概率与统计复习资料(沈阳建筑大学)

《概率与统计》复习资料
理学院
第一章 概率论的基本概念
一、内容重点
随机事件的关系与运算，概率的性质（主要是计算性质），条件概率，乘法原理，全概率公式，贝叶斯公式，事件的相互独立性及应用。

二、基本题型
1. 随机事件的关系及运算
例1 设A 、B 、C 为任意三个事件，则下列各式正确的是 （A ）B B A B A )(= （B ） B A AB =
（C ）C B A C B A = （D ）Ω=))((B A AB
答： A.
例2 设 A ，B ，C 表示三个随机事件,试将下列事件用A ，B ，C 表示出来.
(1) A 出现 , B 、 C 不出现； (2) 三个事件中至少有一个出现； (3) 不多于两个事件出现； (4) 三个事件至少有两个出现； (5) A 、B 至少有一个出现，C 不出现； (6) A 、B 、C 中恰好有两个出现； （7）A 、B 都出现,C 不出现； （8）A 、B 、C 都出现。

解：
2. 等可能性求概率
例3 一批零件共有100个，次品率为10%，从中连续取两次，每次取一件（不放回抽样），
求（1）第二次才取到正品的概率1P ；（2）第二次取到正品的概率。

解： （1）091.011
199********==⋅=P ； （2）9.099
90100109989100902=⋅+⋅=P
;)7(C AB ;
)2(C B A ,)3(BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ++++++;
)4(BC A C B A C AB ABC +++;)()5(C B A .)6(BC A C B A C AB ++C AB )8(;
)1(C B A ;
ABC 或
例4 n 个人排成一排，已知甲总排在乙的前面，求乙恰好紧跟在甲后面的概率。

解：n 个人的全排列为!n ，而甲在乙前面的次数和乙在甲前面的次数相同，都是
2
!n ，甲乙
紧排在一起的次数为)!1(-n ，所以所求的概率为
n
n n 22
!)!1(=-.
例5 在一个袋中有5个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中任取出3个球，求
取得3个球中最大号码是4的概率。

解： 10
335
2
3=
=
C
C P
例6甲、乙约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，
它们的开车时刻分别为1:15，1:30，1:45，2:00，如果他们约定：（1）见车就乘；（2）最多等一辆车。

求甲、乙同乘一辆车的概率。

这里假定甲、乙两人到达车站的时刻是互不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的。

解：以x 、y 分别表示甲、乙二人到达的时刻。

则21,21≤≤≤≤y x
（1） 见车就乘，俩人乘同一车的情况如图。

4
116
4===
总的面积
乘同一车的面积
P
（2） 最多等一辆车，俩人乘同一车
的情况如图。

8
516
10===
总的面积
乘同一车的面积
P
3. 利用概率性质和条件概率求概率
例7设事件B
A ,
满足5.0)(=A P ，6
.0)(=
B P ，8.0)|(=B A P ，求)(B A P
解： )()()()()()()()(B A P B P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+= =0.5＋0.6－0.6×0.8=0.62 例8 设1()2
P A =，1()3
P AB =
，则()P A B =
解： 填
6
1， 因为 6
13121)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P B A P
例9 设A 、B 是两个随机事件，且1)(0<<A P ,0)(>B P ，)()(A B P A B P =,则必有
（A ） )()(B A P B A P = （B ） )()(B A P B A P ≠
（C ） )()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠
答：C
4. 全概率公式及贝叶斯公式
例10 盒中放有12个兵乓球，其中有9个是新的，3个是旧的。

第一次比赛时从中任取3
个来用（新的用一次后就成为旧的），比赛后仍放回盒子中。

第二次比赛时从盒子中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。

解： 设i A 表示第一次比赛中取出i 个新球，i ＝0，1，2， 3， B 表示第二次比赛取出的球都是新球。

由全概率公式有 ∑
==
3
)
()()(i i i A B P A P B P ＝
18427561083584200.15220220
220220
220220
220220
⨯⨯⨯⨯+
+
+
≈⨯⨯⨯⨯
例11 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间产量占该厂总产
量的百分数依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%. 现从这批工件中任取一件，（1）求取到次品的概率；（2）已知取到的是次品，求它是甲车间产品的概率。

解：设321,,B B B 分别为甲、乙、丙车间生产的产品；=A {取到次品}
（1）∑==3
1)|()()(i i i B A P B P A P 02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯=0345.0=
（2）)
()
|()()|(111A P B A P B P A B P =
0345
.005.025.0⨯=
3623.0=
5．事件独立性的概念和应用
例12 每个同学独立解决某问题的概率恰巧都是0.4,现有甲、乙、丙3名同学同时独立地解决此问题,问此问题被解决的可能性有多少?
解： 设)3,2,1(=i A i 依次表示甲、乙、丙同学解决此问题，B 表示问题被解决，则
)()()(1)(1)()(321321321A P A P A P A A A P A A A P B P -=-=⋃⋃=
=1－(1－0.4)×(1－0.4)×(1－0.4)=0.784
例13 若随机事件A 与B 相互独立，证明随机事件A 与B 相互独立。

证明： 因为A 与B 相互独立，所以 )()()(B P A P AB P =， 而
)()()()()()()()(B P A P A P AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-= =)()())(1)((B P A P B P A P =-
所以随机事件A 与B 相互独立。

第二章 随机变量及其分布
一、内容重点
一维离散型随机变量的分布律及其性质，一维连续型随机变量的概率密度及其性质，分布函数及其性质，一维随机变量函数的分布，两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布。

二、基本题型
1．离散型随机变量求分布律及分布函数
例14 某射手有五发子弹，每次射击命中目标的概率为0.9，如果命中就停止射击，如果不命中就一直射到子弹用尽，求子弹剩余数X 的分布律及分布函数。

