现代通信原理答案WORD版(_罗新民)指导书_第一章_绪论_习题详解1

第一章 绪论
1-1英文字母中e 出现概率为0.105, c 出现的概率为0.023, j 出现的概率为0.001。

试分别计算它们的信息量。

解题思路：考查信息量的基本概念，用公式1log ()a I P
=。

底数a 一般采用2，这时信息量单位为bit
解：bit P I e e 25.3105.0log log 22≈-=-=，
bit P I c c 44.5023.0log log 22≈-=-=， bit P I j j 97.9001.0log log 22≈-=-=
1-2有一组12个符号组成的消息，每个符号平均有四种电平，设四种电平发生的概率相等，试求这一组消息所包含的信息量。

若每秒传输10组消息，则一分钟传输多少信息量？ 解题思路：考查平均信息量及信息量叠加的概念。

每个符号有四种等概电平可能，因此先用
4
2
1
1
()log i i i
H x P P ==∑计算其平均信息量。

整个消息的总信息量是12个符号的各自平均信息量（相等）的和。

解：（1）12=N ，4,3,2,1,4
1
==
i P i 。

每个符号的平均信息量为24log 1
log 22
===-
i
P I 比特/符号，则由12个符号组成的一组消息的信息量为bit I N I 24*==-
（2）每秒传输10组消息，则一分钟传输10×60组信息，因此信息传输速率为10×60×24
比特/分钟＝14400比特/分钟
1-3消息序列是由4种符号0、1、2、3组成的，四种符号出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，而且每个符号出现都是相互独立的，求下列长度为58个符号组成的消息序列“2 0 1 0 2 0 1 3 0 3 2 1 3 0 0 1 2 0 3 2 1 0 1 0 0 3 2 1 0 1 0 0 2 3 1 0 2 0 0 2 0 1 0 3 1 2 0 3 2 1 0 0 1 2 0 2 1 0”的信息量和每个符号的平均信息量。

解题思路：考查平均信息量的概念。

可以先求出每个符号的信息量，根据消息序列中各符号出现的次数得到消息序列的总信息量，再用符号数平均从而得到符号平均信息量。

也可以先根据4
2
1
1
()log i i i
H x P P ==
∑直接求出这四种符号的平均信息量，再根据消息序列中符号个数得到消息序列的总平均信息量。

解：方法一：
0，1，2，3每符号各自携带的信息量分别为
02
3log 1.4158I bit =-=； b i t 24
1l o g I 21=-=；
bit 241log I 2
2=-=； bit 38
1
log I 23=-=； 则这58个符号所带的总信息量为
0I=23I =23 1.415223=110.545bit
123⨯+14⨯I +13⨯I +8⨯I ⨯+14⨯+13⨯+8⨯ ； 而每个符号的平均信息量
()
1.91/58
H x I bit =
≈ 符号 方法二：
每符号平均信息量为 4
2
22
2
1
13811()l o g l o g 2l o g 4l o g 8 1.9/
8
348
i i i H x P b i t P ==
=+⨯+≈ ∑
符号 消息序列总平均信息量为
58()110.2I H x bit =⨯=
1-4某气象员用明码报告气象状态，有四种可能的消息：晴、云、雨、雾。

若每个消息是等
概率的，则发送每个消息所需的最少二进制脉冲数是多少？若该4个消息出现的概率不等，且分别为1/4、1/8、1/8、1/2，试计算每个消息的平均信息量。

解题思路：考查从工程角度对信息量的定义。

传输两个相互等概的消息时，要区别这两种消息，至少需要1位二进制脉冲；若要传输4个独立等概的消息之一，则至少需要2位二进制脉冲。

解：（1）需24log 2=个 （2）4
2
2221
1111
()log log 42log 8log 2 1.75482
i i i H x P P ==
=⨯+⨯⨯+⨯=∑比特/消息
1-5设数字信源发送-1.0V 和0.0V 电平的概率均为0.15，发送+3.0V 和+4.0V 电平的概率均为0.35。

