【学考模拟】2023-2024学年浙江省第二学期高二学考模拟考(二)+答案解析

【学考模拟】2023-2024学年浙江省第二学期高二学考模拟考（二）❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角的终边经过点，则()
A.2
B.
C.1
D.
2.函数的定义域为()
A. B.
C. D.
3.已知虚数单位，则z的共轭复数的虚部为()
A.2
B.i
C.3
D.3i
4.计算：()
A.10
B.1
C.2
D.
5.为了得到函数的图像，只需将函数的图像()
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
6.如图，在正方体中，直线BC与平面的位置关系为()
A.直线在平面内
B.直线与平面相交但不垂直
C.直线与平面相交且垂直
D.直线与平面平行
7.已知，则“”是“”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.中，内角所对的边分别为，若，则()
A. B. C. D.
9.通苏嘉甬高速铁路起自南通西站，经苏州市、嘉兴市后跨越杭州湾进入宁波市，全线正线运营长度
，其中新建线路长度
，是《中长期铁路网规划》中“八纵八横”高速铁路主通道之
一的沿海通道的重要组成部分，是长江三角洲城市群的重要城际通道，沿途共设南通西、张家港、常熟西、苏州北、汾湖、嘉兴北、嘉兴南、海盐西、慈溪、庄桥等10座车站.假设甲、乙两人从首发站南通西同时上车，在沿途剩余9站中随机下车，两人互不影响，则甲、乙两人在同一站下车的概率为()
A. B.
C.
D.
10.函数
是自然对数的底数的图象大致是()
A. B.
C. D.
11.著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形ABCD 中，满足“勾3股4弦5”，设，E 为线段AD 上的动点，且满足
，若
，
则
()
A.0
B.
C. D.
12.已知正实数满足
，则()
A. B.的最小值为
C.
的最小值为9
D.
的最小值为
二、多选题：本题共4小题，共16分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13.已知平面向量，，则()
A. B.
C. D.
14.在空间中，设为两条不同的直线，为两个不同的平面()
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
15.已知偶函数，有，时，成立，则
对任意的恒成立的一个必要不充分条件是()
A. B. C. D.
16.如已知是自然对数的底数，则不能推出恒成立的不等式是()
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，共15分。

17.设复数，则__________.
18.光绪二十五年增建钟楼，整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体，且正四棱锥的侧棱长为10m，其底面边长与正方体的棱长均为6m，则顶端部分的体积为__________.
19.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________.
20.能源是国家的命脉，降低能源损消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用单位：万元与隔
热层厚度单位：厘米满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设为隔热层的建造费用与30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时，隔热层厚度__________厘米.
四、解答题：本题共3小题，共33分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.本小题11分
已知函数
求的值；
求函数的单调递增区间；
若为偶函数，求的值写出任意一个满足要求的即可
22.本小题11分
为了响应市教育局号召，同时也为提升全市高三学生暑期复习备考的有效性，教育部门组织名师、骨干团队开设暑期网络专题课程，为高三学子保驾护航，得到了学生和家长的一致认可.某校为检验高三学生暑期网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.
求图中a的值；
估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和分位数；
为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求2人中至少有1人分数低于60分的概率.
23.本小题11分
已知函数
若函数为偶函数，求a的值；
函数，若当时，存在最大值，记为
求的表达式；
求的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.
直接根据三角函数的定义求解即可.
【解答】
解：因为角的终边过点，
由题意得
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
【解答】
解：要使函数有意义，则，即或，
故函数的定义域为
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的概念以及共轭复数概念，属于基础题．
根据共轭复数定义得，即可确定虚部.
【解答】
解：由题设，故其虚部为
故选：C
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数式的化简求值与证明.
应用对数的运算性质求值即可.
【解答】
解：.
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象变换，属于基础题.
函数可变为，再根据左右平移原理即可得出答案.
【解答】
解：由函数，
则为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可.
故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，空间中直线与平面的位置关系，属于基础题.
由题意可得平面即为平面，由正方体的结构特征可得.
【解答】
解：由正方体的结构特征可得平面即为平面，
而BC与平面相交于点C，且，
故直线BC与平面相交但不垂直.
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断是
解决本题的关键，是基础题．
根据不等式的关系进行判断即可．
【解答】
解：当时，若，则成立，
若，则，则成立，即充分性成立，
当，时，满足，但不成立，即必要性不成立，
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，由一个三角函数值求其他三角函数值，属于基础题.利用正弦定理求得，从而利用余弦定理及同角三角函数的基本关系求解即可.
【解答】
解：因为，
由正弦定理得，，
又，则，
所以
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是分步乘法原理，古典概型的计算，属于中档题.
根据条件列出基本事件及满足条件的基本事件，利用古典概型求其概率即可.
【解答】
解：由题，甲乙在沿途车站下车分别有9种情况，所以共有种情况，
甲乙在同一站下车有9种情况，
所以甲乙在同一站下车的概率为：，
故选
10.【答案】A
【解析】解：因为，所以函数为偶函数，故排除B、D项，
因为，当时，，即
，故函数有无数个零点，
令函数，则，
当时，函数，故排除C项.
故选：
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和函数值的对应性以及极限思想是解决本题的关键．难度不大．
根据函数的奇偶性和函数值的对应性以及极限思想，结合取值范围进行判断即可．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查平面向量的坐标运算、向量垂直的判断与证明，考查数形结合思想，考查分析与计算能力，属于中档题.
