2019版理数苏教版练习：第十一章第四节随机事件的概率含解析

合集下载

(江苏专用)高考数学大一轮复习第十一章概率 11.2 古典概型课件文苏教版

解答
题型三古典概型与统计的综合应用例3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…， [80,90)，[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率 P＝1－6×6 6＝56.
题型分类深度剖析
题型一基本事件与古典概型的判断例1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出： ①试验的基本事件；解答
跟踪训练2 (1)(2016·全国乙卷改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4
种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花 2
坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_3__. 答案解析
从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)， (黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝46＝23 .
§11.2 古典概型
内容索引
基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业
基础知识自主学习
知识梳理

高考数学一轮复习第11章概率与统计11.1随机事件及其概率练习(含解析)苏教版

高考数学一轮复习第11章概率与统计11．1随机事件及其概率练习（含解析）苏教版一、填空题1．下列说法：①频率反映了事件发生的频繁程度，概率反映了事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率就是事件A 发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有__________．2．下列事件中，①方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根；②某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；③下周六会下雨．随机事件的个数为__________．3．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则合格产品最可能是__________件．4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是__________．5．从15个同类产品(其中有12个正品，3个次品)中，任意抽取4个的必然事件是__________．6．在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为__________．7．(2012浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是__________． 8．从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球，有如下几对事件：①取出“两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”；②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”，其中是对立事件的有__________(只填序号)．9．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题．某人说：“每个选项正确的概率是14，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题选择的结果是正确的．”这句话对吗？__________.(填“正确”或“错误”)二、解答题10．某市统计的2009～2012年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间 2009年 2010年 2011年 2012年新生婴儿数 21 840 23 070 20 094 19 982男婴数 11 453 12 031 10 297 10 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001)；(2)该市男婴出生的概率约是多少？11.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．12．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16. (1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．参考答案一、填空题1．①④⑤2．2 解析：①方程的判别式Δ＝22－4×8＝－28＜0，方程有两个实根是不可能事件；②和③可能发生也可能不发生，是随机事件．3．9 解析：因为产品的合格率为90%，抽出10件产品，则合格产品最可能是10×90%＝9(件)．这是随机的．4．0.3 解析：1－0.42－0.28＝0.3.5．至少含有一个正品6．0.80 解析：令“能上车”记为事件A ，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P (A )＝0.20＋0.60＝0.80. 7.25 解析：五点中任取两点的不同取法共有10种，而两点之间距离为22的情况有4种，故概率为410＝25. 8．③ 解析：从5红5白的10个球中任取3个，其所有结果为：3白，2白1红，1白2红，3红共4种情况，其中取出3球至少有一只白球包括：1白2红，2白1红，3白，故只有③为对立事件．9．错误解析：解答一个选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择正确的概率是14，做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证有3道题的结果选择正确，同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确，所以上述说法错误．二、解答题10．解：(1)2009年男婴出生的频率为f n (A )＝n A n ＝11 45321 840≈0.524. 同理可求得2010年，2011年和2012年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512，0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.11．解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000. 12．解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16，解得x ＝4，∴红色球有4个． (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A ，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以，P(A)＝5 12 .。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十一章统计高考专题突破六含答案精品

