
c 2∶
d 2 B ．a ∶d =c ∶b C ．a ∶b =(a +c )∶(b +d ) D ．a ∶b =(a －d )∶(b －d ) 5．若ac = bd (0≠ac )，则下列各式一定成立的是( )
A ．d c b a =
B ．c
c
b d d a +=
+ C ．c d b a =22 D ．
d
a
cd ab = 6．已知
04
32≠==c b a ，则c b
a +的值为( ) A ．54
B ．45
C ．2
D ．2
1
7．若
8
75c
b a ==，且3a －2b +
c =3，则2a +4b －3c 的值是( ) A ．14 B ．42 C ．7 D ．
3
14
8．若
572z y x ==，
设A =z y x y ++，B =y z x +，C =x
z
y x -+，则A ，B ，C 的大小顺序为( ) A ．A ＞B ＞C B ．A ＜B ＜C C ．C ＞A ＞B D ．A ＜C ＜B
9．若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，32
AP AQ BP
BQ
==．求线段PQ 的
长．
10．已知：3a =5b =7c ．求：⑴b c b a ++的值； ⑵c
a c
b a +-+32的值．
11．已知：x ∶y ∶z=2∶3∶4．求：⑴
y y x 2+； ⑵z y x x 5323-+； ⑶z
y x z
y x --++2332．
12．若6
5
432+==+c b a ，且2a －b +3c =21．试求a ∶b ∶c ．
四、聚沙成塔
13．已知实数a ，b ，c 满足c
b
a b a c a c b +=+=+，求
a c
b +的值．
2．平行线分线段成比例
(1)如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5，
分别量度l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、
EF的长度，AB︰BC与DE︰EF相等吗? 任意平移l5，再量度AB、BC、DE、
EF的长度，AB︰BC与DE︰EF相等吗?
(2)问题，AB︰AC=DE︰( )，BC︰AC=( )︰DF．
(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理
三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

=_____=_____、
例1 如图，若AB=3c m，BC=5c m，EK=4c m，写出EK
KF
AB
_____=______。

求FK的长?
AC
平行线分线段成比例定理推论
思考：1、如果把图中l1、l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图(1)，所得的对应线段的比会
相等吗?
2、如果把图中l1、l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图(2)，所得的对应线段的比会相等吗?
3、归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的________线段的比_____。

3．相似多边形
图形的相似
例1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是( )
例2 一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少?
(1)如果a=125c m，b=75c m，那么长与宽的比是多少?
(2)如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少?
小结：上面分别采用m、c m、mm三种不同的长度单位，求得的a
b
的值是________的，所以说，
两条线段的比与所采用的长度单位_________，但求比时两条线段的长度单位必须________．例3 已知：一张地图的比例尺是1：32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5c m，求北京到上海的实际距离大约是多少km?
分析：根据比例尺=图上距离
实际距离
，可求出北京到上海的实际距离．
【巩固练习】
1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗? 2．如图，图形a～f中，哪些是与图形(1)或(2)相似的?
3、下列说法正确的是( )
A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B ．商店新买来的一副三角板是相似的.
C ．所有的课本都是相似的.
D ．国旗的五角星都是相似的.
【能力提升】
1、如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
(1)(小)长是_______c m ，宽是_______c m ； (大)长是_______c m ，宽是_______c m ； (2)(小)
=
长宽 ；(大)=长
宽 ． (3)你由上述的计算，能得到什么结论吗?
2、在比例尺是1：8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5c m ，那么福州与上海之间的实际距离是多少?
3、AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5c m ，那么这张平面地图的比例尺是多少?
相似多边形
如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．
【结论】：
(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______． 几何语言：在∆ABC 和∆A 1B 1C 1中
若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．
1
11111C A AC
C B BC B A AB == 则∆ABC 和∆A 1B 1C 1相似
(2)相似比：相似多边形__________的比称为相似比．
问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系? 结论：相似比为1时，相似的两个图形________． 例1 下列说法正确的是( )
A ．所有的平行四边形都相似
B ．所有的矩形都相似
C ．所有的菱形都相似
D ．所有的正方形都相似
例2、如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．
【巩固练习】
1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 c m ，求两地的实际距离．
2．如图所示的两个直角三角形相似吗? 为什么?
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．
【能力提升】
1． △ABC 与△DEF 相似，且相似比是
3
2
，则△DEF 与△ABC 与的相似比是( )． A ．32 B ．2
3 C ．52 D ．94
2． 下列所给的条件中，能确定相似的有( )
(1)两个半径不相等的圆；(2)所有的正方形；(3)所有的等腰三角形；(4)所有的等边三角形；(5)所有的等腰梯形；(6)所有的正六边形． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
3．已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10c m 和4c m ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6c m ，那么四边形A 1B 1C 1D 1中最长的边长是多少?
4．如图，AB ∥EF ∥CD ，CD=4，AB=9，若梯形CDEF 与梯形EFAB 相似，求EF 的长．
4．探索三角形相似的条件
四. 相似三角形
※1. 在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5. 相似三角形周长的比等于相似比.
※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
五. 探索三角形相似的条件
※1. 相似三角形的判定方法:
一般三角形直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截
得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；
②两条边对应成比例:
a. 两直角边对应成比例；
b. 斜边和一直角边对应成比例.
相似三角形
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A ′B ′C ′中，
如果∠A=∠A ′， ∠B=∠B ′， ∠C=∠C ′， 且
AB BC CA
k A B B C C A ===''''''
． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，
则有∠A=_____， ∠B=_____， ∠C=____， 且A C CA
C B BC B A AB '
'=
''=''． 问题：如果k =1，这两个三角形有怎样的关系?
【巩固练习】
如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4，AB=3，EC=1. 求AD 和BD.
【能力提升】
1．如图，△ABC ∽△AED ，其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．
【反思归纳】
● “三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此
在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
● 相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比
k A C CA
C B BC B A AB ='
'=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是
k
CA A C BC C B AB B A 1
=''=''=''，它们的关系是互为倒数．
思考：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E 。

