数学(新高考)2022届高考考前冲刺卷(二)学生版

（新高考）2022届高考考前冲刺卷
数 学 （二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{}2,4
B ．{}0
C ．{}5
D ．{}0,5
2．已知复数z 满足()()21i 13i z -+=-，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．在等差数列{}n a 中，36936a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =（ ） A ．12
B ．99
C ．132
D ．198
4．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．其平面
图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（ ）
A ．2O
B OE OG ++=0 B ．22OA OD =⋅-
C ．4AH EH +=
D ．422AH GH +=+
6．在ABC △中，3AB =，2AC =，1cos 3BAC ∠=，点D 在BC 边上且1BD =，
则ACD △的面积为（ ） A ．
33
B ．
22
3
C ．
23
3
D ．
42
3
7．过抛物线()220:y C px p =>的焦点F 作倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则AF FB
的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．32
D ．1
8．已知函数()f x 满足：对任意的()()2x f x f x ∈+-=R ，，若函数()y f x =与
2
221
x
y =-+图象的交点为()(), 1.2,,i i x y i n =，则1
()n
i i i x y =+∑的值为（ ）
A ．0
B ．2n
C ．n
D ．n -
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ）
A ．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B ．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C ．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D ．2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
10．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A ．若//m α，m β⊂，a n β=，则//m n
B ．若//m n ，//m α，则//n α
C ．若a n β=，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥
D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ 11．若0a b c >>>，则（ ） A ．
c c a b
> B ．
b c b
a c a
->- C ．c c a b >
D ．2a c bc ->-
12．已知ABC △为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C +=
B ．tan tan tan tan tan tan A B
C A B C =++ C ．4
1tan 3
A <≤
D ．tan tan tan A B C 的最小值为4
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在()612x +的二项展开式中，5x 项的系数为_________．
14．某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是__________．
15．已知圆()22:24M x y -+=，直线:340l x y m -+=．若P l ∈，过点P 可作两条与圆
M 分别相切于,A B 两点，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围为________．
16．已知直线:1l y kx =-恒过定点A ，则该定点A 的坐标为________，若直线l 与曲线
()2f x ax =和()ln g x x =都相切，则a =________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等比数列{}n a 满足132n n n a a ++=⨯． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n n a b 是公差为1的等差数列，其中11b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（12分）在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，
3AB =，3AE =． （1）当3
32
BC =
DC ； （2）当五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡∈⎣
时，求BC 的取值范围．
19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，
22CD AB ==，1AD =，ADC ∠为直角，1133CC C P ==． （1）证明：1//AC 平面PBD ；
（2）求平面PBD 和平面11AA C 的夹角的余弦值．
20．（12分）为进一步推动党史学习教育活动的深入进行，某单位举行了党史知识竞赛规定：
①竞赛包含选择题和填空题2种类型，每位选手按照先回答选择题后回答填空题的顺序进行，每次答题结果正确与否相互独立；
②选择题包含3道题目，若前两道均回答正确，则终止选择题解答，进入填空题解答，否则需要回答3道选择题；
③填空题也包含3道题目，若第一道填空题回答正确，且连同选择题共答对3道题目，则结束答题，否则需要解答完3道填空题；
④若整个竞赛中答题总数为3道，则获得一等奖，奖金为100元；若答题总数为4道或5道，则获得二等奖，奖金为50元；其余情况获参与奖，奖金为20元． 现有该单位某员工参加比赛，已知该员工答对每题的概率均为2
3
． （1）求该员工获得一等奖的概率；