解：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧≥<≤<≤<≤<≤<=4
,
143,1000.032,0100.021,0010
.010,0001.00,0)(x x x x x x x F
例15 设随机变量X 的分布律为
则分布函数值=)2(F ________ 解：
=)2(F {}{}{
}{}8.04.03.01.02102=++==+=+==≤X P X P X P X P
2. 由分布函数确定分布律 例16 的分布函数为
设离散型随机变量
X
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=.
2,,21,32,11,,1,
0)(x b a x a x a x x F
且2
1}2{=
=X
P ，的分布律
并求试确定常数
X b a ,,。

解：由分布函数的性质知
{})3
2(
)02()2(22
1a b a F F X P --+=--===3
22-
+=b a
1=+b a 解得 .6
5,6
1=
=
b a X 的分布律为
3. 确定未知参数，求连续型随机变量的概率密度及用概率密度求概率
例17已知离散型随机变量X 的可能取值为 －2，0，2，5，相应的概率依次为
,87
,45,23,1a
a a a 试求概率}.02{≥≤X X P
解：依分布律性质，有 a
a
a
a
p i
i 87452311+
+
+
=
=
∑
， 进而得 8
37=
a
}
0{}
0,2{}02{≥≥≤=
≥≤X P X X P X X P
}
5{}2{}0{}
2{}0{=
+=+==+==
X P X P X P X P X P 29
22=
例18 设随机变量X 的概率密度为 +∞
<<∞-+=
x e
Ae x f x
x ,1)(2
求：（1）常数A ； （2）}3ln 2
10{<
<X P ； （3）分布函数)(x F
解： (1)
12
|arctan 1)(2=⋅
==+=
∞
+∞-∞+∞
-∞+∞
-⎰
⎰
π
A e A dx e
Ae dx x f x x
x π
2
=
∴A
(2) 6
1432|arctan 2
12
3ln 2103
ln 2
1
3
ln 21
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
=
+⋅
=
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<⎰
-ππππ
π
x
x
x
e dx e
e
X P (3) =)(x F x
x
x x x
x
x e e de
e
dx x f arctan 2
|arctan 2
112
)(2π
π
π
=
=
+⋅
=
∞-∞
-∞
-⎰
⎰
例19 设连续型随机变量X 的分布函数为
2
,0(),011,1
x F x A x
x x <⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩
（1）确定常数A ，求密度函数()
f x ； （2）求{0.30.7}P x <≤；
（3）求)(X E , ()
D X .
解： （1）⎩⎨
⎧<<=其它
,
10,2)(x Ax x f ； 112
12Axdx Ax
A =
==⎰
⎩⎨
⎧<<=其它
,
10,2)(x x x f
（2）}7.03.0{≤<x P )3.0()7.0(F F -=2
2
3.07.0-=
4.0=
或 }7.03.0{≤<x P 4
.027.03
.02
7.03
.0===⎰
x
xdx
（3） 113
22()23
3
E X x xdx x
=
⋅=
=
⎰
； 1122
4
11()22
2
E X x xdx x
=
⋅=
=
⎰
18
1)3
2(2
1)]([)()(222=-=-=X E X E X D
4．正态分布求各种事件的概率
例20 一地区农民年均收入服从=μ500元，=σ20元的正态分布，求
（1）该地区农民年均收入在500元～520元之间的人数的百分比；
（2）如果要使农民的年均收入在),(a a +-μμ内的概率不小于0.95，则a 至少为多大？（参考值：8413.0)1(=Φ），9744.0)95.1(=Φ，9750.0)96.1(=Φ） 解： 设X 表示该地区农民的年均收入，由已知得X ～)20,500(2
N .
（1）}520500{<<X P )20
500500()20
500520(-Φ--Φ=)0()1(Φ-Φ=
3413.05.08413.0=-=
（2）}{a X a P +<<-μμ)20
()20
(a a -Φ-Φ=1)20
(2-Φ=a 95.0≥
975.0)20
(≥Φa ，由)(x Φ单调增加得96.120
≥a ，2.39≥a
例21 设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随着σ的增大，概率}{σμ<-X P （A ） 单调增加； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定。

答：C
5．随机变量函数的分布
例22 将3个球随机地放入4个杯子中去，随机变量X 表示杯子中可能出现的最多的球的
个数。

求（1）随机变量X 的分布律；（2）随机变量X 的函数21Y X =+的分布律；（3）数学期望E X 。

解：（1） {}{}{}16
13,16
92,16
64
23413
=
==
==
⨯⨯=
=X P X P X P 同理可得
(2)
(3) 16
2716
1316
9216
61=
⨯
+⨯
+⨯
=EX
例23 设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<≥=-0
,
00
,3)(3x x e x f x
，
求32+=X Y 的概率密度。