高考专题突破六高考中的概率与统计问题【考点自测】1．在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．答案 π4解析由题意知，可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．答案 34解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，不等式组表示的平面区域如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 3．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差V (ξ)＝________. 答案 25解析从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以ξ的均值E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，V (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为________．答案 33解析根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班男生的人数为33. 5．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员的成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案 4 解析第一组(130,130,133,134,135)，第二组(136,136,138,138,138)，第三组(139,141,141,141,142)，第四组(142,142,143,143,144)，第五组(144,145,145,145,146)，第六组(146,147,148,150,151)，第七组(152,152,153,153,153)．故成绩在[139,151]上的恰有4组，故有4人．题型一古典概型与几何概型例1 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e ，在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是________．答案 1－1e解析当0≤x <1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e ≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e ，∴所求概率为e －1e ＝1－1e.(2)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为________．答案 12解析记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．答案 23解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2. 由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.(2)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．答案2－32解析易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，又大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.题型二求离散型随机变量的均值与方差例2 (2017·南京模拟)《最强大脑》是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节目．该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克．某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，A ，B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立． (1)求比赛结束时A 队的得分高于B 队得分的得分的概率； (2)求比赛结束时B 队得分X 的概率分布和均值．解 (1)记第i 局A 队胜为事件A i (i ＝1,2,3,4)，比赛结束时A 队得分高于B 队得分的事件记为C ，则P (C )＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 3)[1－P (A 1A2A 4)]＝12.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5. 则P (X ＝0)＝P (A 1A 2A 3A 4)＝116，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫124＝316，P (X ＝2)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋C 23⎝⎛⎭⎫124＝14， P (X ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫124＝316， P (X ＝5)＝116，P (X ＝3)＝1－116－316－14－116－316＝14.X 的概率分布为E (X )＝0×116＋1×316＋2×14＋3×14＋4×316＋5×116＝52.思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．跟踪训练2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的概率分布；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)由题意得，X 1的概率分布为X 2的概率分布为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．题型三概率与统计的综合应用例3 2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试． ①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入第二轮面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的概率分布和均值．解 (1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组、第4组、第5组中分别抽取3人、2人、1人． ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的概率分布为E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.跟踪训练3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的均值．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的概率分布为所以E (T )＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.1．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________．答案 29解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1294＝29. 2．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本平均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4(名)优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.3．(2014·江苏)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P .(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数．求X 的概率分布和均值E (X )．解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的均值E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.4．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如下：(1)求a 的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解 (1)由概率分布的性质得0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2. ∴ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”，事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每月均被投诉1次”，则 P (A 1)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝0.3×0.3＝0.09，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.5．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的概率分布和均值．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ， “有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ， “有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60. P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P (X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148.故X 的概率分布为E (X )＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.6．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X ，求X 的均值和方差．解 (1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知，得p ＝14.5731＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P ＝C 23×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35.(2)由题意，知X ～B (12,0.47)．所以X 的均值E (X )＝12×0.47＝5.64， X 的方差V (X )＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.7．将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1,2,3，…，12.抛掷该玩具一次，记事件A ：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如9＝32,9是完全平方数)．(1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷该玩具一次，若事件A 发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 没有发生，则甲得0分；②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分． (ⅰ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值； (ⅱ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；(2)抛掷该玩具一次，记事件B ：向上一面的点数不超过k (1≤k ≤12)．若事件A 与B 相互独立，试求出所有的整数k .解 (1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X ，Y . (ⅰ)易得X ，Y 的概率分布分别为故E (X )＝7，E (Y )＝132.(ⅱ)P ＝P (X ＝6,1≤Y ≤6)＋P (X ＝24)＋P (X ＝54) ＝112×612＋112＋112＝524. (2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为12，事件A 包含3个基本事件(1点，4点，9点)．记n (AB )，n (B )分别表示事件AB ，B 包含的基本事件数，由P (AB )＝P (A )P (B )及古典概型，得n (AB )12＝312·n (B )12，所以n (B )＝4n (AB )，① 故B 事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k ∈{4,8,12}，当k ＝4时，n (B )＝4，AB ＝{1,4}，n (AB )＝2，不符合①，当k＝8时，n(B)＝8，AB＝{1,4}，n(AB)＝2，符合①，当k＝12时，n(B)＝12，AB＝{1,4,9}，n(AB)＝3，符合①，故k的所有可能值为8或12.。

(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习第十一章概率 11.3 几何概型教师用书文苏教版

（江苏专用）2019版高考数学大一轮复习第十一章概率 11.3 几何概型教师用书文苏教版1．几何概型的概念设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．答案 13解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间的长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为________．答案 34解析由－1≤12log ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34. 3．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.4．(2017·盐城模拟)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案π120解析屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 5．(高考改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)58 (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷改编)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．答案 (1)12 (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷改编)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．答案4mn解析由题意得 (x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4m n.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·徐州模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·泰州模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．(2)(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 (1)3π64 (2)14解析 (1)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B (43，－43)，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π4163＝3π64.(2)由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32，∴P ＝326＝14.题型三与体积有关的几何概型例4 (1)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是________．答案 (1)127 (2)78解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.11．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________．错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)12现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33 (2)34纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·南通模拟)在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则△PAB 的面积大于等于14的概率是______．答案 12解析设△PAB 的高为h ，则12×1×h ≥14，故h ≥12. 又因为0<h <1，故△PAB 的面积大于等于14的概率是121＝12.2．(2016·南京模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为________．答案 35解析方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)，故所求概率为P ＝5－25－0＝35. 3．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.4.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．若向正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．答案 83解析 ∵向正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形. 又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83.5．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______．答案 12解析如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．答案 1－2π解析设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13，故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.10．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案 1－π24解析由题意作图，如图，则点P 应落在深色阴影部分，S △＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个，故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分．所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。