（2）判断该员工获得奖金的期望能否超过50元，并说明理由．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，()12,0A -、()22,0A 、()1,0F 、()4,C m ，直线
1A M 、2A M 相交于点M ，且它们的斜率之积是34
-．
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）过F 的直线l 与M 的轨迹交于A 、B 两点，试判断点C 与以AB 为直径的圆D 的位置关系，并说明理由．
22．（12分）已知函数()2ln 1x ax x f x x
-+=．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()23ln 25f x +>，求a 的取值范围．
（新高考）2022届高考考前冲刺卷
数 学（二）答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ， 而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B =，故选D ．
2．【答案】D
【解析】依题意，()()21i 13i z -+=-，
()()()()
13i 1i 13i
24i 22212i 1i 1i 1i 2z -----=
+=+=+=-++-， z 对应坐标为()1,2-，在第四象限，故选D ．
3．【答案】C
【解析】3696336a a a a ++==，612a =，
()
11111611111322
a a S a +=
==，故选C ．
4．【答案】B
【解析】由题设，若母线长为l ，则2l ππ=，可得2l =，故选B ． 5．【答案】D
【解析】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形ABCDEFGH ，
所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====
360458
DOE COB COD ∠∠∠︒
====
=︒， 作AM HD ⊥，则OM AM =，
因为2OA =，所以2OM AM ==(2,2A --，
同理可得其余各点坐标，(0,2),(2,2),(2,2),(2,0),(2,0)B E G D H --， 对于A 2(02(2),2222)OB OE OG ++=+--=0，故A 正确； 对于B ，((222022OA OD =-⨯+-=⋅⨯-B 正确；
对于C ，(22,2AH =-，(22,2EH =--，()4,0AH EH =-+， 所以()
2
2404AH EH +=
-+=，故C 正确；
对于D ，(22,2AH =-，(22,2GH =-+-，()
422,0AH GH =+-+，
(
)
2
2422
0422AH GH +=-++=-，故D 不正确，
故选D ． 6．【答案】D
【解析】因为1
cos 3
BAC ∠=
，则BAC ∠为锐角， 且222sin 1cos BAC BAC ∠=-∠=，
所以1
sin 222
ABC S AB AC BAC =
⋅∠=△ 由余弦定理可得2221
2cos 9423293
BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，
则3BC =，
因为点D 在BC 边上且1BD =，则2CD BC BD =-=，
所以，23ACD ABC S CD S BC ==△△，故2233
ACD ABC S S ==△△，故选D ． 7．【答案】A
【解析】抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2
p
，
直线l 倾斜角为60︒，∴直线l 的方程为03()2
p
y x -=-．
设直线与抛物线的交点为11(),A x y 、22(),B x y ，1||2p AF x ∴=+
，2||2
p BF x =+，
联立方程组20)22p y x y px
⎧
-=-⎪
⎨⎪=⎩，消去y 并整理，得22122030x px p -+=，
解得132p x =
，26p x =， 1||22p AF x p ∴=+=，22||23
p p BF x =+=
，
||:||3:1AF BF ∴=，||
||
AF FB ∴
的值为3，故选A ． 8．【答案】C
【解析】因为任意的()()2x f x f x ∈+-=R ，，故()f x 的图象关于()0,1对称．
又221212121
x
x x y -=-=+++， 设()2121x x g x -=+，则()g x 的定义域为R 且()()21122121
x x x x g x g x -----===-++， 故()g x 为奇函数，故其图象关于原点对称，
而()22121x y g x =-
=++，故2
221
x
y =-+图象关于()0,1对称， 故函数()y f x =与2
221
x y =-+图象的诸交点关于()0,1对称，
不妨设12n x x x <<
<，则1
0n
i i x ==∑，
且12112n n k n k y y y y y y --++=+=
=+=，其中1k n ≤≤，
故()()()12111
22n
i n n n i y y y y y y y n -==++++
++=∑，所以1
n
i i y n ==∑，
故1
()n
i i i x y n =+=∑，故选C ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得 0分．
9．【答案】BCD
【解析】由增长率高，得不出收入高，即A 错误； 由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，即B 正确； 由表中数据，可知农村居民相关数据中位数较大，即C 正确； 由表中数据，可知增长率为正，即D 正确， 故选BCD ． 10．【答案】ACD
【解析】由线面平行的性质定理可知，A 正确； 若//,//m m n α，则//n α或n α⊂，即B 错误； 设,a β的法向量分别为,a b ，若n α
β=，则,n n ⊥⊥a b ，
又,αγβγ⊥⊥，则//γa ，//γb ，所以n γ⊥，即C 正确； 若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，又//αγ，则//βγ，即D 正确， 故选ACD ． 11．【答案】ABD
【解析】A ：()c c b a c a b ab
--=，
∵0a b c >>>，0,0,0ab b a c ∴>-<<，()0b a c ab -∴>，c c
a b
∴>，故A 正确； B ：
()()()()()a b c b a c b a c b c b a c a a c a a c a
------==
---， ∵0a b c >>>，∴0,0,0,0a c a b a c ->>-<<，
