数理统计6.1PPT
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(1)子样矩在一定程度上反 映了母体矩的特征 . (2)许多分布中的未知参数 都是母体矩的函数 , 如N ( , 2 )
E (一阶原点矩)
Sn2
D (二阶中心矩 )
E
解法步骤 :
D
S
2 n
1 n
n
(i
i 1
)2
设母体 ~ f ( x;1,2 ,,k ) 其中 (1 , , k ) 为未知参数
1.如何构造合适的统计量 来估计未知参数 ? 常用点估计方法
2.对于由不同方法构造的 某个参数的不同统计量 , 如何比较优良性 ? 估计的优良性判别标准
常估用计点的优估良计性方标法准极: 相大矩合似法性然估、估计无计偏性及有效 性 6.1.2 矩法估计(皮尔逊:替换原则) 思想 : 用子样的矩和经验分布 函数代替母体的矩和分 布
方法 : (1)点估计 以子样的某一函数值作 为母体中未知参数的估 计值 .
(2)区间估计 给出总体未知参数所在 范围,并指出在这范围内 包含总体参数的概率 .
注解 随机变量 的概率函数为 f ( x)指 :
为连续型 : f ( x)为 x的概率密度函数值 为离散型 : f ( x)为 x的概率分布函数值
若取S
2 n
n n 1
S
2 n
所以, 修正样本方差Sn2是D的无偏估计量.
注:
n
,
ESn2
n 1 n
D
D
定义 :
设ˆ为的一个估计, 若当n 时, Eˆ ,则称ˆ为的
渐近无偏估计.
例2 : 设母体 具有均匀分布 , 其密度函数为
f
(
x;
)
1
0 x ,0 ,求参数 的矩法估计 .
0
无偏估计量的直观意义 是无"系统偏差",即平均偏差为零 .
例5 :
设E , D为母体的期望和方差
,已知 E , D
S
2 n
.
试讨论
:
,
S
2 n
是否是
E
和
D
的无偏估计量
.
解 : (1) E E , D D . n
(
2)
E
(
S
2 n
)
n 1 n
D
(Th5.1) 所以, Sn2不是D的无偏估计量.
Ch6 点估计
数理统计 : 选取一定的子样以及从 子样出发推断母体分布 .
统计推断 (statistical inference) : 从样本出发来推断总体 的过程 .
参数的统计推断问题 统计推断
非参数方法 (分布自由法 )
参数的统计推断
参数假设检验问题
参数估计问题
点估计 区间估计
Def : 根据子样直接来估计母 体参数的问题称为参数 估计.
2
12
即E 2 D (E )2 ( )2 ( )2
12
4
2 2
3
(2)令1 E ,2 E 2 2
即
2
2
2
3
2
化简得
:
(2
2 )2 3
2
2
3S
2 n
Sn2
1 n
n
2 i
i 1
2
2 2
所以,
ˆ ˆ
3Sn 3Sn
解二 : (1)首先已知 E , D ( )2
2
12
由例1可知 : E ,
D
S
2 n
(
2)直接得
:
(
2
)2
12
Sn2
( )
解得
:
ˆ ˆ
பைடு நூலகம்
3Sn 3Sn
6.1.3 估计量优良性判别标准
1.一致估计(相合性)
定义6.1 设ˆ是的估计量,如当样本容量n ,ˆ依概率收敛到 ,
即 :
0, lim P{ˆ n
} 0. lim P(ˆ n
其他
解 : (1)求出母体的一阶原点矩 E
E
0
x
1dx
1
x2 2
0
2
(2)令1 ,即E
作业： p.312 4(1)(2)
ˆ 2 Eˆ 2E 2 .
2
2
f
(
x;
)
1
0 x ,0 ,求参数 的矩法估计 .
0
其他
解 : (1)求出母体的一阶原点矩 E
E
0
x
1dx
1
x2 2
0
2
(2)令1 ,即E ˆ 2
2
例3 : 设母体 服从均匀分布 U ( , ), 试求参数 和的矩估计量 .
