高中数学 第2章 空间向量与立体几何章末归纳总结课件

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面 ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大 小．
[解析] (1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如 图所示的空间直角坐标系A－xyz.
(2)面面平行的常见证法有两种：①由线面平行⇒面面平 行；②由法向量共线⇒面面平行．
2．利用空间向量判定线面、面面位置关系 [例2] 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA
＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. [分析] 建立合适的空间直角坐标系，可以借助共面向量定理
(2)由(1)可知，
所以P→C＝(b，a，－a)，P→M＝(b2，0，－a)，P→D＝(0，a，
－a)．
设平面 PMC 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
则nn11··PP→→CM＝＝00，
bx1＋ay1－az1＝0， ⇒b2x1－az1＝0，
解得x1＝2baz1， y1＝－z1.
设平面 A1BD 的一个法向量是 n＝(x，y，z)，则 n·D→A1＝0 且 n·D→B＝0，得xx＋ ＋zy＝＝00，， 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.所以 n＝(1，－1，－1)．又M→N·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，所 以M→N⊥n.又 MN 平面 A1BD，所以 MN∥平面 A1BD.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C， B1C1的中点．
求证：(1)MN∥平面A1BD； (2)平面A1BD∥平面B1D1C.
[证明] (1)方法一：如图所示，以 D 为 坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设 正方体的棱长为 1，则可求得 M(0,1，12)， N(12，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是M→N＝(12，0，12)， D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)．
[例1] 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点， N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与、共面．
[解析] A→1B＝A→B－A→A1，A→1M＝A→1D1＋D→1M＝A→D－12A→A1， A→N＝23A→C＝23(A→B＋A→D)．
∴A→1N＝A→N－A→A1＝23(A→B＋A→D)－A→A1 ＝23(A→B－A→A1)＋23(A→D－12A→A1) ＝23A→1B＋23A→1M. ∴A→1N与A→1B，A→1M共面．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 空间向量与立体几何
第二章 章末归纳总结
2 知识结构 3 专题探究 4 即时训练
知识结构
专题探究
1．空间向量的线性运算与数量积运算及其性质是本章的基础， 应熟练掌握
向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理， 是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨 论三点共线、直线平行、四点求得平面 A1BD 的一个法向量为 n＝(1，－1，－1)， 同理可求得平面 B1D1C 的一个法向量 m＝(1，－1，－1)，所以 m∥n，所以平面 A1BD∥平面 B1D1C.
[点评] (1)方法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论， 方法二和方法三没有建立坐标系，直接通过向量的分解等运算 进行证明，当然在方法二和方法三中也可通过建立坐标系，利 用坐标运算来证明，另外，在方法三中还可证明M→N可由A→1B， A→1D表示．
设 C(2 2，0,0)，D( 2，b,0)，其中 b>0，则 P(0,0,2)，E(432， 0，23)，B( 2，－b,0)．
于是P→C＝(2 2，0，－2)，B→E＝( 32，b，23)，D→E＝( 32，－ b，23)，
从而P→C·B→E＝0，P→C·D→E＝0， 故 PC⊥BE，PC⊥DE. 又 BE∩DE＝E，所以 PC⊥平面 BDE.
证明(1)，借助于法向量证明(2)．
[解析] 如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在 的直角分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
设 PA＝AD＝a，AB＝b.
(1)可知 P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． ∵M，N 分别为 AB，PC 中点， ∴M(b2，0,0)，N(b2，a2，a2)． ∴M→N＝(0，a2，a2)，A→P＝(0,0，a)，A→D＝(0，a,0)， ∴M→N＝12A→D＋12A→P. 又∵MN 平面 PAD，∴MN∥平面 PAD.
令 z1＝b，则 n1＝(2a，－b，b)． 设平面 PDC 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 则n2·P→C＝0，n2·P→D＝0 ⇒baxy22－ －aayz22＝－0a，z2＝0，
解得xy22＝ ＝0z2，. 令 z2＝1，则 n2＝(0,1,1)． ∵n1·n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2. ∴平面 PMC⊥平面 PDC.
方法二：因为M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C＝12(D→1A1－ D→1D)＝12D→A1，所以M→N∥D→A1，又因为 MN 平面 A1BD，所以 MN∥平面 A1BD.
方法三：因为M→N＝C→1N－C→1M＝12D→1A1－12D→1D＝12(D→B＋B→A) －12(D→1A1＋A→1D)＝12D→B＋12B→A－12D→1A1－12A→1D＝12D→B＋12D→A1＋12 (B→A－D→A)＝12D→B＋12D→A1＋12B→D＝12D→A1＋0·D→B.即M→N可用D→A1与 D→B表示，故M→N与D→A1，D→B是共面向量，所以M→N∥平面 A1BD， 即 MN∥平面 A1BD.