()0()b a c a c a -∴
>-，b c b
a c a
-∴>-，故B 正确；
C ：,0c y x c =<时，y 在()0,∞+单调递减，∵a b >，c c a b ∴<，故C 错误；
D ：∵0a b c >>>，∴0c ->，∴(
)a c b c b c ->-=+-≥ ∵a b ≠
，故等号取不到，故a c ->，故D 正确， 故选ABD ． 12．【答案】ABC
【解析】因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=， 两边同除cos cos B C ，得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；
由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥，
当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，
()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-，
所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；
tan tan 1
tan 1tan tan 1tan tan 1
B C A B C B C ==+
--， 由tan tan 4B C ≥，所以11
0tan tan 13B C <≤-，
所以得3
1tan 1ta 1n tan 14
A B C =+≤-<，故C 正确；
22tan tan 1
tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1
a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，
由tan tan 13B C -≥且1
y x x =+
在[)3,+∞上单调递增， 所以tan tan tan A B C 的最小值为16
3
，故D 错误，
故选ABC ．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】192
【解析】()612x +的二项展开式的通项公式为()16622r r r r r r T C x C x +==， 令=5r ，得5555662192T C x x ==，
所以5x 项的系数为192，故答案为192．
14．【答案】8
35
【解析】8人平均分到4个班级共有2222
2864C C C C 种选法， 每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有4444
A A ⋅种分法， 故概率为444422228642835A A C C C C =，故答案为8
35
．
15．【答案】[]26,14-
【解析】由圆的方程知：圆心()2,0M ，半径2r =， 则在MPB △中，2MB =，30MPB ∠=︒，4MP ∴=，
∴点P 在圆()2
2216x y -+=上．
P l ∈，则直线l 与圆()2
2216x y -+=存在交点，
∴点M 到直线l 的距离645
m d +=
≤，解得2614m -≤≤，
即实数m 的取值范围为[]26,14-， 故答案为[]26,14-．
16．【答案】(0,1)-，14
（或0.25） 【解析】直线:1l y kx =-恒过()0,1A -．
直线:1l y kx =-与曲线2()f x ax =相切，则方程21ax kx =-有0∆=，即有24k a =， 直线:1l y kx =-与()ln g x x =也相切，设切点为()00,ln x x ，()()00
11
,g x g x x x ''=
=， 则切线方程为()0001ln y x x x x -=
-，化简得00
1
1ln y x x x =-+， 则01ln 1x -+=-，所以01x =，1k =，
从而21
41,4k a a ===
． 故答案为(0,1)-，1
4
．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）2n n a =；（2）3
32
n n n T +=-
． 【解析】（1）设{}n a 首项为1a ，公比为q ，则1111,n n n n a a a q a q +-==，
所以11111n n n a a q a q a q q -⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭，
由于132n
n n a a ++=⨯，所以1132a a q
q ⎧
+=⎪⎨⎪=⎩，解得12a =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．
（2）{}n n a b 是公差为1的等差数列，所以当2n ≥时，11221n n n n b b ---=， 因为11b =，
所以1212121211212121n n n n n n b b b n b n n ----=+=++=
=-+=-+=+，
所以1
2
n n n b +=，
经检验，11b =符合1
2
n n n b +=，
232341
2222n n n T +=++++①，
①×12得：234112341
22222
n n n T ++=++++②，
①－②得：1
2311111
111
11133421112222222212
n n n n n n n n n T ++++-+++=+++
+-=+-=--，
所以3
32
n n n T +=-
． 18．【答案】（1）3
32
；（2）)
3,33⎡⎣． 【解析】（1）连接EB ，在ABE △中，120A ∠=︒，3AB AE ==，
由余弦定理可得22212cos12099233272BE AE AB AE AB ⎛⎫
=+-⋅⋅︒=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭
，
所以33BE =
同时可得30AEB ABE ∠=∠=︒，60CBM ∠=︒，
又由五边形内角和可求得120D C ∠=︒=∠，所以BE CD ∥， 从而四边形BCDE 为等腰梯形，
过点C 作CM ⊥BE 于M ，可求得3
cos6034
BM BC =⋅︒=， 从而33
23323342
DC BE BM =-==． （2）1139sin120333224
BAE S AB AE =⋅⋅⋅︒=⋅⋅=△
又63,93ABCDE S ⎡∈⎣五边形，所以15273,344BCDE S ∈梯形，
设BC 边长为x ，则()()
113=333322ABCDE S BE CD CM x x +⋅=梯形，