高中数学第十一章知识点复习总结(精华版)——概率

高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．§11. 概率知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有261522B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.互斥对立iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计．总体期望值和方差的估计．考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布．（3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNkn MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有nb a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n b a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nk n k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.n n 2211期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ. ⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2221)(σσπ-=ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。

2019届一轮复习苏教版(文) 第11章第4节随机事件的概率课件

①P(A)＞P(B) ③P(A)＝P(B) ②P(A)＜P(B) ④P(A)、P(B)大小不确定
解析：横坐标与纵坐标为 0 的可能性是一样的．
4．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 7 8 ________ ．
5．下列说法： ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； m ②做 n 次随机试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率 n 就是事件的概率； ③百分率是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．
3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：
[0,1] ．
(2)必然事件的概率 P(Ω)＝ 1 . (3)不可能事件的概率 P(∅)＝ 0 . (4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A＋B)＝ (5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A＋B 为必然事件． P(A＋B)＝ 1 ，P(A)＝ 1－P(B) ．
2．互斥事件与对立事件 (1) 不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件 A1，A2，„，An 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件 A1，A2，„，An 彼此互斥设 A、B 为互斥事件，若事件 A、B 至少有一个发生，把这个事件记为 A＋B . (2)对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件 A 的对立事件通常记为 A .
第十一章统计与概率第四节随机事件的概率
主干知识自主排查
C
目录
ONTENTS
核心考点互动探究真题演练高考预测课时作业知能提升

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第二节随机事件及其概率课件文

[小题纠偏]
1．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为 80% ，则下列解释正确的是 ________(填序号)． ①明天本地有 80%的区域降雨， 20%的区域不降雨； ②明天本地有 80%的时间降雨， 20%的时间不降雨； ③明天本地降雨的可能性是 80%； ④以上说法均不正确．
解析：①②显然不正确．因为 80%的概率是说降雨的概率，而不是说 80%的区域降雨，更不是说有 80%的时间降雨，是指降雨的可能性是 80%.
解析：①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥．
答案：①④
2．已知非空集合 A，B，且集合 A 是集合 B 的真子集，有下面 4 个命题： ①“若 x∈ A，则 x∈ B”是必然事件； ②“若 x∉ A，则 x∈B”是不可能事件； ③“若 x∈ B，则 x∈ A”是随机事件； ④“若 x∉ B，则 x∉ A”是必然事件．其中正确的命题有________(填序号 )．
解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题．
答案：①③④
3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两次都击中飞机 }， B＝{两次都没击中飞机 }， C＝{恰有一次击中飞机}， D＝{至少有一次击中飞机 }，其中彼此互斥的事件是 ________，互为对立事件的是 ________．
解析：设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为互斥事件．而 B∩D ＝∅，B∪D＝I，故 B 与 D 互为对立事件．
答案：A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D
[谨记通法]
判断互斥、对立事件的 2 种方法 (1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．

