北师大版高中数学选修2-2课时训练综合法

课堂练习(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设f (x )为奇函数，f (1)＝1
2，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )
A ．0
B ．1 C.52
D ．5
C [∵函数为奇函数，
f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)，
∴f (2)＝2f (1)＝2×1
2
＝1，
f (3)＝f (1)＋f (2)＝3
2， f (5)＝f (3)＋f (2)＝32
＋1＝52
.]
2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →
，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形
D ．平行四边形
D [∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →
， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，
∴四边形ABCD 为平行四边形．]
3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
B [∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12
.
而a 2
＋b 2
>(a ＋b )2
2＝1
2
.
又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，
∴a <12
，∴a 2＋b 2
最大，故选B.]
4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 C [若A >B ，则a >b ， 又
a sin A ＝b
sin B
，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B .]
5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A ．若m
β，α⊥β，则m ⊥α
B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β
C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
C [对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于
D ，β与γ不一定垂直．]
二、填空题
6．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝
a ＋b
2
，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．
y >x [x 2＝a ＋b ＋2ab 2
，y 2
＝a ＋b .
y 2－x 2＝a ＋b －a ＋b ＋2ab 2
＝a ＋b －2ab 2
＝(a －b )2
2≥0.当且仅当a ＝b 时取“＝”．又∵y >0，x >0，且a ≠b ，∴y >x .]
7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →
＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则
k ＝________.
6 [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →
， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝2，k ＝6.]
8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．
a >c >
b [∵a 2－
c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .
又∵c b
＝
6－27－3＝7＋3
6＋2
>1，∴c >b ，∴a >c >b .] 三、解答题
9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b
－1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c
－1≥8.
[证明] ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b
c
>0，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b
－1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c
－1＝b ＋c a
·a ＋c b
·a ＋b c
≥2bc ＋2ac ·2ab abc
＝8. 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，
a ，
b ，
c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．
[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2
－ac ，
又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝
a ＋c
2
， ②
把②代入①得(a ＋c )2
4＝a 2＋c 2
－ac ，
整理得3(a －c )2
＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，
从而△ABC 为等边三角形．
[能力提升练]
1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y
＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y
的最大值为( )
A ．2
B ．32
C ．1
D ．12
C [∵a x
＝b y
＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，
∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1．故选C.] 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
C [由正弦定理可知，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2
A ，即sin(
B ＋
C )＝sin A ＝sin 2
A ，即sin A ＝1，∴A ＝π
2
.故△ABC 是直角三角形．]
3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2
＋b 2,
2ab 中最大的是________．
a ＋
b [由0<a <1,0<b <1，
且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2
＋b 2
>2ab . 又a >a 2
，b >b 2
，
知a ＋b >a 2
＋b 2
，从而a ＋b 最大．]
4．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b
；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
3 [对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad
ab
>0，故①③
⇒②.若ab >0，
bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad
ab
>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．]
5．如图所示，M 是抛物线y 2
＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．
[证明] 设M (y 2
0，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，
∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 2
0)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y －y 0＝k (x －y 2
0)，
y 2
＝x ，
消去x 得ky 2
－y ＋y 0(1－ky 0)＝0，
解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)
2
k
2
. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2
k 2.
∴k EF ＝y E －y F
x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝
2
k －4ky 0
k
2
＝－1
2y 0
(定值)．
∴直线EF 的斜率为定值．。