化简整理得2156327x x ≤-<333x ≤<3353x <≤ 又2330DC BE BM x =-=>，33x <， 所以BC 的取值范围是3,33．
19．【答案】（1）证明见解析；（215
【解析】（1）证明：如图，连接AC 与BD 交于点O ，连接OP ， ∵AB CD ∥，可得OCD OAB ∠=∠，ODC OBA ∠=∠，
∴OCD OAB △△，可得
OC CD
OA AB =
， 又由1AB =，2CD =，可得2OC
OA
=，
∵2CP =，11PC =，∴
12CP
C P
=， ∵
2OC OA =，1
2CP C P =，∴1OP AC ∥， ∵1OP AC ∥，1AC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，∴1AC ∥平面PBD ．
（2）由直棱柱和直角梯形ABCD 可知DA ，DC ，1DD 两两垂直，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,2P ，()11,0,3A ，()10,2,3C ，()1,1,0B ， 设平面BDP 的法向量为(),,x y z =m ，
由()1,1,0DB =，()0,2,2DP =，有0
220
DB x y DP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m ，取1x =，1y =-，1z =，
可得()1,1,1=-m ；
设平面11AA C 的法向量为(),,a b c =n ，
由()10,0,3AA =，()111
,2,0AC =-，有11130
20
AA c A C a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ，取2a =，1b =，0c =， 可得()2,1,0=n ，
又由1⋅=m n ，3=m 5=n PBD 和平面11AA C 的夹角为锐角，
故平面PBD 和平面11AA C 的夹角的余弦值为15||||35⋅==
⨯m n m n ． 20．【答案】（1）8
27
；（2）能，理由见解析．
【解析】（1）记该员工获得一等奖为事件A ，则()2228
33327
P A =⨯⨯=．
（2）记答题总数为X ，则X 的所有可能取值为3，4，5，6，
()()8327P X P A ===，()1
21222164333381
P X C ==⨯⨯⨯⨯=， ()2214
533327
P X ==⨯⨯=
， ()()()()()816429
61345127812781
P X P X P X P X ==-=+=+==---=，
该员工获得奖金为Y ， 则()()8100327P Y P X ====
，()()()28504851
P Y P X P X ===+==， ()()2920681
P Y P X ====
， 所以()828294380
10050205027818181
E X =⨯+⨯+⨯=>，
所以该员工获得奖金的期望能超过50元．
21．【答案】（1）()22
1243
x y x +=≠±；（2）点C 在以AB 为直径的圆D 外，理由见解析． 【解析】（1）解：设点M 的坐标为(),x y ，其中2x ≠±， 则直线1A M 的斜率为1
2A M y k x =
+，直线2A M 的斜率为2
2
A M y k x =-，
由已知有3224y y x x ⋅=-+-，化简得点M 的轨迹方程为()22
1243
x y x +=≠±． （2）解：点C 在圆D 外，理由如下：
若直线l 与x 轴重合，则该直线l 与曲线()22
1243
x y x +=≠±无公共点， 故可设:1l x ty =+，另记()11,A x y 、()22,B x y ，
联立()
22
1
34122x ty x y x =+⎧⎨+=≠±⎩，可得()
2234690t y ty ++-=， ()214410t ∆=+>，t ∈R ，
由韦达定理知122122634934t y y t y y t -⎧
+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
， ()()11114,3,CA x y m ty y m =--=--，()()22224,3,CB x y m ty y m =--=--， 则有()()()()121233CA CB ty ty y m y m ⋅=--+--
()
()()
()()22
22
12122623313934
t m mt t y y t m y y m t ++-=+-++++=
+， 其中62030
t m mt +=⎧⎨-=⎩无解，则0CA CB ⋅>，故0,2ACB π⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，
即点C 在以AB 为直径的圆D 外．
22．【答案】（1
）在0,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
内单调递减，在,2a ⎛⎫
++∞
⎪ ⎪⎝⎭
内单调递增；（2）3322
a -<<． 【解析】（1）()1
ln f x x a x x
=+-，()f x 的定义域为()0,+∞，
()222
111a x ax f x x x x --'=--=
．
令()0f x '>
，解得x >()0f x '<
，解得0x <<，
所以函数()f x
在0,2a ⎛+ ⎪⎝⎭
内单调递减，在2a ⎛⎫
+∞
⎪ ⎪⎝⎭
内单调递增． （2
）设02
a x +=，则由（1）得2
00
10x ax --=，即00
1a x x =-， 且()f x 在()00,x 内单调递减，在()0,x +∞内单调递增， 因此，()()000000min 000111ln ln f x f x x a x x x x x x x ⎛⎫
==+
-=+-- ⎪⎝⎭
000000
ln 1
ln x x x x x x =+
-+， 设()1ln ln x g x x x x x x =+-+
，则由()23ln 25f x +>，得()53ln 22f x ->， 即()min
53ln 22f x ->
，从而()053ln 2
2g x ->． ()()22211ln 111ln 1ln x g x x x x x x -⎛⎫'=-
-++=-+ ⎪⎝⎭
， 令()0g x '=，得1x =，
因为当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，
又因为()153ln 2222g g -⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
所以由()053ln 22g x ->
，解得01
22
x <<， 又因为001a x x =-
，所以3322
a -<<．。