2019届苏教版(理科数学) 随机事件的概率单元测试

提升训练（56）随机事件的概率一、选择题1.(2016·烟台模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5【解析】选 C.“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,所以所求概率为P=1-P(A)=0.35.2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶【解析】选D.射击两次有四种可能:(中,不中)、(不中,中)、(中,中)、(不中,不中),其中“至少有一次中靶”含有前三种情况,选项A,B,C中都有与其重叠的部分,只有选项D为其互斥事件.3.(2016·枣庄模拟)从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是( )A.①B.②④C.③D.①③【解析】选C.从9个数字中取两个数有三种取法:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.4．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12解析：“能乘上所需要的车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C5．(2013·江西)集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.16答案 C解析从A 、B 中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种情况，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种情况，所求概率P ＝26＝13，选C.6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78 答案 D解析方法一：4位同学各自在周六、周日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，C 41A 22＝8(种)；②每天二人，有C 42＝6(种)，所以P ＝8＋616＝78.方法二(间接法)：4位同学各自在周六、周日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P ＝1－216＝78.7．(2017·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为( )A.944B.2544C.3544D.3744[解析] 白球没有减少的情况有：①抓出黑球，放入任意球，概率为58.②抓出白球放入白球，概率为38×511＝1588，所求事件概率为：58＋1588＝3544.故选C.[答案] C8．(2017·山东烟台调研)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回的每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364[解析] 从8个球中有放回地取2次(每次取一个球)，所取两球的编号共有8×8＝64种，其中两编号和不小于15的有3种：(7,8)，(8,7)，(8,8)．则所求概率P ＝364，故选D.[答案] D 二、填空题9．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为．[解析] 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.[答案] 0.310．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝ . 解析：将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1、2”与事件D “朝上一面的数为3、5”．则C 、D 互斥，则P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.答案：2311．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43.⇒54<a ≤43. 答案：(54，43]12．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为．[解析] 因为一枚硬币连掷5次，没有正面向上的概率为125，所以至少一次正面向上的概率为1－125＝3132.[答案]313213．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．[解析] 基本事件的总数为10×9＝90(个)，甲、乙二人均抽到判断题的基本事件的个数是4×3＝12，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－1290＝1315.[答案]131514.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为．[解析] 因为随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且分别为P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<3a －4<1，2a －2≤1.解得43<a ≤32.[答案] ⎝⎛⎦⎤43，32 三、解答题15．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7 10环的概率如表所示：(1)射中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．[解] 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥． (1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得：P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生．由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.16．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？[解] 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.17．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10 ，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20 ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十一章统

§11.1 抽样方法考情考向分析在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填空题为主，属于中低档题．1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N 的总体中逐个不放回地取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当Nn 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n ，并将剩下的总体重新编号；(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出．3．分层抽样(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．(2)分层抽样的应用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(√)(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(×)(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．(√)(5)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(×)(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)题组二教材改编2．[P52习题T1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．答案分层抽样法解析从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．3．[P52习题T4]某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．答案15解析从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为310，所以应从高二年级抽取学生人数为50×310＝15.4．[P52习题T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．答案16解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16.题组三易错自纠5．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则________．答案p1＝p2＝p3解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案 1 800解析分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．题型一简单随机抽样1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是________．(填序号)①这次抽样中可能采用的是简单随机抽样；②这次抽样一定没有采用系统抽样；③这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率；④这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率．答案①解析利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，①正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，②错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，③和④均错误．2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.3．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．答案514解析由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514.思维升华应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．题型二系统抽样典例 (1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案 4解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．答案 12解析由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”)解析若55被抽到，则55＝5＋20n ，n ＝2.5，n 不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．答案 28解析因为在编号[481,720]中共有720－480＝240(人)，又在[481,720]中抽取8人，所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________．答案 25,17,8解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.题型三分层抽样命题点1 求总体或样本容量典例 (1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________. 答案 13解析 ∵360＝n 120＋80＋60，∴n ＝13.(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________. 答案 90解析由题意，得33＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90.命题点2 求某层入样的个体数典例 (1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.答案 180解析由题意，得抽样比为3201 600＝15， ∴该样本中的老年教师的人数为900×15＝180.(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人．答案 108解析由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 10022 500＝108.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．跟踪训练 (1)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝________. 答案 1 040解析分层抽样是按比例抽样的，所以81× 1 2001 000＋1 200＋n＝30，解得n ＝1 040.(2)(2017·盐城二模)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为________．答案30解析参与调查的总人数为150，由8∶n＝40∶150，得n＝30.。

高考数学总复习 10-4 随机事件的概率课件苏教版

5．(2012· 高考安徽卷)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于________．解析：将同色小球编号．从袋中任取两球，所有基本事件为： (红，白 1)，(红，白 2)，(红，黑 1)，(红，黑 2)，(红，黑 3)，(白 1，白 2)， (白 1，黑 1)，(白 1，黑 2)，(白 1，黑 3)，(白 2，黑 1)，(白 2，黑 2)，(白
【基础自测】 1．(2011· 高考浙江卷)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是________．解析：解法一 (直接法)：所取 3 个球中至少有 1 个白球的取法
可分为互斥的两类：两红一白有 6 种取法；一红两白有 3 种取法， 9 而从 5 个球中任取 3 个球的取法共有 10 种，所以所求概率为 . 10 解法二 (间接法)：至少有一个白球的对立事件为所取 3 个球中
3．概率对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．
4．事件的关系与运算定义包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 符号表示 B ⊇ A( 或 A ⊆B)
(2)概率定义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”、“估计”是不同的，也就是说：单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的 “可能性”．
1 9 没有白球，即只有 3 个红球，共 1 种取法，故所求概率为 1－＝ . 10 10 答案： 9 10