试计算该信源的平均信息量。

解题思路：考查信源平均信息量计算方法，采用4
2
1
1
()log
i i i
H x P P ==∑计算。

解：
4
1
22()log (20.15log 0.1520.35log 0.35)1.879/i i
i H x P P bit ==- =-⨯⨯+⨯⨯ ≈ ∑符号
1-6对二进制信源，证明当发送二进制码元1的概率和发送二进制码元0的概率相同时，信源熵最大，并求最大的信源熵。

解题思路：设发“1”的概率和发“0”的概率分别为P 和1-P ，则信源熵可表达为P 的函数H(P)，问题转化为求H(P)的最值及取到最值时P 的取值。

（1）证明：设发“1”的概率为P ，则发“0”的概率为1-P 。

这时信源熵为
22
11
()log (1)log 1H P P P P P =+-- 欲使信源熵H(P)取最大值，令()
0dH P dP
=，则得到
2
21111log ()log (1)[(1)]0
ln 21(1)ln 2
P P P P P P +-+---=--- 由此得到2
2
11log log 1P P =-，求得1
12
P P =-=。

即当发送二进制码元“1”的概率和发送二进制码元“0”的概率相同时，信源熵最大。

（2）解：将1
2P =
代入H(P)的表达式，得到symbol bit P H P /1|)(2
1==。

1-7一个由字母A 、B 、C 、D 组成的信源，对传输的每一个字母用二进制脉冲编码：00代表A ，01代表B ，10代表C ，11代表D 。

又知每个二进制脉冲的宽度为5ms 。

① 不同字母等概率出现时，试计算传输的平均信息速率以及传输的符号速率； ② 若各字母出现的概率分别为：15 , 14 , 14 , 310A B C D P P P P ====，试计算平 均信息传输速率。

解题思路：考查信息传输速率和符号传输速率的概念及其关系。

由每个脉冲的时间宽度可得 每个字母（符号）的时间宽度，其倒数就是符号传输速率r 。

无论4个字母等概与否，符号 传输速率是一定的。

根据教材式（1.10）()R rH x =，分别计算出①、②中的字母（符号） 平均信息量H(x)，就可以得到平均信息传输速率R 。

解：（1）每个脉冲宽5ms ，则每个字母（符号）占时宽为2×5×10－3＝10－
2秒
每秒传送符号数为2
1
10010
r -=
=符号/秒 每个字母的平均信息量为21
()log 24
H x =-=比特/符号
平均信息速率为()2100200/R rH x bit s ==⨯= （2）平均信息量为22211310
()log 52log 4log 1.985554103
H x =
⨯+⨯⨯+⨯=比特/符号 平均信息速率为1.9855100198.55/bit s ⨯=
1-8设数字键盘上有数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，发送任一数字的概率都相同。

试问应以多快的速率发送数字，才能达到2 b/s 的信息速率？ 解题思路：仍然考查的是对()R rH x =的理解。

解：信源平均信息量为
4
1
10
221
()log 1
log 10log 10 3.32/10i i
i i H x P P bit ===- = =≈∑∑
符号
由()R rH x =可以得到2/0.603/() 3.32/R bit s
r s H x bit =
=≈ 符号符号
所以，至少应以0.603符号/秒的速率发送数字，才能达到2比特/秒的信息速率。

1-9 ①假设计算机的终端键盘上有110个字符，每个字符用二进制码元来表示。

问每个字符需要用几位二进制码元来表示？
②在一条带宽为300Hz ，信噪比（SNR ）为20dB 的电话线路上，能以多快的速度（字符/秒）发送字符？
③如果以相同的概率发送每个字符，试求每个字符包含的信息量。

