平昌县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平昌县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717
100201717
S S -=，则d 的值为（ ） A ．
120 B ．110
C ．10
D ．20 3． 设集合S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜a ＜﹣1 B ．﹣3≤a ≤﹣1
C ．a ≤﹣3或a ≥﹣1
D ．a ＜﹣3或a ＞﹣1
4． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
5． sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
6． 以椭圆
+
=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为
（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=
，则
﹣S
（ ） A ．2 B ．4
C ．1
D ．﹣1
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，] C．（0，）D．[，1）
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（）
A．4 B．5
C．6 D．7
9．（2011辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）
A．﹣B．﹣C．D．
10．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）
A．12 B．20 C． D．
11．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
12．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
二、填空题
13．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是．
14．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题：
①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；
②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R ，则A 和B 具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．
15．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．已知正四棱锥O ABCD -的体积为2
则该正四棱锥的外接球的半径为_________
17
．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程
为 ．
18．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
三、解答题
19．若函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）在[1，2]
上的最大值比最小值大，求a 的值．
20．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．
21．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的
最小值和最大值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C A、B分别为左、右顶点，
F为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的
2
动点，且PA PB的最小值为-2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆
C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.
23．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
24．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点(2,0)且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C 交于A ，B 两点与曲线C 交于E ，F 两点， 线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．
平昌县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解：∵函数的周期为
T=
=
，
∴ω
=
又∵函数的最大值是2，相应的x
值为
∴
=
，其中k ∈Z
取k=1，得φ
=
因此，f （x
）的表达式为，
故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：若{}n a 为等差数列，
()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列公差为2d ,
2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 3． 【答案】A
【解析】解：∵S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，
∴
，解得：﹣3＜a ＜﹣1．
故选：A ．
4． 【答案】D
【解析】解：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线； 故选：
D ．
5． 【答案】
【解析】解析：选A.sin 15°
sin 5°－2 sin 80°
＝sin （10°＋5°）sin 5°
－2cos 10°＝
sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°
sin 5°
＝sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin5 °＝sin （10°－5°）sin 5°＝1，选A.
6． 【答案】 A
【解析】解：∵椭圆方程为
+
=1，
∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），
∴双曲线方程为
，
设点P （x ，y ），记F 1（﹣3，0），F 2（3，0），
∵=，
∴
=
，
整理得：
=5，
化简得：5x=12y ﹣15，
又∵，
∴5
﹣4y 2
=20，
解得：y=或y=（舍），
∴P （3，），
∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，
∴点M到直线PF1的距离d==1，
易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，
结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．
故﹣===2，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
7．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，
∵=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．
∴e2=＜，∴0＜e＜．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
8．【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为
第一次t＝5，i＝2；
第二次t＝16，i＝3；
第三次t＝8，i＝4；
第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5.
9．【答案】A
【解析】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
10．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
11．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），∴a+b﹣1=0，即a+b=1，
∴ab≤=
当且仅当a=b=时取等号，
故ab的最大值是
故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
14．【答案】 ①③ ．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A →B 是一一映射，故①正确；
对②设Z 点的坐标（a ，b ），则Z 点对应复数a+bi ，a 、b ∈R ，复合一一映射的定义，故②不正确；
对③，给出对应法则y=tan x ，对于A ，B 两集合可形成f ：A →B 的一一映射，则A 、B 具有相同的势；∴
③正确． 故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
15．【答案】2± 【
解
析
】
16．【答案】
118
【解析】因为正四棱锥O ABCD -的体积为232，设外接球的半径为R ，依轴截面的图形可知：222611(2)()8
R R R =-+∴=
17．【答案】 （±
，0） y=±2x ．
【解析】解：双曲线的a=2，b=4，
c==2，
可得焦点的坐标为（±，0），
渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．
故答案为：（±，0），y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．18．【答案】（﹣1，﹣1）．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．
∵当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．
故a的值为或．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的普通方程为．
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ2=16，
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=16．
（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：+y﹣4=0的距离：
d==2，
∴cos，
∵0，∴，
∴．
21．【答案】
【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．
【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
22．【答案】（1）22
142
x y +=；（2）22[2,7)F M F N ∈-. 【解析】
试
题解析：（1）根据题意知2
c a =，即2212c a =，
∴222
1
2a b a -=，则222a b =， 设(,)P x y ，
∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，
222
2
2
2
2
2
21()222
a x x a y x a x a =-+=-+-=-，
∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2
min ()22
a PA PB =-=-， ∴24a =，则2
2b =.
∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=.
11
11]
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2
122
12x x k +=-+，21224(1)12k x x k -=+，
∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，
∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++
2221212(1))22k x x x x k =+++++ 222
2
222
4(1)42(1)2(1)221212k k k k k k k --=++-++++ 2
9
712k =-+.
∵2
121k +≥，∴2
10112k
<≤+. ∴2
9
7[2,7)12k -
∈-+. 综上知，22[2,7)F M F N ∈-.
考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
23．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2
2
28x y -+=．
【解析】
试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得
矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.
（2）由360
320x y x y --=⎧⎨
++=⎩
解得点A 的坐标为()0,2-,
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,
所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM =
=从而距形ABCD 外接圆的方程为()2
2
28x y -+=.1
考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
24．【答案】（１） 2
4y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,
(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)
0)((0)('
'<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('x
f不恒等于的参数的范围．。