由题意建立直角坐标系，得到，，，设，由，，计算出a的值，即可得到答案.
【解答】
解：由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为，，则，，，
设，则，，
由，得，
所以，又因为，
所以，
所以
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值及二次函数的性质，属于中档题.
利用x表示y，由y为正数，求出x的取值范围，从而判断A；由已知将表示为关于y的二次函数形式，从而判断B；利用基本不等式判断C，
【解答】解：由题意，，又，从而，故A错误；
，，
又由，得到，从而，故B错误；
由，得到，
从而，
当且仅当，时取最小值，故C正确；
由C的判断，可得，所以，当且仅当，时等号成立，
则，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当，时等号成立，
由于等号不能同时取得，所以是取不到的，所以最小值不可能为，故D项错误.
故选
13.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了向量平行关系的坐标表示，向量数量积的坐标表示与向量垂直关系，以及向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
利用向量平行关系的坐标表示，向量数量积的坐标表示与向量垂直关系，以及向量线性运算的坐标表示对选项逐一判断即可.
【解答】
解：向量，，
可知，所以A错误；
，所以，所以B正确；
，所以C正确；
，所以D正确；
故选：
14.【答案】CD
【解析】解：对于A，若，，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则m与相交、平行或，故B错误；
对于C，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；
对于
D，若，，，则由面面垂直的性质和线面垂直的性质得，故D正确．
故选：
对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，m与相交、平行或；对于C，由面面垂直的判定定理
得；对于
D，由面面垂直的性质和线面垂直的性质得
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
15.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与奇偶性和函数的恒成立问题，基本不等式求最值.
先判断函数的单调性，把转化为，再分离变量，结合基本不等式可求解.
【解答】
解：是偶函数，
当，时，成立，
此时为减函数，则在上为增函数，
若对任意的恒成立，
等价为对任意的恒成立，
当时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
当时，，
当且仅当时取等号，
则，即，得，
故对任意的恒成立的一个必要不充分条件为
故选
16.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，“对勾”函数的图象与性质，属于中档题.
通过构造函数以及函数，先判断函数单调性，再根据函数单调性对照选项作出判断即可.
【解答】
由且常数，在定义域上单调递增，
若，即，而，
此时，大小不确定，即a，b大小不定，A符合;
若，即，而，
此时必成立，即恒成立，排除
由且常数，则，
所以上，递减，上，递增，
若，即，而，此时
若，即，而，此时，大小不确定;
结合先减后增，以上两种情况a，b大小不确定，C、D符合.
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算及求复数的模的运算，属于基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得到z再进一步求得，即可得到答案.
【解答】
解：，
，
所以
故答案为
18.【答案】
【解析】【分析】本题考查棱柱与棱锥的结构特征及体积计算，属于基础题.
先求出正棱锥的高，再由棱锥与正方体的体积公式可得.
【解答】解：依题意可得如下直观图，，，设AC与BD的交点为O，则SO为正四棱锥的高，
所以，，
所以，，
所以
故答案为：
19.【答案】
【解析】解：已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，
则，
则，
则，
故答案为：
由向量在向量上的投影向量为，则，结合
求解即可．
本题考查了投影向量的运算及利用数量积求向量模的运算，属中档题．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的实际应用，利用基本不等式解决实际问题，属于中档题.
由题意求出，再由基本不等式可得．【解答】
解：设隔热层厚度为厘米，
由题设，每年能源消耗费用为，
再由，得，
因此，
而建造费用为，
最后得隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和为
，
，
当且仅当时，取最小值，
解得或舍去，
故当时，取得最小值，
使达到最小值时，隔热层厚度厘米.
21.【答案】解：
，
令，
可得，
所以的单调递增区间为，
，
因为为偶函数，
则满足，，
即，，
令，得.
【解析】本题考查正弦型函数的单调区间和正弦型函数的奇偶性，属于中档题.
代入数值即可求解；
先将函数化简，然后利用正弦函数单调性求解即可；
先求得函数，即可得，对k赋值即可. 22.【答案】解：由频率分布直方图得：
，解得；
第一组到第五组的频率分布分别为：，，，，，
数学成绩的平均数为：
，
前三组频率之和为，前四组频率之和为，
设分位数为，
则，解得，
分位数是
由知前2组频率分别为，，比例为1：2，
则第一组抽取2人，第二组抽取4人，
再从6人中任取2人，则2人中至少有1人分数低于60分的概率为：
【解析】本题考查频率、平均数、百分位数、概率、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
根据小矩形面积之和为1，能求出
利用频率分布直方图的性质能求出该校高三学生期初数学成绩的平均数和分位数；
先求出前2组分别抽取的人数，现结合对立事件求概率的方法能求出2人中至少有1人分数低于60分的概率．
23.【答案】解：已知为偶函数，故满足对任意x，都有成立，
即，即恒成立，
故
因为，所以
①当时，，
当，即时，，
当，即时，；
②当时，，单调递增，
则；
因为当时，，
所以当时，；
又因为，
所以当时，，
当时，，
综上，所以
ⅱ由可得
当时，；
当时，；
综上，
【解析】本题考查了函数的奇偶性，函数的最值，属于中档题.
利用函数的奇偶性可求得a的值；
ⅰ由，可得然后分类讨论再进行求解可得.ⅱ利用中的的表达式，可得的最大值.。