解： }32{}{)(y X P y Y P y F Y ≤+=≤=}2
3{-≤
=y X P
当3<y 时，0)(=y F Y
当3≥y 时，⎰
--=
2
3
33)(y x
Y dx
e
y F ；
)21
(3)(2
33⋅=-⋅
-y Y e
y f 2
392
3
y e
-=
故
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=-3
,
03,2
3)(2
39y y e y f y Y
第三章 多维随机变量及其分布
一、内容重点
二维离散型随机变量分布律及其性质、二维连续型随机变量概率密度函数及其性质、二维连续型随机变量的分布函数及其性质、边缘分布、随机变量的相互独立性、 计算随机变量落在某个范围的概率、两个独立随机变量简单函数的分布、二维连续型随机变量常用分布：二维均匀分布、二维正态分布.
二、基本题型
1．求二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律及随机变量落在某个范围内的概率
例24 将三个相同的球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落入第1号与第2
号盒子中球的个数分别为X 和Y .（1）求),(Y X 的分布律；（2）求X 和Y 的边缘分布律；（3）求Y 关于1=X
的条件分布律.
（4）}
21,20{≤<≤<
Y X P .
解：（1）X ，Y 的可能取值均为0，1，2，3，于是由古典概型可知：
}0,0{==Y X P 3
3
1=，}1,0{==Y X P 3
3
3=，}2,0{==Y X P 3
3
3=，}3,0{==Y X P 3
3
1=
，}0,1{==Y X P 3
3
3=
，}1,1{==Y X P 3
3
23⋅=
，
}2,1{==Y X P 3
3
3=
，0}3,1{===Y X P , 0}2,2{===Y X P ,……,
),(Y X 取其他数值的概率可类似求出，故),(Y X 的分布律为
(2) 因为∑
=∙=
==3
}{j j i i p i Y P p ，i =0，1，2，3，故Y 的边缘分布律为
类似地，由∑
=∙=
==3
}{i j i j p j X P p ，得X 的边缘分布律为
(3) 由{}{}{}3
,2,1,0,9
411,11======
==⋅
i P X P X i Y P X i Y
P
i
得条件分布律为
（4）{02,02}P X Y <≤<≤{1,1}{1,2}P X Y P X Y ===+==
{2,1}{2,2}P X Y P X Y +==+==211409999
=
+++=
2．求二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度及用联合概率密度求概率
例25 设),(Y X 的分布函数为1(,)arctan arctan 2223x y F x y πππ⎛⎫⎛⎫
=
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则),(Y X 的联合概率密度为 .
解： ),(Y X 的联合概率密度为 )
9)(4(6
),(),(2
22
++=
∂∂∂=
y x y
x y x F y x f π
例26 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为
(),
0,0()0,
x y A e x y f x y -+⎧>>=⎨
⎩，，其它.
(1) 求常数A ；(2) 求边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立；
(3) 求联合分布函数()，F x y ；(4) 求()，X Y 落在由x 轴、y 轴及直线22x y +=所围成的三角形区域G 内的概率.
解： (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞
-∞
=⎰
⎰
，即0
d d 11x
y
A e
x e
y A +∞+∞--=⇒=⎰
⎰
.
（2） 0
d ,0,
()(,)d 0,0,x y X e e y x f x f x y y x +∞--+∞-∞
⎧⋅>⎪
=
=⎨⎪≤⎩⎰⎰,
0,0,
0,x e x x -⎧>=⎨
≤⎩
d ,0,
()(,)d 0,
0,x y y e e x y f y f x y x y +∞--+∞-∞
⎧⋅>⎪
=
=⎨⎪≤⎩⎰⎰
,0,0,
0,
y e y y -⎧>=⎨
≤⎩
显然(,)()()X Y f x y f x f y =，所以X 与Y 相互独立； (3) (,)(,)d d x y F x y f u v u v -∞
-∞
=
⎰⎰
()00
d d ,0,0(1)(1),0,00,
0,
x y u v x y e u v x y e e x y -+--⎧>>⎧-->>⎪
==
⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰，
，其它;
其它，
(4)1222
1
(,)(,)12x x
y
x y G
p f x y dxdy dx e
e dy e
e -----∈=
=
⋅=+-⎰⎰
⎰
⎰。

