2019届高考数学二轮复习第三部分回顾教材以点带面3回顾3三角函数与平面向量必练习题

回顾3三角函数与平面向量
[必练习题]
1．已知tan α＝3，则cos （π－α）
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π2的值为()
A ．－13
B ．－3
C.13D ．3
解析：选A.cos （π－α）cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 2．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于()
A.13B ．－13
C ．3
D ．－3
解析：选A.由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.
3．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为()
A.34B ．1
C.32
D ．2
解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1. 设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
＋32，所以当t ＝12时，函数取得最大值32.
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2的值为()
A ．22B.2
C ．－22
D ．－24
解析：选D.依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2π
ω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π8＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24
，故选D. 5．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0＜φ＜x )图象的一条对称轴，将函数
f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数
g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为()
A ．－2
B ．－1
C ．－2
D ．－3
解析：选B.因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2
(k ∈Z )，因为0＜φ＜π，所以φ＝
π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝－1. 6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223
，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为()
A ．4π
B ．8π
C ．9π
D ．36π
解析：选C.由题意知c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.
7．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角可能是()
A.π6
B.π3
C.π4
D.3π4
解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |
2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，故选D.
8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________．
解析：a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.
答案：－6
9．已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为________．
解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a2＋b2－2a·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c·d |d|＝－1.
答案：－1
10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________．
解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22
＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，所以f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12.
答案：12
11．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则
c sin C ＝______． 解析：依题意得，1
2bc sin A ＝34
c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b2＋c2－2bccos A ＝13，因此a sin A ＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝2393
. 答案：2393。