解题思路：②考查信道容量的含义和香农公式的应用。

信道容量表示信道的信息量传输速率上界。

已知信道的信噪比和带宽，就可以由香农公式求出信道容量max C R =。

再求得每个字符的信息量，由()R rH x =就可以求得符号传输速率r 的上界。

解：(1) 2log 11017N =+=⎢⎥⎣⎦
(位) （x ⎢⎥⎣⎦表示不超过x 的最大整数） （2）信噪比20
1010100S
N
==（倍），带宽B=300Hz ，由香农公式可以得到 max 22log (1)300log 1012/S
R C B kbit s N
==+
=⨯≈ 每个字符用7位二进制码元表示。

对于110个7位二进制码元，可以认为每个码元
（“0”或“1”）是等概出现，因此每个二进制码元的信息量是1比特，所以每个符号的信息量是7比特，因此可以得到
285.35/7
R
r s =
≈ 符号 （3）等概率发送时，每个字符的出现概率是1
110
，因此每个字符包含的信息量是
221
log log 110 6.78/I bit P
==≈ 符号
1-10什么是模拟通信？什么是数字通信？数字通信有哪些主要优点？你对今后“数字通信系统将取代模拟通信系统”有什么看法？
解：传递连续消息（信号）的通信过程称为模拟通信。

传递数字消息（信号）的通信过程称为数字通信。

数字通信的优点是①抗干扰能力强，可靠性好；②体积小，功耗低，易于集成；③便于进行各种数字信号处理；④有利于实现综合业务传输；⑤便于加密。

1-11数字通信系统模型中各主要组成部分的功能是什么？ 解：信源－把原始消息转化为电信号。

发送设备－把信源发出的电信号转换为适于信道传输的信号形式。

信道－传输信号的媒质。

接受设备－把接收的信号恢复为原信号。

信宿－把信号还原为原始消息。

1-12由信道容量公式 2log 1S C B N ⎛⎫=+
⎪⎝⎭)，讨论C 与B 和N
S 之间的关系，并证明：当 B →∞时，信息传输速率达到信道容量极限，即R=C 时，试证明码元能量与噪声功率谱密
度之比为
1.6 b
E dB n ≈-（分贝）是极限最小信噪比。

证明：由教材（1.19）式，当∞→B 且C R =时，044
.1lim n S C R B ≈=∞
→44
.11/0≈⇒n R S S 表示信号（码元）平均功率，
R
1
表示每比特码元的时宽T ，则b E ST R S ==/表示每比特码元能量。

并且R=C 时R 取到最大值，对应b E ST R S ==/取到最小值，故
100110log 1.61.44
b E dB n ≈≈-是极限最小信噪比。

1-13一个平均功率受限制的理想信道，带宽为1MHz ，受高斯白噪声干扰，信噪比为10（倍），试求：
① 信道容量；
② 若信噪比降为5（倍），在信道容量相同时的信道带宽； ③ 若带宽降到0.5 MHz ，保持同样信道容量时的信噪比。

解题思路：考查香农公式中带宽、信噪比和信道容量三个量之间的相互关系。

解：（1）6622log (1)110log (110) 3.4610/S
C B b s N
=+
=⨯⨯+≈⨯ （2）6
6
2log (15) 3.4610 1.3410B B Hz +=⨯⇒=⨯ （3）6
620.510log (1) 3.4610120S S
N N
⨯⨯+=⨯⇒≈(倍)
1-14具有1 MHz 带宽的高斯信道，若信号功率与噪声的功率谱密度之比为
60
10 S
n =Hz ，试计算信道容量。

解题思路：考查香农信道公式之外，还考查白噪声功率谱密度与带限噪声功率之间的计算关
系。

高斯白噪声的功率谱在整个频域（-∞到+∞）上是常数，该常数通常用
2
n 表示，称为双边功率谱密度。

高斯白噪声通过带宽为B 的理想带通滤波器后称为带限噪声。

这种带限噪声的功率0
022
n N B n B =⨯
⨯=。

解：11010106
606
0===⇒=B n S N S Hz n S 故6622log (1)10log (11)10/S
C B bit s N
=+
=⨯+=
1-15一个系统传输四脉冲组，每个脉冲宽度为1ms ，高度分别为：0、1V 、2V 和3V ，且等概率出现。