3． 两个随机变量的相互独立性
例27 已知),(Y X 的分布律为
其中α为未知常数。

求（1）α；（2）判断X 、Y 是否相互独立。

解：（1）由∑
∑
∞
=∞
==1
1
1j ij i p ，得
18
14
116
14
116
116
18
1=++
+
+
+
+
+
α，则16
1=
α
（2）关于X ，Y 的边缘分布律分别为
因为≠=
=-=8
1}1,1{Y X P =
=-=}1{}1{Y P X P 16
3·2
1
，故X 和Y 不相互独立．
例28 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为3,
01,0(,)0,
x x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩，其它.
判别X 和Y 是否相互独立. 解：因为边缘概率密度分别为
20
3d ,013,
01()(,)d 0,
0,
x X x y x x x f x f x y y ∞-∞
⎧≤≤⎧≤≤⎪
=
==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰
，
其它，
其它
12
33d ,01(1),01()(,)d 20,
0,y Y x x y y y f y f x y x ∞-∞
⎧⎧≤≤-≤≤⎪
⎪=
==
⎨⎨⎪⎪⎩⎩
⎰⎰
，
其它其它.
显然，在整个平面上)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不相互独立.
例29. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
,
00,
2
1)(21y y e y f y Y
则X 和Y 的联合概率密度为
解： )()(),(y f x f y x f Y X =1
21,
01,02
0,y e x y -⎧<<<⎪=⎨⎪⎩
，
其它.
4. 求二维随机变量的函数的和分布、极大、极小分布
例30 设),(Y X 的分布律为
求（1）Y
X Z
+=（2）{}Y X M ,m ax =，{}Y X N ,m in = （3）2
2
Y
X W
+=的分布律.
解：分布律也可写成如下形式：
则W N M Z ,,,的所有取值及取值概率如下：
故Y X Z +
=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =、22Y X W +=分布律分别为
例31 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X 在（0,1）上服从均匀分布，Y 服从参
数为1=θ的指数分布，求Y X Z +=的概率密度.
解：由题知，X 的密度为1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩，其它， Y 的概率密度为,0()0,y Y e y f y -⎧
>=⎨
⎩，
其它.
由卷积公式知，Z X Y =+的概率密度是 ()()()d Z X Y f z f x f z x x ∞-∞
=
-⎰
而)()(x z f x
f Y X -的非零区域}0,10),{(>-<<x z x x z ，由于z 是任意实数，故讨论z 的情况得到Z 的概率密度为
()01()
01d ,
01()()()d 1d ,
10,z z x z x Z X Y e x z f z f x f z x x e x z --∞---∞
⎧⋅≤≤⎪⎪⎪=
-=⋅>⎨⎪⎪⎪⎩
⎰⎰
⎰，，其它
故Y X Z +=的概率密度为1,01()(1),10,z z Z e z f z e e z --⎧-≤≤⎪
=->⎨⎪⎩
，，其它. .
例32 设某种型号电子管寿命（以小时计）近似服从)20,160(2N ，随机从中选取4只，
求（1）其中没有一只寿命小于180的概率；（2）其中没有一只寿命大于180的概率. 解：随机选取4只的寿命分别为4321,,,T T T T ，则它们相互独立且服从)20,160(2N ，其分布函数记为)(t F .记),,,m in(4321T T T T U =，),,,m ax(4321T T T T V = 则4)](1[1}{)(u F u U P u F U --=≤=；[]4
(){}()V F v P V v F v =≤=，故 （1）4)]180(1[}180{1}180{F U P U P -=≤-=>
[]4
418016011(1)20ΦΦ⎡-⎤
⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦000634.0=
（2）==≤4)]180([}180{F V P []4
105().Φ=
第四章 随机变量的数字特征
一、内容重点
数学期望的概念、性质及其求法、方差与标准差的概念、性质及其求法、矩、协方差、相关系数的概念、性质及其求法、相互独立与不相关的关系、常见分布的期望和方差. 二、基本题型
1．已知分布律或概率密度，会求随机变量的期望和方差
例33. 设X
的密度函数2
21
(),,x x f x x -+-=
-∞<<+∞则()E X =___，()D X =_ _.
解：
2
(1)122
1(),x f x e
--
⨯=
知112
~(,
),X N
因此()1E X =，1()2
D X =
例34. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2{()}P X E X ==_____.
解：2
2
()()[()]112E X D X E X =+=+=，
X 服从参数为1的泊松分布，所以1
{2}2
e
P X -==.
例35. 已知X 和Y 相互独立，4,3==DY DX , 则(243)D X Y -+=_____. 解：22(243)2()4()076D X Y D X D Y -+=++=.
例36. 把标有数字1,2,,n 的n 张卡片混合后重新排列，若标有数字k 的卡片正好排在第
k 个位置，称排列有一个“匹配”，求匹配数X 的数学期望. 解：k 可以取值为1,2,,,k n = 设0,1,
k k k X k k ⎧=⎨
⎩数字没有排在第个位置，数字正好排在第个位置.
则匹配数12n X X X X =+++ ，由k X 是相互独立的.
1
1()(){1}1n
k
k k E X E X
nP X n n
==
===⋅=∑
2．随机变量函数的数学期望与方差
例37. 已知),(Y X 的分布律为
求(),(),(),(),(),(,),XY E X E Y E XY D X D Y Cov X Y ρ 解： 因为
所以有
113()122
2
2
E X =⨯
+⨯
=
， 2115()142
2
2
E X =⨯
+⨯
=
，
35355()101216
1616168
E Y =-⨯
+⨯
+⨯+⨯
=
，213()8
E Y =,
1111111113()101220248
16
164
16
4
8
1616E XY =-⨯
+⨯
+⨯+⨯-⨯
+⨯
+⨯
+⨯=
2
2
591()()()2
4
4
D X
E X E X =-=
-=，22132579()()()8
64
64
D Y
E Y E Y =-=
-
=
，
13351(,)()()()16
288
C ov X Y E XY E X E Y =-=-
⋅=- 故
)
679
XY ρ=
=
=3 已知联合分布律或概率密度，求协方差、相关系数、独立性与相关性
例38. 设X 与Y 为两个随机变量，已知(,)0C ov X Y =，则必有(
)
()A X 与Y 相互独立； ()B ()()()D XY D X D Y =⋅；
()C )()()(Y D X D Y X D +=+； ()D 以上都不对.
解： ()C ； (,)0C o v X Y =⇒X 与Y 不相关⇒等价结论()C .
例39 设),(Y X 的概率密度为24,01,01(,)0,
xy x y x f x y ≤≤≤≤-⎧=⎨
⎩，其它.
,求X 和Y 的协
方差和相关系数. 解：110
2()(,)d d 24d d 5
x E X xf x y x y x x xy y +∞+∞--∞
-∞
=
=⋅=
⎰⎰
⎰⎰
,由对称性知2()5
E Y =
.
1
12
2
2
1()(,)d d 24d d 5
x E X x f x y x y x x xy y +∞+∞--∞
-∞
=
=⋅=
⎰⎰
⎰⎰
，由对称性知21()5
E Y =.
22141()()[()]()5
25
25
D X
E X E X D Y =-=-
=
=，
1
10
2()(,)d d 24d d 15
x E XY xyf x y x y x xy xy y +∞+∞--∞
-∞
=
=⋅=
⎰⎰
⎰⎰
，
故2(,)()()()75
C ov X Y E XY E X E Y =-=-，从而(,)2
.
()()
3XY C ov X Y D X D Y ρ=
=-
第五章 大数定律及中心极限定理
一、内容重点
契比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理 二、基本题型
1．用契比雪夫不等式估计概率
例40 设随机变量X 方差为2，则根据契比雪夫不等式估计{}≤≥-2)(X E X P . 解：填
2
1，因为由契比雪夫不等式，{}2
14
22
2)(2
=
=
≤
≥-DX X E X P
2. 用中心极限定理近视计算概率
例41 随机地选取80名学生在实验室测量某种化合物的PH 值，各人测量的结果是随机变
量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，求它们结果的算术平均值介于4.9与5.1的概率的近似值.（)9484.0)63.1(≈Φ 解：设：第i 名学生测量的值为)
80,,2,1(, =i X i ，
3
.0)(,5)(==i i X D X E
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨⎧
<<
=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<<
∑
∑
==4083921.58019.480
1
80
1
i i i i X P X P
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧
<⨯⨯-<-
=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧⨯⨯-<⨯⨯-<
⨯⨯-=∑
∑
==36280
3.0805362803.0805408803.0805803.080539280
1
80
1
i i i i X P X P =8968
.01)633.1(21)3
62(
2)3
62()3
62(=-Φ=-Φ=-
Φ-Φ
例42 在次品率为
16
的一批产品中，任意抽取300件，试计算在抽取的产品中次品件数在
40到60之间的概率.（(1.55)0.9394Φ=）
解：设在抽取的产品中次品的件数为X ，则)61
,300(~B X ，
50==np EX ，3
125=
=npq DX ， 从而有
}3
12550603
125503
1255040{
}6040{-<
-<
-=<<X P X P
8788.01)55.1(2)5
152()5
152(
=-Φ=-
Φ-Φ=
第六章 样本及抽样分布
一、内容重点
总体、样本、样本均值、样本方差、统计量等概念，2χ分布、t 分布、F 分布的定义、性质及它们的分位数，有关正态总体某些常用统计量的分布。