2019—2020年最新苏教版高中数学必修三《随机事件及其概率》课时同步练习及解析.docx

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修三第3章概率 3.1 随机事件及其概率课时目标在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．1．随机现象在一定条件下，____________________________，这种现象就是确定性现象．在一定条件下， ____________________________________________________________，这种现象就是随机现象． 2．事件对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次________．而试验的每一种可能的结果，都是一个________． 3．随机事件在一定条件下，______________的事件叫做必然事件．____________________叫做不可能事件．__________________叫做随机事件． 4．随机事件的概率(1)定义：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的________会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的________，记作________．(2)性质：对于任意一个随机事件A ，P (A )的范围是__________． (3)用Ω和Ø表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝____，P (Ø)＝____.一、填空题1．下列事件中：①如果a >b ，那么a －b >0；②将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；③三个小球全部放入两个盒中，其中一个盒子里有三个球；④若x ∈R ，则x 2<0.其中是随机事件的为________．(填序号)2．将一颗骰子抛掷600次，掷出点数大于2的次数大约是________次．3．一个口袋内装有大小相同且编号为1,2,3,4的四个乒乓球，从中任意摸出2球，则这一试验共有______种可能性．4．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为m n，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与mn的关系是______________．5．在一篇英文短文中，共使用了6 000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e ”共使用了900次，则字母“e ”在这篇短文中的使用的频率为________．6．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况________．(填序号) ①这100个铜板两面是一样的； ②这100个铜板两面是不一样的；③这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的； ④这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的． 7．盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球． (1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________； (2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________； (3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．9．从12个同类产品(其中10个正品，2个次品)，任意抽取6件产品，下列说法中错误的是________．(填序号)①抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品； ②抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品；③抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品； ④抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品．二、解答题10．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：直径个数直径个数 6.88<d ≤6.89 1 6.93<d ≤6.94 26 6.89<d ≤6.90 2 6.94<d ≤6.95 15 6.90<d ≤6.91 10 6.95<d ≤6.96 8 6.91<d ≤6.92 17 6.96<d ≤6.97 2 6.92<d ≤6.93176.97<d ≤6.982从这100个螺母中任意抽取一个，求(1)事件A (6.92<d ≤6.94)的频率； (2)事件B (6.90<d ≤6.96)的频率； (3)事件C (d >6.96)的频率； (4)事件D (d ≤6.89)的频率．11．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．能力提升12．掷一枚骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题： (1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)1．事件A 发生的概率P (A )＝m n，在实际生活中并不意味着n 次试验中，事件A 一定发生m 次，有可能多于m 次，也有可能少于m 次，甚至有可能不发生或发生n 次． 2．大概率事件经常发生，小概率事件很少发生．反之，一次试验中已发生了的事件其概率也必然很大，利用这一点可以推断事情的发展趋势，做出正确的决策．3．概率广泛应用于体育运动、管理决策、天气预报以及某些科学实验中，它在这些应用中起着极其重要的作用．3．1 随机事件及其概率知识梳理1．事先就能断定发生或不发生某种结果某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果 2.试验事件 3.必然会发生肯定不会发生的事件可能发生也可能不发生的事件 4.(1)频率概率 P(A) (2)0≤P(A)≤1 (3)1 0 作业设计 1．②③解析 ①是必然事件，④是不可能事件，②、③是随机事件． 2．400解析 N ＝46×600＝400.3．6解析可能出现以下情形：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 4．P(A)≈mn5．0.15解析频率＝9006 000＝0.15.6．①解析一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大． 7．(1)不可能 0 (2)随机 49(3)必然 1 8．750解析设池塘约有n 条鱼，则含有标记的鱼的概率为30n ，由题意得：30n ×50＝2，∴n ＝750. 9．①③④解析由于12个产品的正品率为1012＝56，次品率为212＝16，故抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品．10．解 (1)事件A 的频率 f(A)＝17＋26100＝0.43.(2)事件B 的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C 的频率f(C)＝2＋2100＝0.04.(4)事件D 的频率f(D)＝1100＝0.01. 11．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A ，由题意知，A 为不可能事件，∴P(A)＝0.(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B ，由题意知P(B)＝50250＝15＝0.2.(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C ，由题意知事件C 为必然事件，所以P(C)＝1.12．解抛掷一枚骰子得到6点的概率是16，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占16，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率P ＝8 51310 000＝0.851 3.(2)30 000个鱼卵大约能孵化30 000×8 51310 000＝25 539(尾)鱼苗．(3)设大概需备x 个鱼卵，由题意知5 000x ＝8 51310 000.∴x ＝5 000×10 0008 513＝5 900(个)．∴大概需备5 900个鱼卵．。