解一 : (1)首先已知 E , D ( )2 E 2 (E )2
解 : (1)已知母体的一阶原点矩 为E , 二阶中心矩为D 则母体的二阶原点矩 E 2 D (E )2
(2)令1 E ,2 E 2 2
即E
2
E D (E )2
2
解上述方程组得 : E
D 2 ( )2
1 n
n
2 i
i 1
2
Sn2
E
D
S
2 n
例2 : 设母体 具有均匀分布 , 其密度函数为
§6.1 矩法估计
6.1.1 估计量和估计值
设母体 ~ f ( x;1,2 ,,k ) 其中 (1 , , k ) 1.估计量 统计量
称为参数空间 .
用子样的某一函数值作 为母体中未知参数的估 计值 . 设1,2 ,,n是取自母体的一个子样 ,( x1, x2 ,, xn )是子样的一组观测值
构造统计量 ˆi ˆi (1,2 ,,n ), 若用ˆi的值来估计i , (i 1,2,, k ) 则称统计量 ˆi为i的估计量.
2.估计值 估计量 ˆi ˆi ( x1, x2 ,, xn )的值叫参数 i的 估计值.
在不混淆的情况下 , 估计量和估计值都统称 为估计, 并都简记为ˆi.
问题 :
) 1
则称ˆ为的相合估计量,又称一致估计量.
直观上 , 相合性要求当试验次数 n不断增加时 , 估计 ˆ与真正的
相差无几 ,它是一种大样本性质 .
矩估计量一般满足相合 性要求 .
2.无偏性 (任何容量的子样都可以 )
定义 6.2 设 ˆ( x1, x2 , , xn )是参数 的估计量 , 如果 E(ˆ) 则称 ˆ是的无偏估计量 .否则称为有偏的 .
设母体 的j阶矩为 j
E
j ,子样的 j阶矩为
j
1 n
n
ij
i 1
(1 j k )
(1)求出母体的前 k阶原点矩 k (1,,k )
(2)替换原则: 令E j j j ( j 1,2,, k)
(3)从上述 k个方程中解出 k个未知参数 1,2 , ,k
例1: 求母体均值 E和方差 D的矩法估计
E (一阶原点矩)
Sn2
D (二阶中心矩 )
E
解法步骤 :
D
S
2 n
1 n
n
(i
i 1
)2
设母体 ~ f ( x;1,2 ,,k ) 其中 (1 , , k ) 为未知参数
1.如何构造合适的统计量 来估计未知参数 ? 常用点估计方法
2.对于由不同方法构造的 某个参数的不同统计量 , 如何比较优良性 ? 估计的优良性判别标准
常估用计点的优估良计性方标法准极: 相大矩合似法性然估、估计无计偏性及有效 性 6.1.2 矩法估计(皮尔逊:替换原则) 思想 : 用子样的矩和经验分布 函数代替母体的矩和分 布
方法 : (1)点估计 以子样的某一函数值作 为母体中未知参数的估 计值 .
(2)区间估计 给出总体未知参数所在 范围,并指出在这范围内 包含总体参数的概率 .
注解 随机变量 的概率函数为 f ( x)指 :
为连续型 : f ( x)为 x的概率密度函数值 为离散型 : f ( x)为 x的概率分布函数值
若取S
2 n
n n 1
S
2 n
所以, 修正样本方差Sn2是D的无偏估计量.
注:
n
,
ESn2
n 1 n
D
D
定义 :
设ˆ为的一个估计, 若当n 时, Eˆ ,则称ˆ为的
渐近无偏估计.
例2 : 设母体 具有均匀分布 , 其密度函数为
f
(
x;
)
1
0 x ,0 ,求参数 的矩法估计 .
0
无偏估计量的直观意义 是无"系统偏差",即平均偏差为零 .
例5 :
设E , D为母体的期望和方差
,已知 E , D
S
2 n
.
试讨论
:
,
S
2 n
是否是
E
和
D
的无偏估计量
.
解 : (1) E E , D D . n
(
2)
E
(
S
2 n
)
n 1 n
D
(Th5.1) 所以, Sn2不是D的无偏估计量.