二、基本题型
1．有关总体、样本、统计量等概念
例43 设n X X X ,,,21 是来自于总体X 的简单随机样本，则n X X X ,,,21 必然满足（ ）
（A ）独立但与X 分布不同； （B ）与X 分布相同但不相互独立； （C ）相互独立且与X 同分布； （D ）独立且分布相同但与X 分布不同.
答：C
例44 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中μ、2
σ未知，
则下面不是统计量的是（ ）.
（A ）i X =μ
ˆ； （B ）1
1
n
i
i X X n
==
∑；
（C ）2
2
1
1
()1
n
i i S X X n ==
--∑； （D ）∑=-=n
i i
X
n
1
2
)(1ˆμμ
.
答：D
2. 关于统计量的分布
例45 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 为样本均值，2
S 为样本
方差，则统计量n
S
X T μ-=服从的分布为________.
（A ）)1(-n t ； （B ）)(n t ； （C ）)1,0(N ； （D ）)2(-n t . 答：A
例46 设821,,,X X X 和1021,,,Y Y Y 是分别来自于两个正态总体)4,1(-N 和)5,2(N 的
样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则=F 2
2
2
145S S 服从（ ）
（A ）)18(2χ； （B ）)16(2χ； （C ）)10,8(F ； （D ）)9,7(F . 答：D
例47设12,,, n X X X 是来自总体X ～2(,)N μσ的简单样本，则统计量
2
1
(
)~
n
i i X μ
σ
=-∑____________.
答：)(2n χ
例48 设121,,, n n X X X X +是来自正态总体X ～N 2(,)μσ的样本，记1
1
n
n
i
i X
X n
==
∑，
2
2
1
1
()
n
n
i
n i S
X X n
==
-∑。

试证明统计量U =
(1)t n -分布。

证明：n X 服从正态分布N ),(2
n
σμ，并且n X 与1+n X 相互独立，所以，
n n X X -+1～⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+2)11(,0σn
N ，将其标准化，有n
n X X n n 11+-+σ
～()1,0N
另一方面
2
1
2
2
2)
(1
σ
σ∑=-⨯=
n
i n i
n X X n
n nS
＝
2
1
2
)
(σ
∑=-n
i n i
X X
服从自由度为1-n 的2χ分布，并且与n
n X
X n
n 1
1+-
+σ
相互独立，所以
)
1(12
21
-+-+n nS
n
n X X
n n
n σ
σ
＝1
11+--+n n S X X n
n
n 服从自由度为1-n 的t 分布。

