两个原理及排列组合经典例题

计数原理排列组合小节与复习
一、 学习目标：进一步掌握计数原理、排列、组合的常规题型及综合问题，注意两个原理的区别，排列与组合的区别，积累解决排列组合应用问题的思想方法。

二、 典型示例：
例1．（染色问题）有4种颜色（供选），给下列图形中各区域染色，要求相邻区域不同色，有多少种染色方法？
（1）
（2）
（3）
（4）
例2．（排数字问题）有0，1，2，3，4，5，6，七个数字。

（1） 可组成多少个无重复数字的三位偶数；
（2） 可组成多少个无重复数字且能被5整除的三位数；
（3） 可组成多少个无重复数字且能被3整除的三位数；
（4） 可组成多少个无重复数字且比315小的三位数。

例3．（排队照相问题）解决下列问题，掌握解决问题的方法。

（1）7名学生站成一排照相，其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种站法？
（2）7名学生站成一排照相，其中甲、乙相邻且都与丙不相邻，有多少种站法？
（3）7名学生站成一排照相，其中甲、乙在丙的同侧，有多少种站法？
（4）7名学生站成一排照相，7人身高各不相同，要求中间高两边低，有多少种站法？
（5）8名学生站成两排照相，要求后排4人都比前排对应的4人高，有多少种站法？
例4．（小球分配问题）解决下列问题，注意它们的区别并掌握解决问题的方法。

（1）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，有多少种不同放法？
（2）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放1个，有多少种不同放法？
（3）把4个不同的小球放入3个不同的盒子中，有多少种不同放法？
（4）把4个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子最少放一个，有多少种不同放法？
（5）把4个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子最少放一个，有多少种不同放法？（7个小球呢？）
（6）把4个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有多少种不同放法？
（7）把4个不同的小球放入3个相同的盒子中，有多少种不同放法？
三、 补充练习：
（1） （2013山东理）用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A ．243
B ．252
C ．261
D ．279
（2） （2013福建理）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序
数对(,)a b 的个数为（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．10
（3） （2013四川理）从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到
lg lg a b -的不同值的个数是 （ ）
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
（4） （2013大纲文）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,
则可能的决赛结果共有 种.(用数字作答)
（5） （2013上海春）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的
所有正约数之和为22(122)(133)91++++=参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为_________.
（6） （2013浙江理）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同 的排法共有________种(用数字作答) .
（7） （2013北京理）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,
如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.
（8） （2013大纲理）6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_______种.(用
数字作答).
（9） 以正方体的顶点为顶点的四面体有 个.
（10） 如图，用四种不同的颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜
色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法
共有________种(用数字作答)．
四、
总结： B C F E D A。