高考数学一轮复习 第50讲抛物线课件 理 新人教课标A

第50讲 │ 要点探究
► 探究点4 抛物线的综合应用
例4 一水渠的横截面积如图50－2 所示，它的横截面边界AOB是抛物线 的一段，已知渠宽AB为2 m，渠深OC 为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m. (1)求水面EF的宽度； (2)如果把此水渠改造为横截面是等腰 梯形，要求渠深不变，不准往回填土， 只准挖土，试求截面梯形的下底边长 为多大时，才能使所挖的土最少？
2．明确p的几何意义：焦点F到准线的距离，抛物线y2＝ 2px上3．的有点关常抛设物为线的2yp2焦，y半 .径、焦点弦问题，常转化为点到准线 的距离．有关直线与抛物线的位置关系问题，常用方程组思想、 消元法，结合根与系数的关系求解．
第50讲 │ 规律总结
4．抛物线方程的四种标准形式， 可以合并为两个：y2＝mx，x2＝ my(m≠0)．
∵过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的是等腰直角三 角形， ∴直线m的斜率为1. 设直线m与准线l交于点A， 准线l与x轴交于点P， 如图，可得各点的坐标为
Pp2，0，Ap2，p.
第50讲 │ 要点探究
∴S△PAF＝12p2＝8，解得 p＝4， ∴抛物线方程为y2＝－8x.
[点评] 求抛物线的标准方程，只需确定一个待定参数．具体 求解时，要确定参数p的值和开口方向两个条件，必要时要进行 讨论．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
C．8 3
D．16
例1[思路]如图，可以推得∠AFB＝
60°，再利用抛物线定义得出△PAF为
等边三角形，即可求出|PF|的长．
第50讲 │ 要点探究
B [解析] 如图，设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则
|BF|＝p＝4.∵直线AF的斜率为－ 3 ，∴∠AFB＝60°.在
Rt△ABF中，|AF|
第50讲 │ 要点探究
已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1， y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3， 则有 ( ) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
(1)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程； (2)抛物线的顶点在原点，开口向左．过抛物线焦点的直线m和 准线l以及x轴构成的等腰直角三角形的面积为8.
例2[思路] (1)根据不同开口方向，设不同的方程形式；(2)方
程可设为y2＝－2px(p>0)，再根据面积求参数p的值．
[解答] (1)因为A(3,2)在第一象限，所以抛物线的开口向右 或向上．
第50讲 │ 要点探究
(2)如图所示，设抛物线上一点 Mt，32t2(t＞0)，因为改造后 水渠只准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点 M 与抛 物线相切的切线挖土．
由 x2＝23y，即 y＝32x2 求导可得 y′＝3x，所以过点 M 的切线 斜率为 3t，切线方程为 y－32t2＝3t(x－t)，令 y＝0，则 x1＝2t ，令 y ＝32，则 x2＝2t ＋21t，
第50讲 │ 要点探究
例4 [解答] (1)建立如图所示的直角坐标系，则 A(－1,1.5)，B(1,1.5)，C(0,1.5)．
设抛物线方程为 x2＝2py(p＞0)，由点 A( － 1,1.5) 代 入 方 程 ， 得 到 1 ＝ 2p×1.5，即 p＝13，所以抛物线方程 为 x2＝23y，由点 E 的纵坐标为 1，得 到点 E 横坐标为－ 36，所以截面图 中水面宽度为236 m.
[解答] (1)设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别 为M′、N′、P′，则由抛物线定义得|FM|＋|FN|＝|MM′|＋|NN′| ＝xM＋xN＋2a. 又圆的方程为(x－a－4)2＋y2＝16，
第50讲 │ 要点探究
将y2＝4ax代入圆的方程得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0， ∴xM＋xN＝2(4－a), ∴|FM|＋|FN|＝8. (2)假设存在这样的a，使得2|FP|＝|FM|＋|FN|， ∴|FM|＋|FN|＝|MM′|＋|NN′|＝2|PP′|， ∴|FP|＝|PP′|， 由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾， 所以这样的a不存在．
＋y0
y轴 （0，0）
1
y≤0，x∈R
p 2 0，－p2
p 2 -y0
第50讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 抛物线的定义 例1 [2010·辽宁卷] 设抛物线y2＝8x的焦点为
F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为
垂足．如果直线AF的斜率为- 3 ，那么|PF|＝
()
A．4 3
B．8
当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则有4＝6p，
∴p＝ 2，抛物线方程为y2＝ 4 x.