每四个脉冲之后紧跟一个宽度为1ms 的-1V 脉冲（即不带信息的同步脉冲）把各组脉冲分开。

试计算系统传输信息的平均速率。

解题思路：考查平均信息传输速率的概念。

包括同步脉冲在内的5个脉冲的时间宽度内传输了四脉冲组包含的总信息量。

平均信息传输速率应为总信息量被传输这些信息量所花费的时间除。

解：四脉冲组中每个脉冲的平均信息量24
1
log )(2
=-=x H 比特/脉冲，四脉冲组总信息量为8比特。

每组脉冲中，信息脉冲及同步脉冲共5个，占时5ms ，传送8比特信息。

故信息传输平均速率为
38 1.610/5bit
b s ms
=⨯
1-16设一数字传输系统传输二进制码元，码元速率为2400Baud ，试求该系统的信息传输速率。

若该系统改为传输十六进制码元，码元速率为2400Baud ，该系统的信息传输速率又为多少？
解题思路：考查传信率和传码率之间的换算关系，即M R R B b 2log = 解：（1）对二进制，2400/b B R R bit s ==
（2）对十六进制，22log 2400log 169600/b B R R M bit s ==⨯=
1-17一个多进制数字通信系统每隔0.8 ms 向信道发送16种可能取的电平值中的一个。

试问：
① 每个电平值所对应的比特数是多少？ ② 符号率（波特）为多少？ ③ 比特率为多少？
解题思路：①考查信息量的定义；②、③分别考查传码率和传信率的定义。

解：（1）电平数L=16，当各电平等概出现时，每个电平值对应的信息量（平均信息量），即
比特数为2
21
log log 4N L P
===。

（2）每隔0.8 ms 向信道发送一个多进制符号，因此符号率为
3
1
12500.810B R Baud -=
= ⨯
（3）s bit R R B b /50004==
1-18计算机终端通过电话信道传输数据，设该终端输出128个符号，各符号相互独立。

等概出现。

已知电话信道带宽为3.4kHz ，信道输出信噪比为20dB 。

试求：
① 信道容量；
② 无误传输的最高符号速率。

解题思路：将信噪比的dB 值转化为比值倍数，代入香农公式，就可以求得信道容量；信道容量C 是信道信息传输速率R 的最大值，由()R rH x =就可以求得对应无误传输的最高符号速率。

解：（1）10020log 1010
=⇒=N
S
N S 3322log (1) 3.410log (1100)22.6410/S
C B b s N
=+=⨯⨯+=⨯
（2） 每个符号的平均信息量为7128
1
log )(2=-=x H 比特/符号
因此无误传输的最高符号速率为
3322.6410/ 3.2310()7/C bit s
Baud H x bit symbol
⨯=≈⨯
1-19一通信系统的接收机收到的信号功率为-134dBm ，接收到的噪声功率谱密度为-164dBm/Hz ，系统带宽为2000Hz ，求系统无错误信息传送的最大速率。

解题思路：将题目所给信号功率和噪声功率谱密度的dBm 值换算后就可以计算得到S N
，和带宽B 一起代入香农公式，就可以求得信道容量，也就是信息传输速率的最大值。

解：信号功率：210log 1341S dBm mW
=- ，134
317101010 3.9810W S - --=⨯≈⨯
噪声功率谱密度：2
10log 164/1P
dBm Hz mW
=- ，16.432010
10
10 3.9810/P W Hz - --=⨯≈⨯
噪声功率：1720007.9610N P Hz W -
=⨯ =⨯（这里认为P 是单边功率谱密度）
因此，信噪比为17
173.98100.57.9610
S N --⨯==⨯ 由香农公式得到max 22log (1)2000log (1.5)1170/b S
R C B bit s N
==+
=⨯≈。