2019-2020学年人教A版数学必修四培优教程课件：第3章 三角恒等变换3-2a

解 (1)∵f(x)＝O→A·O→B＝sinx＋sinxcosx＋sin2x－sinx＝ 22sin2x－4π＋12，
∴当 2x－π4＝2kπ＋2π(k∈Z)，即 x＝kπ＋38π(k∈Z)时，f(x) 取得最大值1＋2 2，
f(x)的最小正周期为 π.
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(2)∵f(x)＝ 22sin2x－π4＋12， ∴当 2kπ－π2≤2x－4π≤2kπ＋π2，k∈Z， 即 kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z 时，函数 f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋38π(k∈Z)．
解析 由 sinα－π4＝7102⇒sinα－cosα＝75 ①，cos2α ＝275⇒cos2α－sin2α＝275，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝275
②，由①②可得 cosα＋sinα＝－15 ③，由①③得 sinα＝35，
cosα＝－45，所以角 α 为第二象限角，所以α2为第一、三象
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10．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值； (2)若 α∈π2，π，且 f(α)＝ 22，求 α 的值．
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解 (1)因为 f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x
限角，tanα2＝ 11－ ＋ccoossαα＝
11＋ －4545＝3，故选 A．
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二、填空题
6．若
α－β＝π4，则
sinαsinβ
2＋ 2 的最大值为_____4 _____．
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解析 α＝β＋π4，则 sinαsinβ＝sinβ＋π4sinβ
＝cos2xsin2x＋12cos4x
＝12(sin4x＋cos4x)＝ 22sin4x＋π4， 所以 f(x)的最小正周期 T＝24π＝2π，
当 4x＋π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即 x＝1π6＋k2π，k∈Z 时，f(x)
取最大值为
2 2.
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(2)因为 f(α)＝ 22，所以 sin4α＋π4＝1， 因为 α∈2π，π，所以 4α＋π4∈94π，147π， 所以 4α＋4π＝52π，故 α＝196π.
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又 ω∈12，1，k∈Z，所以 k＝1，故 ω＝56. 所以周期 T＝22ωπ＝22×π56＝65π. 所以 f(x)的最小正周期是65π.
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(2)由 y＝f(x)的图象过点4π，0，得 f4π＝0， 即 λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sin4π＝－ 2， 即 λ＝－ 2. 故 f(x)＝2sin53x－6π－ 2， 函数 f(x)的值域为[－2－ 2，2－ 2]．
＝
1＋2cosα＝cosα2， ∵－2π<α<－32π，∴－π<α2<－34π.
∴cosα2<0，∴cosα2＝－cosα2.
1－cosπ－α 2
＝
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2．函数 y＝2cos2x－4π－1 是(
)
A．最小正周期为 π 的奇函数
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
1－2sin2αsinα＋2cos2αsinα sinα
＝
2cos2α
＋
1
＝
13 5
，
所
以
cos2α＝45.又 α 是第四象限角，所以 sin2α＝－35，tan2α＝－34.
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8. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果是_－__2_s_in_4__．
解析 原式＝ 4cos24＋2 1－2sin4cos4 ＝2|cos4|＋2 sin4－cos42 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|. 因为54π<4<32π，所以 cos4<0，sin4<cos4<0， 所以 sin4－cos4<0. 从而原式＝－2cos4－2sin4＋2cos4＝－2sin4.
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＝1＋12cos2A＋π3. 因为 A∈R， 所以当 cos2A＋π3＝1 时，原式取最大值32； 当 cos2A＋π3＝－1 时，原式取得最小值12.
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2．设函数 f(x)＝sin2ωx＋2 3sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x ∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常数，且 ω ∈12，1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点4π，0，求函数 f(x)的值域．
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解 (1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋ 3sin2ωx＋λ ＝2sin2ωx－6π＋λ. 由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴， 可得 sin2ωπ－π6＝±1. 所以 2ωπ－6π＝kπ＋π2(k∈Z)， 即 ω＝2k＋13(k∈Z)．
)
A．2＋sinα B．2＋ 2sinα－π4
C．2 解析
D．2＋ 2sinα＋π4 原式＝1＋2sinα2cosα2＋1－cos2π4－α2＝2＋sinα
－cos2π－α＝2＋sinα－sinα＝2.
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4．若 f(tanx)＝sin2x，则 f(－1)＝( )
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三、解答题 9．已知O→A＝(1，sinx－1)，O→B＝(sinx＋sinxcosx，sinx)， f(x)＝O→A·O→B(x∈R)．求： (1)函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2)函数 f(x)的单调递增区间．
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A．－2
B．－1
C．0
D．1
解 析 f( － 1) ＝ f tan－π4＋kπ ＝ sin2 －π4＋kπ ＝ sin －π2＋2kπ＝－1.
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5．已知 sinα－π4＝7102，cos2α＝275，则 tanα2＝(
)
A．3
B．－3
C．±3
D．±4
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A版·必修4
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课后课时精练
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一、选择题
A 级：基础巩固练
1．若－2π<α<－32π，则
1－cos2α－π的值是(
)
A．sinα2
B．cosα2
C．－sinα2 D．－cosα2
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解析
1－cosα－π 2
D．最小正周期为π2的偶函数
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解析 y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－4π ＝cos2x－2π＝cosπ2－2x＝sin2x， 而 y＝sin2x 为奇函数，其最小正周期 T＝22π＝π，故选 A．
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3．化简sinα2＋cosα22＋2sin2π4－α2得(
＝ 22sin2β＋ 22cosβsinβ
＝
22·1－c2os2β＋
2 sin2β2 4
＝12sin2β－π4＋
2 4.
∴最大值为2＋4
2 .
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7．设 α 为第四象限角，且ssiinn3αα＝153，则 tan2α＝__－__34____. 解析 ssiinn3αα＝sins2iαnα＋α＝
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B 级：能力提升练
3
1．已知
A＋B＝ 1
23π，那么
cos2A＋cos2B
的最大值是
___2___，最小值是___2____．
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解析 因为 A＋B＝23π， 所以 cos2A＋cos2B ＝12(1＋cos2A＋1＋cos2B) ＝1＋12(cos2A＋cos2B) ＝1＋12cos2A＋cos43π－2A ＝1＋1212cos2A－ 23sin2A