高中数学破题致胜微方法双曲线进阶性质：双曲线的通径

先看例题： 例：设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ,
,过点F 且与x 轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为
83
.求双曲线的方程. 解：由题意,
得2823
c a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩从而3,2.a b =⎧⎨=⎩ 如图：
因此,所求的双曲线方程为22
194
x y -=. 整理：
2
2b a
通径是过双曲线的一个焦点垂直于实轴的弦,长为 请同学们根据上面的例题，自己完成证明。

轴。

再看一个例题，加深印象
例：已知F 1(－5,0),F 2(5,0)是双曲线C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线
交C 于A ,B 两点,且|AB |=92
,则C 的方程为（）。

解:由题意, 设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 得222+25922a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而4,3.a b =⎧⎨=⎩ 因此,所求的双曲线方程为22
1169
x y -=.
练习：
1．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线19
162
2=-x y 的通径长是( )。

(A) 49 (B) 2
9 (C) 9 (D) 10 2.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为
C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为(
)
B. C.2 D.3
3. 已知F1,F2是双曲线
2
21
4
y
x-=的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中
一个交点为P,则|PF2|=________.
4. 在给定双曲线中,焦点到相应准线的距离为1
2
，则该双
曲线的离心率为( ) 答案
1. 解：双曲线的通径长
299
22
42
b
a
==，正确答案为B.。