3
3
第50讲 │ 要点探究
当开口向上时，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则有9＝4p，
∴(2)p依＝题94意，设抛抛物物线线方方程程为为x2＝y2＝92－y.2px(p>0)，焦点为F －p2，0 .
将直线方程和抛物线方程联立yy2＝＝xa，x， 得 x2－ax＝0，解得 x1＝0，x2＝a，故 AB 中点的横坐标为 x0＝12(x1＋x2)＝12a，
由题意得12a＝2，解得 a＝4. 所以该抛物线的方程为 y2＝4x.
第50讲 │ 要点探究
► 探究点3 抛物线的几何性质
例3 如图50－1，过抛物线x2＝4y 的焦点F作两互相垂直的直线分别交 准线于A、B两点，过A、B分别作准 线的垂线交抛物线于P、Q两点，求 证：P、F、Q三点共线．
第50讲 │ 抛物线
第50讲 抛物线
第50讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离__相__等__ 的点的轨迹叫做抛物线，其中定点F叫做抛物线的焦点，定直 线l叫做抛物线的准线(定点F不在直线上)．
2．抛物线标准方程的四种形式y2＝2px，y2＝－2px，x2＝ 2py，x2＝－2py，(p＞0)分别表示焦点在x轴上，开口向右、开 口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线．
第50讲 │ 要点探究
已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为F，以B(4＋ a,0)为圆心，|BF|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线 与半圆交于不同的两点M、N，P为线段MN的中点． (1)求|FM|＋|FN|的值； (2)是否存在这样的a，使|FM|、|FP|、|FN|成等差数列， 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
所以截面面积为
S＝12(2x1＋2x2)×32＝32t＋21t≥32 2， 当且仅当 t＝ 22时等号成立．
所以截面梯形的下底边长为
2 2
m 时，才能使所挖的土最少．
第50讲 │ 规律总结
规律总结
1．抓住抛物线的定义与几何性质，结合问题熟练运用坐标 法、待定系数法、方程思想、数形结合思想等数学思想和方法， 分析清楚题中所给几何图形的性质，选择适当方法简捷求解．
3．抛物线方程中p的几何意义是_焦__点__到__准__线__的__距__离___．
第50讲 │ 知识梳理
4.抛物线的标准方程和几何性质：
x≥0，y∈R
－
p 2
p2，0
x0＋p2
x轴 （0，0）
1
x≤0，y∈R
p 2
－2p，0
p 2 - x0
第50讲 │ 知识梳理
y≥0，x∈R
－
p 2
0，p2
p 2
第50讲 │ 要点探究
[思路] 根据抛物线定义，将坐标等式转化为距离关系， 即可得解．
C [解析]如图所示，由抛物线定义，2x2＋p2 ＝x1＋p2＋x3＋p2，即 2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|， 选 C.
第50讲 │ 要点探究
► 探究点2 抛物线的标准方程 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程．
例3 [解答] ∵∠AFB＝90°， ∴∠FAB＋∠FBA＝90°. 又∵PA⊥AB，QB⊥AB，∴∠PAF＝90°－∠FAB， ∠QBF＝90°－∠FBA， ∴∠PAF＋∠QBF＝90°.
第50讲 │ 要点探究
∵P、Q在抛物线上， ∴|PA|＝|PF|，|QB|＝|QF|， ∴△PAF、△QBF是等腰三角形， ∴∠PFA＋∠QFB＝∠PAF＋∠QBF＝ 90°， ∴∠PFA＋∠QFB＋∠AFB＝180°， ∴P、F、Q三点共线．
5．抛物线的几何特征很独特，如 图50－3，抛物线y2＝2px，准线为CD， AB为过焦点F的弦，M、N为线段AB、 CD的中点，则有如下几个结论： (1)AN⊥BN； (2)DF⊥CF； (3)NF⊥BF；
(4)|NF＝ |AF|·|BF|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第50讲 │ 要点探究
已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴 上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点．若P(2,2)为 AB的中点，则抛物线C的方程为________________．
y2＝4x [解析] 由题意知抛物线的顶点为坐标原点， 焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．
＝
4 cos60°
＝8，又根据抛物线的定义，得
|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°，∴△PAF为等边三角形，
故|PF|＝|AF|＝8，选B.
[点评]抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距 离(抛物线上的点与焦点的距离、抛物线上的点与准线的距离)进 行等量转化，本题利用了这一关系就轻易得出所求长度．如果问 题中涉及了抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用 抛物线定义就能解决问题．