(江苏专用)高考数学大一轮复习第十一章概率 11.1 随机事件的概率教师用书文苏教版-苏教版

11.1 随机事件的概率1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A(或A ⊆B )相等关系若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B(或A ＋B )交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B (或AB )互斥事件若A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝∅)，那么称事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件P (A )＋P (B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值X 围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．( ×)(2)随机事件和随机试验是一回事．( ×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √)(6)两互斥事件的概率和为1.( ×)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是________．答案1 5解析基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为315＝1 5.2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是________．(填序号)①必然事件②随机事件③不可能事件④无法确定答案②解析抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．答案0.3解析因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一事件关系的判断例1 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________．(2)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的____________条件．答案 (1)③ (2)充分不必要解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．(3)(2016·某某模拟)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与C ；④C 与E .解 ①由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．②事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件．③事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件． ④由③的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件；②若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件； ③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 为对立事件； ④若事件A 与B 互为对立事件，则事件A ∪B 为必然事件．其中，真命题是________．答案 ②④解析对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M 与N 是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A 、B 为对立事件，则在一次试验中A 、B 一定有一个要发生，故④正确．题型二随机事件的频率与概率例2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． (2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．(2015·)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解方法一从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二设红球有n 个，则n12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个．又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1X 奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1X 奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率．解 (1)记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥．记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ，所以P (G )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 方法二记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.21．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人) 1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规X解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[7分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[10分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[14分]1．(2016·宿迁模拟)甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为15，甲、乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为________．答案 45解析乙不输棋的概率为1－15＝45.2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为________．答案 ②解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．3．(2016·某某模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．答案 0.35解析 ∵“抽到的产品不是一等品”与事件A 是对立事件，∴所求概率P ＝1－P (A )＝0.35. 4．(2016·某某模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是________． ①A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件．答案 ④解析由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，④正确．5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为________．答案0.7解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案0.45解析设区间[25,30)对应矩形的高为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．答案③②①8．(2016·某某模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.9．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是________________．答案 (54，43]解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A <1，0<P B <1，P A ＋P B ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 10．(2016·某某某某五中期中)一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．答案 0.2解析记事件A ，B ，C 分别是摸出红球，白球和黑球，则A ，B ，C 互为互斥事件且P (A ＋B )＝0.58，P (A ＋C )＝0.62，所以P (C )＝1－P (A ＋B )＝0.42，P (B )＝1－P (A ＋C )＝0.38，P (A )＝1－P (C )－P (B )＝1－0.38－0.42＝0.2.11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．解(1)记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N，k≤10)，则事件A k之间彼此互斥．记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”．又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)(1)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第十节离散型随机变量及其概率分布

