广东省广州市普通高中学校高三数学4月月考模拟试题06

2018高考高三数学4月月考模拟试题06
选择题部分（共50分）
一．选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1．已知集合M={
}31|{},3|2≤≤=-=y y N x y x ，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{x|-33≤
≤x } B ． {y|-31≤≤y }
C ．{x|33≤<x }
D ． Φ
2. “已知命题2
2
:90,:60p x q x x -<+->，则q p ⌝⌝是的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)既不充分也不必要条件 (C)充要条件
(D)必要不充分条件
3．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于
（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定 4．若()5522105
12x a x a x a a x +++=+，则135a a a ++的值为( )
(A) 121 (B)122 (C)124 (D)120 5．下列命题中，错误．．
的是（ ） （A ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）如果平面α垂直平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线
6．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，如果按性别依比例分层随机抽样，试问组成此课外学习小组的概率为（ ）
(A) 4
2
1056
15
C C C
(B) 33105
6
15
C C C
(C) 615
615
C A
(D) 42105
6
15
A A C
7．以抛物线x y 202
=的焦点为圆心，且与双曲线的两斩近线都相切的圆的
方程为
( )
（A ）064202
2
=+-+x y x
（B ）036202
2
=+-+x y x
（C ）016102
2
=+-+x y x （D ）09102
2=+-+x y x
8.设x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ，则z ＝x ＋y ： ( )
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
9.在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =， 6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 ( )
（A ）16 （ B ）13 （C ）12 （D ）2
3
10．把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等．．．．．）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数24的不同等差分拆的个数是（ ）．
（A ）13 （B ）8 （C ）10 （D ）14
第II 卷(共100分)
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．平面向量a 与b 的夹角为0
60，a=(2,0)，| b |=1 则| a +2b |= 12．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是________。

19162
2=-y x
13.若点(1,1)P 为圆2
2
(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程
为 ．
14.已知⎰
+=
dx x x a )cos (sin 2
π
，则二项式6)1(x
x a -
的展开式中含2x 项的系数
是 。

15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P
的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为
______________。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16.（本题满分13分）已知向量(sin ,1)a x =-，1
(3cos ,)2
b x =-，函数
()()2f x a b a =+⋅-.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期T ；
(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，
a =4c =，且()1f A =，求A ，
b 和ABC ∆的面积S .
17. （本小题满分13分）已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是2a ，4a 的
等差中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若21log n n n
b a a =+，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求使 1
247<0n n S +-+ 成立的正整数n 的最小值.
18. （本小题满分13分）
某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．
(Ⅰ) 若以频率作为概率，试估计．．
从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X 的数学期望；
（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中．．．．．任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y 的分布列及期望；
19.（本小题满分13分）
如图在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄AD ,
AB 丄BC ,045=∠BAC ,==2PA AD ,=1AC .
(Ⅰ)证明PC 丄AD ;
(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;
(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0
30,求AE 的长.
20．已知椭圆G ：22221x y a b += （0a b >>）的离心率12e =，且经过点3
(1,)2
P .
（Ⅰ）求椭圆G 的方程； (Ⅱ)设直线1
:2
l y x m =
+与椭圆G 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值.
21（本题满分14分） 已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a =
-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)设2
()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.
11、 32 12、36+26
13、 210x y --= 14、-192 15、)(2
cos 1,2sin 2--
三、本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分13分）
解: (Ⅰ) 2
()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-
2
1
sin 1cos 22
x x x =++
-
1cos 21222x x -=
+-1
2cos 22
x x =- sin(2)6
x π
=-
…………………………………….…………………………5分 因为2ω=，所以22
T π
π=
=……………………………….………………………7分 (Ⅱ) ()sin(2)16
f A A π
=-
=.
（Ⅰ）
设等比数列
{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,
32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)
2(.42)()1(,3)2(2
131121q a q q a q a q a
由 )1(得 0232
=+-q q ，解得1=q 或2=q
.
当1=q 时，不合题意舍； 当2=q
时，代入(2)得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=- . ……………….……6分
（Ⅱ） 2
211
log 2log 22
n n n n n n b a n a =+=+=－. ……………….…………7分 所以23
2122232n n S n =-+-+-+
+-
23
(2222)(123)n n =+++
+-+++
+
212
1
21222)1(21)21(2n n n n n n ---=+---=
+ ……………….………10分 因为04721<+-+n n S ，所以04722
1
2122121
<+---
-++n n n n ， 即2
900n
n +->，解得9n >或10n <-. ……………….…………………………12分
因为*∈N n ，故使1
247<0n n S +-+成立的正整数n 的最小值为10 . …………….13分
18（本题满分13分）
解：（Ⅰ）由图１知，甲样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，
则Y 的取值为2,1,0；且246
2
10
()(0,1,2)k k C C P Y k k C -===，于是有： 182
(0),(1),(2)31515
P Y P Y P Y ======
∴Y 的分布列为
…………………………11分
EY=05
4
1522158131=⨯+⨯+⨯
…………………………13分 19.（本题满分13分）
解：解:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz -
630
cos ,sin ,66
AD n AD n AD n AD n
<>=
=
⇒<>= 得：二面角A PC D --的正弦值为
6
（3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22
BE h CD =-=-
cos,
BE CD
BE CD h
BE CD
<>=⇔=⇔=
即AE=
(20). （本题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知
22
1
2
19
1
4
e
a b
⎧
==
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，解得
2
2
4
3
a
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
————2分
∴椭圆G的方程为：
22
1
43
x y
+=.————4分
（Ⅱ）
22
1
43
1
2
x y
y x m
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
消去y得：2230
x mx m
++-=，————5分
Q椭圆与直线有两个不同的交点，∴0
>
∆，即24
m<，————6分
设
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，AB的中点
00
(,)
M x y
∴
12
,
x x m
+=-
，2
12
3
x x m
=-
，
||
AB==
12
022
x x m
x
+
==-，
00
13
24
y x m m
=+=，∴
3
(,)
24
m
M m
-————8分
设(,0)
T t， MT AB
⊥，∴1
AT AB
K K=-，解得
8
m
t=-，————10分
∴(,0)
8
m
T-
，||
MT m
=，
1
||||
2
TAB
S AB MT
=⋅=
V
2
04
m
<<————12分
∴当22
m=即m=时，TAB
V————14分
(21) （本题满分14分）
解：
2
()(21)
f x ax a
x
'=-++(0)
x>. ………………2分（Ⅰ）(1)(3)
f f
''
=，解得
2
3
a=. ………………3分
（Ⅱ）(1)(2)
()ax x f x x
--'=
(0)x >. ………………5分
①当0a ≤时，0x >，10ax -<，
在区
间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a
上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a
. ………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当1
2
a ≤
时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1
ln 212
a -<≤. ……………11分 ②当12a >
时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1
[,2]a
上单调递减， 故max 1
1
()()22ln 2f x f a a
a
==---. 由12a >
可知11
ln ln ln 12e
a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-. ………………14分。