3．关于分位数
例49 设12(,)F n n α为12(,)F n n 分布的上α分位点，证明：
112211(,).(,)
F n n F n n αα-=
证明：因为 {}⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨
⎧<
=>=---),(1
1,(1211211n n F F
P n n F F P α
αα
=⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧
≥
---),(111),(1
11211211n n F F P n n F F
P αα 故 α
α
=⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧>-),(1
1
211n n F F
P
而
),(~112n n F F
所以由上α分位点定义知
)
,(1),(21112n n F n n F αα-=
即 .)
,(1),(12211n n F n n F αα=
-
第七章 参 数 估 计
一、本章重点：
点估计的概念，矩估计法和最大似然估计法，估计量的评选标准， 区间估计的概念，正态总体的样本均值及样本方差的区间估计. 二、基本题型
1．求矩法估计和最大似然估计
例50 已知总体X 是离散型随机变量，X 的可能取值为0，1，2，且{}22(1)P X θ==-，
()2(1)E X θ=-（θ为未知参数）.(1) 试求X 的分布律；(2) 对X 抽取容量为10的
样本，其中5个取1，3个取2，2个取0. 求θ的矩估计值、最大似然估计值. 解：(1) 设X 的分布律为{}00P X p ==，{}11P X p ==，{}22P X
p ==，由题设知
2
2(1)p θ=-，又12()2E X p p =+=2
12(1)
p θ+-2(1)θ=-，解得12(1)p θθ=-，而
0121p p p ++=，
所以20p θ=，则X 的分布律为{}22(1)k k k P X k C θθ-==-(0,1,2)k =. (2) 矩估计值：令()2(1)X E X θ==-，解得1ˆ12
X θ=-
，将样本值代入得θ的矩估计值为
1191(513220)210
20
-
⨯⨯+⨯+⨯=
.
最大似然估计值：样本值的似然函数为{}10
1101
(,,;), i i L x x P X
x θθ===∏
=1195465)1(2)1()]1(2[θθθθθθ-=-- 取对数ln 5ln 29ln 11ln(1)L θθ=++-，令d ln 9
110d 1L θ
θ
θ
=
-
=-，
解得θ的最大似然估计值为9ˆ20
θ=.
例51 设1
2,,, n X X X 为总体X
的一个样本，已知X 的概率密度函数为
1
,01()0,
x f x ≤≤=⎪⎩;其它.
其中0θ>为未知参数，求θ的矩估计量和最大似然估计量.
解：（矩估计法）样本的一阶矩11
1
n
i i A X n
==
∑，
总体的一阶矩⎰
⎰
+=
=
=
=-∞+∞
-10
1
11
)()(θθϑμθdx x
x dx x xf X E
由11A μ=，得
1
1n
i i X n
==
∑
1
+θθ，解得θ
的矩估计量2
2
ˆ(1)
X
X θ=
-
（最大似然估计法）似然函数
1
2
12121
(,01(,,;)(;)0,
n
n
n i n i i x x x x L x x x f x θθθ=⎧⎪≤≤=
=⎨⎪⎩∏
其他
当01i x ≤≤
，取对数1212ln (,,;)ln 1)ln()2
n n n L x x x x x x θθ=+ ，
令
(ln )0d L d θ
=，
12ln()
n n x x x =- ，故θ的最大似然估计量为2
2
1
ˆ(ln )
n
i i n
x θ==
∑．
2．估计量的评选标准的讨论
例52 设2~(,),X N μσσ已知，123,,X X X 是来自总体X 的样本，试判别
123121(1);236X X X +
-
的无偏性，在无偏估计量中，哪个更有效？
2(2);
X 222
1232
1
(3)
()
X X X σ
++
解：(1)123123121121()()()()2
3
6
2
3
6
E X X X E X E X E X +-=+- 121
236
μμμμ=+-=，无偏.
(2) 2()()E X E X μ==, 是无偏估计.
(3) 22222123222113(())(3()))(()())E X X X E X D X E X σσσ
++==+ ，有偏.
因（1）的方差小于（2），所以（1）更有效．
3．参数的区间估计
例53 某工厂生产一批滚珠，其直径X 服从正态分布，方差20.4σ=，现从中随机抽取10个，测得直径如下(单位：毫米）：9.9 10.1 9.7 9.6 10.2 8.7 10.7 11.0 10.0 10.1 求直径均值μ的95%的置信区间（(1.96)0.975Φ=）. 解：2
0.4σ
=，μ的95%
的置信区间为2
X z
α⎛±
⎝
，这里
10,10, 1.96X n z α
σ===
=，从而μ的95%的置信区间为(9.608,10.392).
例54 设冷抽铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中抽取10根试验折断力，得数据
（单位：N ）为 573，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求标准差σ 的95%的置信区间.
解： 由题意知显著水平为α的2
σ的置信区间为 22
22212(1)(1)(,(1)(1)n s n s
n n αα
χχ-⎛⎫
-- ⎪
⎪--⎝⎭
又知10
1
1
574.7
10
i
i x x
==
=∑，10
2
2
1
1
()75.12101
i
i s x x ==
-=-∑，10n =，
195%α=-=0.05，经查表20.025(9)19.023χ=，2
0.975(9) 2.7χ=，则2σ的置信区间为
(35.54,250.4)，从而标准差的
95%的置信区间为(5.96,15.82).
例55 设某种油漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别测得如下：
6.0 5.7 5.8 6.5
7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间服从2(,)N μσ，σ未知，μ的置信度为0.95的置信区间.
解：σ未知，195%α=-=0.05，μ的置信度为0.95
的置信区间为2(X t n α⎛±- ⎝
233μ
σ
=+μ≠
6,3x s ===，查表0.025(8) 2.306t =，代入置信区间得(5.5585,6.4415)
例56 设甲、乙两台机器生产的钢管的内径分别服从正态分布221122(,),(,),N N μσμσ现从甲机器生产的钢管中抽取8只, 从乙机器生产的钢管中抽取9只, 测得其内径值（单位：cm ）如下：
甲机器：14.8，15.2，15.1，14.9，15.4，15.2，14.8，15.0； 乙机器：15.0，14.5，15.1，14.8，14.6，15.1，14.8，15.0，15.2. 若12,μμ未知，求方差比
212
2
σσ的置信水平为0.90的置信区间.
解：当12,μμ未知时，2
122
σσ的置信水平为0.90的置信区间
221
1
2
2
21221211
1
(,
)(1,1)(1,1)
S S S F n n S F n n αα-----
得2
2
120.050.9510.0511(1,1)(7,8) 3.50,(7,8)(7,8)0.268,(8,7)
3.73
F n n F F F F α
α
---====
=
=
求得22
120.0457,0.0575.s s ==代入得2
12
2
σσ的置信水平为0.90的置信区间为(0.227,2.966).
往 年 期 末 考 题
(2006年春季学期试题)
一、 填空题（每题4分，共20分）
1. =)(B A P （答案用公式表示），若,
5.0)(,1.0)(,
==⊂B P A P B A
则=)(B A P （答案用数表示）； 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为
则=A ，X 落在)2
1,
1(-内的概率为 ；
3. 设袋子中有标号为1-，1，1，2，2，2的6个球，从中任取一球，试求取得的球的标 号数X 的分布律为 ，X P {≤}2
1= ；
4. 设)10(~),,(~2
2χσμY N X ，且X 与Y 相互独立，则
~
10
Y X σμ
- .
