【数学八年级下册】导学案 北师大版 第一章《三角形的证明》

第一章三角形的证明
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【教学目标】
在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.
【教学重点】通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，【教学难点】是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

【教学过程】
一、课前预习
问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？
问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.
问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？
二、课内探究
（一）预习导学
本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？
等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．
（二）自主探究
通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；
等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）与直角三角形有关的结论：
勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)
（3）与一般三角形有关的结论：
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．
（三）研讨交流
命题的逆命题及其真假：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．
（四）达标测评
例1．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF.
求证：△ABC 是等腰三角形.
分析：要证△ABC 是等腰三角形，可证∠B=∠C.
例2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.
分析：由已知AC －BC=2，即AB －BC=2，要求AB 和BC 的长，利用方程的思想，需找另一个AB 与BC 的关系．
例1.
若等腰三角形腰上的高线等于腰长的一半，则其顶角为 例2.已知等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个等腰三角形的底角.
例3.如图，在△ABC 中，∠BAD=∠DAC ，∠ABC=2∠C 求证：AB+BD=AC
例
4.如图，在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC-BC=2,求AB 与BC 的长。

E D C
A
B
A
C
例5.如图，在四边形BCDE 中，∠C=∠BED=90°,∠B=60°,延长CD,BE,得到Rt △ABC.已知CD=2,DE=1,求Rt △ABC 的面积。

变式：如图，在四边形ABCD 中，AC=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD 的面积。

例6.如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE=CD,BE 和AD 相交于点P,BQ ⊥AD,垂足为Q,
(1)求∠BPD 的度数 （2）求证：BP=2PQ
B
B
B
C
D
例7.如图，已知∠AOB,B 为OB 边上一点，求作一点P ，使P 到射线OA 、OB 的距离相等，并且OP=PB.
（五）总结拓展 本章的内容总结如下：
三、课后巩固
1.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，则∠B ＝ 度．
2.等边△ABC 的周长为12cm ，则它的面积为 cm 2．
3.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA.
O
A
B
通过探索、猜测、计算、证明得到的定理
与等腰三角形、等边三角形有关的结论
与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假
尺规作图
线段的垂直平分线 角的平分线
P
Q
C
A B x
4.△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所成的锐角为40，则底角B 的大小为 。

5、在ΔABC 中，DB 平分∠ABC ，DC 平分∠ACB ，过D 作直线EF //BC ，交AB 、AC 于E 、F ，若AB =8，AC =7，则ΔAEF 的周长等于多少？
第一章测试题(1)
一、填空题(每空4分，共36分)
1．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，则∠B ＝ 度． 2．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是 度． 3．如图，AB ＝AD ，只需添加一个条件 ，就可以判定△ABC ≌△ADE.
4．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ． 5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 上的一点，且DA ＝DB ，DC ＝AC ．则∠B ＝ 度．
(第3题图) (第5题图) (第6题图)
6．如图,△ABC 中,∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于点D,∠A ＝30°,BD ＝1.5cm ，则AB= cm ．
7．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C ＝1:2:3，AB ＝6cm ，则BC ＝ cm ．
F D
E C
B
A
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝度.
9．等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为cm2．
二、选择题(每空4分，共28分)
10．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C ＝∠F
C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
11．下列命题中正确的是( )
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等
12．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是( )
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都是正确的
13．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则
线段DE的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
14．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设( )
A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C 15．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD．若△ABC不动，将△BDC绕B点旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为( ) A．AE＝CD B．AE>CD C AE<CD D．无法确定
16．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是( ) A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3D．2，2，4
三、解答题(每小题9分，共36分)
17．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC．
18．已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．求证：AD＝BE．
19．求证：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．
第一章测试题(2)
一、填空题(每空4分，共36分)
1．已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．
(第1题图) (第6题图) (第5题图)
2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为．
3．等腰直角三角形中，若斜边为16，则直角边的长为．
4．“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是
．
5．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.
7．在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = .
8．正三角形的边长为a，则它的面积为．
9．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的条件是，结论
是．
二、选择题(每空4分，共28分)
10．至少有两边相等的三角形是( )
A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形
11.以下命题中，正确的是( )
A．一腰相等的两个等腰三角形全等.
B．等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高.
C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等.
D．等腰三角形的角平分线、中线和高共7条或3条.
12．一架2.5 m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯足将滑( )
A．0.9 m B．1.5 m C．0.5 m D．0.8 m
13．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是( )
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
14．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC 的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为( ) A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm
C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
15．下列定理中，没有逆定理的是( )
A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形两腰上的高相等
C．全等三角形的周长相等D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似
16．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )
A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定
三、解答题(每小题9分，共36分)
17．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB.
18．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
19．只给你一根卷尺，请设计出合理的方案，检测一墙壁是否与地面垂直．
20．如图，CA=CB，DA＝DB，EA＝EB．(1)C、D、E三点在一条直线上吗?为什么?
(2)如果AB＝24，AD＝13，CA＝20，那么CD的长是多少?。