1．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分 (分数高者胜)，求X 的所有可能取值．解析：X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对． X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．所以X 的可能取值为：－1,0,1,2,3.2．一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取得白球为止，求取球次数的概率分布．解析：设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3,4,5， P (ξ＝1)＝1A 15＝15，P (ξ＝2)＝A 14A 25＝15，P (ξ＝3)＝A 24A 35＝15，P (ξ＝4)＝A 34A 45＝15，P (ξ＝5)＝A 44A 55＝15，∴随机变量ξ的概率分布为：3.若离散型随机变量X试求出常数c ，并写出X 解析：由题意⎩⎨⎧(9c 2－c )＋(3－8c )＝1，9c 2－c ≥0，3－8c ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝13或23，19≤c ≤38，解之得c＝13，从而X的概率分布为：4.某校组织一次冬令营活动，5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．(1)求X的概率分布；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．解析：(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝m)＝C m M C n－mN－MC n N算出其相应的概率，即X的概率分布为(2)P(X＝1)＋P(X＝2)＝1556＋1528＝4556.5．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的概率分布及其数学期望Eξ.解析：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的概率分布为所以 Eξ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.6．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的概率分布； (2)求ξ的数学期望．解析：(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，所以ξ的概率分布为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．7．一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球； ①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布． (2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．解析：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为X ，则P (A )＝1－C 210－XC 210＝79，得到X ＝5.故白球有5个．②随机变量X 的取值为0,1,2,3，其中P (X ＝0)＝C 35C 310＝112，P (X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P (X ＝3)＝C 35C 310＝112.∴X 的概率分布是(2)证明：设袋中有n 由题意得y ＝25n ，所以2y ＜n,2y ≤n －1，故y n －1≤12.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则P (B )＝25＋35×yn －1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．8．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3,4的四个小球．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为x 、y ，记X ＝|x －y |. (1)求随机变量X 的概率分布； (2)求随机变量X 的数学期望；(3)设“函数f (x )＝nx 2－Xx －1(x ∈N ＋)在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．解析：(1)X 的所有取值为0,1,2,3，∵X ＝0有⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，，⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4四种情况．X ＝1时，有⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2，⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1，⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝4，⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3六种情况． X ＝2时，有⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝1，⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2四种情况．X ＝3时，有⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1两种情况．∴P (X ＝0)＝416＝14，P (X ＝1)＝616＝38， P (X ＝2)＝416＝14，P (X ＝3)＝216＝18. 则随机变量X 的概率分布为：(2)数学期望E (X )＝0×14＋1×38＋2×14＋3×18＝54. (3)∵函数f (x )＝nx 2－Xx －1在(2,3)有且只有一个零点， ∴①当f (2)＝0时，X ＝2n －12，舍去． ②当f (3)＝0时，X ＝3n －13，舍去．③当f (2)f (3)＝(4n －1－2X )(9n －1－3X )＜0时， ∴2n －12＜X ＜3n －13. 当n ＝1时，32＜X ＜83， ∴X ＝2.当n ≥2且n ∈N ＋时，X＞2n－12≥72，∴当n＝1时，P(A)＝P(X＝2)＝1 4.当n≥2且n∈N＋时，P(A)＝0.故当n＝1时，事件A发生的概率为1 4；当n≥2时，事件A发生的概率为0.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、填空题
1．给出关于满足A B 的非空集合A 、B 的四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．
其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 解析：∵A
B ，∴A 中的任一元素都是B 中的元素，
而B 中至少有一个元素不在A 中．因此①正确，②错误，③正确，④正确．答案：①③④
2．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝1
6
，则出现奇数点或2点的概率之和为________．
解析：出现奇数点或2点的事件为A ∪B.
P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
2＋1
6＝4
6＝2
3
.
答案：2
3
3．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
则至少有两人排队的概率为________．
解析：P＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.
答案：0.74
4．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为______和________．
解析：P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
5．三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
解析：记写有字母E的两张卡片分别为E1，E2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为BE1E2E2E1，E1BE2E2B，E2BE1E1B，共6种，其中三张卡片
恰好排成英文单词BEE的事件个数为2，故所求的概率P＝2
6
＝
1
3
.
答案：1 3
6．有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，则这个零件为一等品的概率为
________．
(2)从一等品零件中，随机抽取2个，则这2个零件直径相等的概率为
________．
解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随
机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝
6
10
＝
3
5
.(2)“从一等品零件中，随机
抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，
{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种，所以P(B)＝
6
15
＝
2
5
.
答案：3
5
2
5
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________．
解析：1－0.03－0.01＝0.96.
答案：0.96
8．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．。

2019版理数苏教版练习：第十一章 第四节 随机事件的概率 含解析

(江苏专用)高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型课件 文 苏教版

高考数学一轮复习 第11章 概率与统计11.1随机事件及其概率练习(含解析)苏教版

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十一章 统计高考专题突破六 含答案 精品

(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 苏教版