5. 甲、乙约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车， 它们的开车时刻分别为1:15，1:30，1:45，2:00，如果他们约定见车就乘，则甲、乙同 乘一车的概率为 ；
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~),
2,1(~N Y N X
. 则随机变量Y X Z -=2具
有正态分布，且~
Z
（ ）
（A ）)3,1(N ； （B ）)
9,1(N ； （C ）)3,2(N ； （D ）)9,2(N .
2. 设二维随机变量),(Y X 服从均匀分布，其概率密度为 ⎩⎨
⎧∈=它
其
，，0),(),(D y x a y x f
D 是由直线2,2==y x 及x 轴、y 轴所围成的闭区域，则常数=a （ ）
（A ）1； （B ）2
1； （C ）4
1； （D ）8
1.
3. 设Y X ,为两个随机变量，已知
),cov(=Y X ，则必有（ ）
（A ）Y X 与相互独立； （B ）)()()(Y D X D XY D ⋅=
；
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=.
1,
1,10,,0,0
)(x x Ax
x x F
（C ）)()()(Y E X E XY E ⋅=； （D ）以上都不对.
4. 设n X X X ,,,21 是来自于总体X 的简单随机样本，则n X X X ,,,21 必然满足（ ） (A ）独立但分布不同； (B)分布相同但不相互独立； (C)独立同分布； (D)不能确定.
5. 设821,,,X X X 和1021,,,Y Y Y 是分别来自于两个正态总体)4,1(-N 和)5,2(N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从)9,7(F 的统计量是（ ）
（A ）22
2
152S S ； （B ）2
1
2
254S S ； （C ）2
2
2
125S S ； （D ）2
2
2
145S S .
三、（6分）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而随意地拨最后一位数字，求：（1）
不超过三次拨通电话的概率；（2）已知最后一位数字是奇数，求不超过三次拨通电话的概率.
四、（6分）某仓库有同样规格的产品6箱，其中3箱，2箱和1箱依次是由甲、乙、丙三
个厂生产的，且三厂的次品率分别为10
1，15
1，20
1. 现从这6箱中随机任取1箱，再
从取得的1箱中随机任取1件，试求取得的1件产品是次品的概率. 五、（10分）设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<-=.
,
,10,)
1()(它其
x x A x f
求：（1）常数A ； （2）}12
1
{<<X P ；
（3）).(X E
六、（6分）设炮弹速度X 服从正态分布,取9发炮弹做试验,得速度X 的样本方差为11
（2
/s m ），求炮弹速度X 的方差2σ的90%置信区间.
)507.15)8(,733.2)8((2
05.0295.0==χχ
七、（10分）设二维随机变量（Y X ,）的联合分布律为
（1）试求常数β；（2）求随机变量Y 的边缘分布律；（3）求数学期望)(Y E 及)1(2
-Y E .
八、(6分) 对敌阵地进行100次炮击，每次炮击中，炮弹的命中颗数的数学期望为4，方差为2.25，求在100次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率的近似值. （)9082.0)333.1(≈Φ
九、（10分）总体X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<=-.
,
,10,)(1
它其
x x x f θθ
其中,0>θ未知,n X X X ,,,21 是X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量. 十、（6分）设随机变量X 和Y 相互独立,都服从)4,0(2N ，而1621,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 是分别来自总体X 和Y 的样本，试写出统计量∑∑
===
16
1
216
1
i i
i i
Y
X V 服从的分布,并证明之.
2006年春季学期试题参考答案
一、填空题（每题4分，共20分）
1、)()()(AB P B P A P -+ ， 0.5；
2、1=A
，1/2；
3、
.6/1}2
1
{=≤X P
4、 )10( t ；
5、4
1.
二、选择题（每题4分，共20分）
1、(D)；
2、(C)；
3、(C)；
4、(C)；
5、(D)
三、（6分）
(1)
3
.081981099110910
1=⨯⨯+⨯+……3分 (2)
6.03
14
35
44
15
45
1=⨯
⨯
+
⨯
+
……3分
四、（6分）
设：321,,A A A 分别表示甲厂，乙厂和丙厂的产品，B 表示“任取1件产品为次品”
6/1)(,6/2)(,6/3)(321===A P A P A P , 20
/1)(,15/1)(,10/1)(321===A B P A B P A B P
112233()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ ……………4分
29/3600.081=≈ ……………2分
五、（10分）
（1）12
1)1()(10
==
-=
⎰
⎰
∞+∞
-A dx x A dx x f ，.2=A
………………3分
（2）⎰
=-=
<<12
125
.0)1(2}12
1
{dx x X P
………………3分
（3）=
)
(X E 3
1)1(2)(10
=
-=
⎰
⎰
∞+∞
-dx x x dx x xf
…………………4分
六、（6分） 1.0=α， 9
.0)}8()1()8({205
.02
2
2
95
.0=<-<
χ
σ
χ
s
n P
……4分
199
.32733
.2118507
.15118675.52
=⨯<
<⨯=
σ
方差2σ的90%置信区间为（5.675，32.199）. ………………2分
七、（10分） （1） 由
19
23
118
19
16
1=++
+
+
+
β 得 9
1=
β ………………3分
（2）
………………3分
(3) ⨯
=1)
(Y E 2
13
56
133
12=
⨯
+⨯
+ ,3
76
183
132
10)1(2=⨯+⨯+⨯=-Y E ……4分
八、（6分） 设：第i 次炮击中，炮弹命中颗数为)100,,2,1(,
=i X i
25
.2)(,4
)(==i i
X D X E …………
2分
100
1
{380420}i i P X =<
<∑
100
1004i X P -⨯=<
<
∑
…………3分
8164
.0)3
4
()34(=-Φ-Φ=
…………1分
九、（10分）E X
=
(,)xf x dx θ+∞-∞
⎰
…………2分 =X
x
dx
x =+=
+=
+⎰1
1
1
011 0
θθθθθθθ
得X
X -=1ˆθ
…………2分
1
1
1
()(,)()
n
n
n i i i i L f x x θθθθ-===
=∏
∏ …………2分
1ln ()ln (1)(ln )n
i i L n x θθθ==+-∑,1ln ()ln 0n
i i d L n x d θθθ==+=∑
…………2分
∑=-
=n
i i
X
n
1
ln ˆθ
…………2分
十、（6分） )
1,0(~4
,
)
1,0(~16
116
1
N Y N X X
i i i ∑
==
…………2分
)16(~16
12
16
1
2
χ∑=i i Y ……2分
16
16
1
~(16)i i
X X t =
∑
∑
……2分
2008年春季学期试题
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分）
1. 设随机事件,A B 及其和事件A B 的概率分别为0.4，0.3和0.6. 若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率()P A B 为______.
2. 已知连续型随机变量X
的概率密度函数为2
21
(),()x x f x x -+-=
-∞<<+∞，则连续
型随机变量X 的数学期望为______.
3. 设事件A 与B 相互独立，A 与B 都不发生的概率为
19
，A 发生且B 不发生的概率与B
发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为______.