Ch6 点估计
数理统计 : 选取一定的子样以及从 子样出发推断母体分布 .
统计推断 (statistical inference) : 从样本出发来推断总体 的过程 .
参数的统计推断问题 统计推断
非参数方法 (分布自由法 )
参数的统计推断
参数假设检验问题
参数估计问题
点估计 区间估计
Def : 根据子样直接来估计母 体参数的问题称为参数 估计.
2
12
即E 2 D (E )2 ( )2 ( )2
12
4
2 2
3
(2)令1 E ,2 E 2 2
即
2
2
2
3
2
化简得
:
(2
2 )2 3
2
2
3S
2 n
Sn2
1 n
n
2 i
i 1
2
2 2
所以,
ˆ ˆ
3Sn 3Sn
解二 : (1)首先已知 E , D ( )2
2
12
由例1可知 : E ,
D
S
2 n
(
2)直接得
:
(
2
)2
12
Sn2
( )
解得
:
ˆ ˆ
பைடு நூலகம்
3Sn 3Sn
6.1.3 估计量优良性判别标准
1.一致估计(相合性)
定义6.1 设ˆ是的估计量,如当样本容量n ,ˆ依概率收敛到 ,
即 :
0, lim P{ˆ n
} 0. lim P(ˆ n
其他
解 : (1)求出母体的一阶原点矩 E
E
0
x
1dx
1
x2 2
0
2
(2)令1 ,即E
作业： p.312 4(1)(2)
ˆ 2 Eˆ 2E 2 .
2
2
f
(
x;
)
1
0 x ,0 ,求参数 的矩法估计 .
0
其他
解 : (1)求出母体的一阶原点矩 E
E
0
x
1dx
1
x2 2
0
2
(2)令1 ,即E ˆ 2
2
例3 : 设母体 服从均匀分布 U ( , ), 试求参数 和的矩估计量 .
解一 : (1)首先已知 E , D ( )2 E 2 (E )2
解 : (1)已知母体的一阶原点矩 为E , 二阶中心矩为D 则母体的二阶原点矩 E 2 D (E )2
(2)令1 E ,2 E 2 2
即E
2
E D (E )2
2
解上述方程组得 : E
D 2 ( )2
1 n
n
2 i
i 1
2
Sn2
E
D
S
2 n
例2 : 设母体 具有均匀分布 , 其密度函数为
§6.1 矩法估计
6.1.1 估计量和估计值
设母体 ~ f ( x;1,2 ,,k ) 其中 (1 , , k ) 1.估计量 统计量
称为参数空间 .
用子样的某一函数值作 为母体中未知参数的估 计值 . 设1,2 ,,n是取自母体的一个子样 ,( x1, x2 ,, xn )是子样的一组观测值
构造统计量 ˆi ˆi (1,2 ,,n ), 若用ˆi的值来估计i , (i 1,2,, k ) 则称统计量 ˆi为i的估计量.
2.估计值 估计量 ˆi ˆi ( x1, x2 ,, xn )的值叫参数 i的 估计值.
在不混淆的情况下 , 估计量和估计值都统称 为估计, 并都简记为ˆi.
问题 :
) 1
则称ˆ为的相合估计量,又称一致估计量.
直观上 , 相合性要求当试验次数 n不断增加时 , 估计 ˆ与真正的
相差无几 ,它是一种大样本性质 .
矩估计量一般满足相合 性要求 .
2.无偏性 (任何容量的子样都可以 )
定义 6.2 设 ˆ( x1, x2 , , xn )是参数 的估计量 , 如果 E(ˆ) 则称 ˆ是的无偏估计量 .否则称为有偏的 .
设母体 的j阶矩为 j
E
j ,子样的 j阶矩为
j
1 n
n
ij
i 1
(1 j k )
(1)求出母体的前 k阶原点矩 k (1,,k )
(2)替换原则: 令E j j j ( j 1,2,, k)
(3)从上述 k个方程中解出 k个未知参数 1,2 , ,k
例1: 求母体均值 E和方差 D的矩法估计