问题：
(1)由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等?
(2)根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去? (作辅助线EF ∥AB) 你能证明AE ：AC=DE ：BC 吗? (3)写出△ABC ∽△ADE 的证明过程。

归纳总结：判定三角形相似的(预备)定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

例1 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1c m ，AE=4c m ，BC=5c m ，求DE 的长．
分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC
AE
AB AD =
，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据
AB
AD
BC DE =
求出DE 的长． 【巩固练习】
1．下列各组三角形一定相似的是( )
A ．两个直角三角形
B ．两个钝角三角形
C ．两个等腰三角形
D ．两个等边三角形
2．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
3、如图，AB ∥EF ∥CD ，图中共有 对相似三角形，写出来并说明理由。

4．如图，在 ABCD 中，EF ∥AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，求CD 的长．
【能力提升】
1．如图，DE ∥BC ，(1)如果AD=2，DB=3，求DE ：BC 的值；(2)如果AD=8，DB=12，AC=15，
DE=7，求AE 和BC 的长．
2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h ．(设网球是直线运动)
相似三角形
一、选择题
1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则
BC
DE
的值为( ) A ．
3
2 B ．
41 C ．31
D ．
2
1
2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
A ．
2
1
=BC DE B ．
21
=∆∆的周长的周长ABC ADE
C ．
的面积的面积ABC ADE ∆∆3
1
=
D ．
的周长的周长ABC ADE ∆∆3
1
=
3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )
A ．△AED ∽△AC
B B ．△AEB ∽△ACD
C ．△BAE ∽△ACE
D ．△AEC ∽△DAC
4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，
则CD 长为( )
A ．1
B ．
2
3
C ．2
D ．
2
5 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )
A ．
BC DE
DB AD =
B ．AD
EF
BC BF =
C ．FC BF EC AE =
D ．
BC
DE
AB EF =
8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件：
①∠B ＋∠DAC ＝90°；②∠B ＝∠DAC ；③CD ：AD ＝AC ：AB ；④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
二、填空题
9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯 光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．
10．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且6
1
EB AE ， 射线CF 交AB 于E 点，则
FD
AF
等于______． 11．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，
则四边形DEBC 的面积为______．
12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______． 三、解答题
13．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1． (1)求证：△ABD ∽△CBA ；
(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长．
15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．
18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C
点重合)，∠ADE＝45°．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
19．已知：如图，△ABC中，AB＝4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连结DC，设△ABC 的面积为S，△DCE的面积为S′．
(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,
y S
S x AD ='
=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．
5．相似三角形判定定理的证明
6．黄金分割
4．2黄金分割
一、目标导航
1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
2．
618.02
1
5≈-=AB AC
． 二、基础过关
1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ． 2．黄金矩形的宽与长的比大约为________(精确到0．001)．
3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然
得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处? 如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．(结果精确到0．1m )
三、能力提升
4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有
d
c
b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=5－1．其中正确的判断有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A ．AM ∶BM=A
B ∶AM B ．AM=
2
1
5-AB C ．BM=
2
1
5-AB D ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC)， 则AC ∶BC = ( )
A ．(5－1)∶2
B ．(5 +1)∶2
C ．(3－5)∶2
D ．(3+5)∶2 7．在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P ，Q ．则PQ ＝( )
A ．
215- B ．53- C ．25- D ．2
5
3- 8．已知线段M N = 1，在M N 上有一点A ，如果A N =
2
5
3-．求证：点A 是M N 的黄金分
割点．
四、聚沙成塔
9．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延
长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM、DM的长．
(2)求证：AM2=AD·DM．
(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?
7．测量旗杆的高度
8．相似三角形的性质
9．图形的放大与缩小
七. 图形的放大与缩小
※1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形；这个点叫做位似中心；这时的相似比又称为位似比.
※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3. 位似变换:
①变换后的图形，不仅与原图相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应点到这一交点
的距离成比例. 像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形，这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法，可以把一个图形放大或缩小.。