4. 设X 为随机变量，c 是常数，则()2E X c ⎡⎤-⎣⎦在c =_______时取到最小值.
5. 设离散型随机变量X 的分布律为1,0,}{1===+i p i X P i ，则p =_______.
二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分）
1.设),(y x f 是二维随机变量(),X Y 的概率密度函数，则(,)d d f x y x y +∞+∞-∞
-∞
⎰
⎰
=( )
(A) 0； (B) 1； (C) 1-； (D) ∞.
2.设,X Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是(),()X Y F x F y ，则
{}m a x M X Y =，的分布函数是( )
(A) {}()M F z P M z =≥ (B) ()()()111M X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (C) ()()()11M X Y F z F z F z =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
(D) ()()()M X Y F z F z F z = 3.设2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，则2σ的无偏估计量( ). (A)∑=-n i i
X X n
1
2
)(1
； (B)∑=-+n
i i X X n 1
2
)(1
1
； (C)
∑=--n
i i X X n 1
2
)
(1
1
； (D)∑
=-n
i i X
X n
1
2
1
4.n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，则下面错误的是( ). (A)),
(~2
n
N X
σ
μ； (B) )(~2
1
2
n X n
i i
χ∑
=；
(C)
)
1,0(~N n
X σ
μ
-； (D)
)
1(~--n t n
S
X μ
5.随机变量()0,1X N ，分布函数是(
)2
2
d ,t
x x e
t x -
-∞
Φ=
-∞<<+∞,且
{}()0,1P X x α>=∈，则x =( ).
(A)()1α-Φ (B)112α-⎛⎫Φ- ⎪
⎝
⎭
(C)()11α-Φ- (D) 12α-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭
三、（9分）甲乙两人各独立打靶一次，事件A 为甲打中靶，事件B 为乙打中靶，已知
,9.0)(=A P 8
.0)(=B P .（1）求两人均打中靶的概率；（2）求两人至少有一人打中靶
的概率；（3）求两人都没有打中靶的概率.
四、（6分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别
是10
3，5
1，
10
1和
5
2. 若他乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别是4
1，3
1
，2
1；如果
他乘飞机来则不会迟到.现此人迟到，问他乘火车的可能性有多大？ 五、（9分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为：
(),0
0,0
x ce x f x x -⎧>=⎨
≤⎩. （1）求常数c ； （2）求分布函数()F x ； （3）求21Y X =+的密度()y f y .
六、（6分）设连续型随机变量(),X
Y
的概率密度函数为
(),01,01
,0
,x y x y f
x
y +≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其它. （1）求边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ；
（2）判断X 与Y 的独立性.
七、（6分）设总体X 的概率密度函数为()(),0
,x e
x f x x θθθ--⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,
其中0θ>是未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的样本，求参数θ的矩估计量ˆθ 八、（8分）设X 表示在10次独立重复射击中击中目标的次数，每次命中的概率为0.4，
求 (1)X 的分布律； (2)2X 的数学期望.
九、（6分）若在某学校中, 随机抽取25名同学测量身高数据, 假设所测身高近似服从正态分布,其中μ未知,样本标准差为12cm ,试求该班学生身高方差2σ的置信度为95.0的置信区间. ()()()401.1224,364.39242975.02025.0==χχ
十、（6分）车间有同型号机床200部，在某段时间内每台机器开动的概率为0.7，假定各
机床开关是相互独立的，开动时每台机器要消耗电能15单位. 问电站最少要供应这个车间多少单位电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
()()
1.640.95,
6.48Φ=≈
十一、（4分）设54321,,,,X X X X X 是来自正态总体),0(2σN 的一个简单随机样本,若
()
2
5
2
4
2
32
1X X
X X X a +++服从()t n 分布, 求a 和n 的值.
2008年春季学期试题参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分）
1、0.3；
2、1；
3、3
2； 4、()E X ； 5、
2
5
1+
-.
二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分）
1、（B ）；
2、（D ）；
3、（C ）；
4、（B ）；
5、（C ）.
三、（本大题9分）
解：72.08.09.0)()()()
1(=⨯==B P A P AB P ;……………………………….3分
(2)
()()()()0.90.80.720.98P A B P A P B P AB =+-=+-= ;……….3分
02.02.01.0)()()()
3(=⨯==B P A P B A P .……………………………….3分
四、（本大题6分）
解： 设事件4321,,,A A A A 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分
别等于
10
3，5
1，
10
1和5
2， 事件B 表示“迟到”，
已知概率()|,1,2,3,4i P B A i =分别等于4
1，31，2
1，0
则4
1
()()(|)i i i P B P A P B A ===
∑
23120
…………….………………… …….3分
111()(|)
9(|)()
23
P A P B A P A B P B =
=
.……………….……………………….3分
五、（本大题9分）
解：（1）0
()d 1d 1x
f x x ce
x c +∞+∞--∞
=⇒
==⎰
⎰
…………………………….3分
（2）0
0,0()()d d 1,0x x t
x
x F x f t t e t e x ---∞
≤⎧
⎪
=
=⎨=->⎪⎩⎰
⎰……………….3分 （3）Y 的分布函数1(){21}{}2Y y F y P X y P X -=+<=<
11220
d ,
11,
10,1
,
1y y x
e x y e y y y ----⎧
⎧
⎪
⎪>->==⎨⎨
⎪⎪≤≤⎩
⎩
⎰
…….1分 ()1
2
11
2
01y Y e y f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
，，………..……..…..……….2分 六、（本大题6分）
解：（1）1/201
()0
X x x f x +≤≤⎧=⎨
⎩
，，
其它
, 1/201
()0
Y y y f y +≤≤⎧=⎨
⎩
，，
其它
…….3分
（2）因为()()(),X Y f x f x f x y ⋅≠，所以不独立.…………… ……..….3分
七、（本大题6分）
解：计算()()
d x E X xe
x e θθ
θ
+∞
--=
=⎰
…………………………………………....3分
根据矩估计思想，()X
E X
e θ==，解出：ˆln X θ=……………….….3分
八、（本大题8分）
解：（1）{}10100.40.6
0,1,2,,10k k k
P X k C k -=== ………………….4分。